高一数学教案：苏教版高一数学平面向量总复习题

平面直扭总复习题
一、选择题
1•两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件
A. 充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
答案：B
2. 当|a|=|b|z 0且a、b不共线时，a+ b与a—b的关系是
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.相等
解析：•「（ a + b）• （a —b）= a 2—b2= |a|2—|b|2= 0 ,「•（ a + b）±（a—b）.
答案：B
3. 下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a, b 满足|a|> |b|且a与b同向，贝U a> b;④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；
⑤对于任意向量a, b,必有|a+ b|< |a汁| b |
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；
②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；
③两向量不能比较大小，故命题③错误；
④0与任意向量平行，故命题④错误；
⑤命题⑤正确.
答案：B
4. 下列四式中不能.化简为PQ的是（）
A. AB (PA BQ)
B. (AB PC) (BA-QC)
C. QC -QP CQ
D. PA AB - BQ
解析：A 选项中，AB BQ 二AQ, AQ PA 二PA AQ 二PQ
B 选项中，AB BA 二AB -AB = 0，P
C - QC 二PC CQ 二PQ，PQ + 0 = PQ
C 选项中，QC ■ CQ = QC - QC = 0，—QP + 0= PQ + 0 = PQ .
D 选项中，PA AB 二PB, PB- BQ = PQ，(v PB BQ = PQ)
答案：D
5.已知正方形ABCD的边长为1, AB = a, BC = b, AC = c,则a+ b+ c的模等于（）
3 2
答案：D
6•如图所示，D 、E 、F 分别是△ ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中不正确 的是
C. DE DA 二 EC
D. DA DE 二 FD
答案：D
7. 已知a , b 为非零向量，a + b |=|a — b 成立的充要条件是 A. a// b
B.a , b 有共同的起点
C.a 与b 的长度相等
D. a 丄b
解析：|a + b |= |a — b |：＜ ： |a + b |2 = | a — b |2：＜ : (a + b ) 2= ( a — b )〈 ： a 2+ 2a • b + ： a 2 —2 a • b + b 2：二 a • b = 0：= a 丄 b
答案：D
8. 下面有五个命题，其中正确命题的序号是
2
2 abb
222
22
2
①|a |2= a 2;②「
；3( a • b ) 2= a 2 • b 2;@( a — b ) 2= a 2— 2a • b + b 2;⑤若
a
a
a •
b = 0,贝U a = 0 或 b = 0
A.①②③
B.①④
C.②④
D.②⑤
®( a ・ b ) 2=( | a ||b |cos a ) 2= | a |2|b |2cos 2a , a 2 • b 2 = | a |2 • |b f ,「.( a •
b )2^
a 2 •
b 2
⑤若 a • b = 0,贝U a = 0 或 b = 0 或 a 丄 b 且 a * 0, b *0.
答案：B
9若点P 分有向线段RP 2成定比为3 : 1，则点P i 分有向线段F 2P 所成的比为
R
P 巴
j.
j.
j.
j.
i
A.O
B.2 + 2
C. .. 2
D.2、2
解析:
AB BC = AC
a +
b =
c ,「. a + b + c = 2c ,「. |2c |= 2 2.
A. FD DA 二 FA
B. FD ■ DE ■ EF = 0 解析：②
a b | a ||b | cos ：
= 2
a |a
|
| b | cos -：〉.
b |a | a
A.—
B.—- D.—
C
解析：••• 空=_4，则点P i分有向线段P2P所成的比为一-.
RP 3 3
答案：A
10.已知点A (x, 5)关于点C (1, y)的对称点是B (- 2,—3),则点P (x, 点的距离是
A.4
B. J3
C. . 15
D.、17
解析: 由中点坐标公式可得x - 2 5 - 3
1, y ,解得x= 4 ,
2 2
y= 1,
再由两点间距离公式得 ..〉〈2 +y2 = J42 +12 = J17 .
答案：D
11将点(a, b)按向量a=( h, k)平移后，得到点的坐标为
A. (a—h , b+ k)
B. (a —h , b—k)
C. (a+ h , b —k)
D. ( a+ h , b + k)
r
x —a = h x
解析：设平移后点的坐标为(x' , y'),则根据平移公式可得丿,•••
y"_b = k y"
答案：D
12•点A (2, 0), B (4, 2),若|AB|= 2|AC|,则点C 坐标为
A. (—1, 1)
B. (—1 , 1 )或(5 , —1)
C. (—1, 1)或(1 , 3)
D.无数多个
解析：由题意|AB|= . (4 - 2)222= 2 一2 ,
Aci= LABJ = 72
2
故点C分布在以点A为圆心，半径为、2的圆上，故点C坐标有无数多个• 答案：D
13. 将曲线f (x , y)= 0按向量a=( h , k)平移后，得到的曲线的方程为
A.f (x—h , y+ k)= 0
B.f (x—h , y—k)= 0
C.f (x+ h , y—k)= 0
D.f (x+ h , y+ k)= 0
f r
x —解析：设平移后曲线上任意一点坐标为(x' , y')，则根据平移公式可得丿
x = / - h
y = y" _ k
又f(x , y)= 0，二 f (x'—h , y'—k)= 0
即f (x—h , y—k)为平移后曲线方程.
答案：B
14. 设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M (—1, 2),则|PQ|等于(
A.4 2
B.2 .5
C.5
D.2 - 10
到原
• |a |= 2(m n )2
= 7 , |b |=、(-3m 2n )2 二 7
• a • b =( 2 m + n ) (— 3m + 2 n )=— 6 m 2+ 2 n 2+ m • n =— 6+ 2 + -=—-
2 2
答案：C
解析：由题意设 P (x , 0), Q (0, y ),由中点坐标公式可得 x =- 1,上=2
2 2
解得 x = — 2, y = 4,
•••|PQ|= . (―2)2 42
=、20 =2.5.
答案：B
15.下列命题中，正确的是 A. |a • b |= | a | • |b |
B. 若 a 丄(b — c ),贝U a • b = a • c
2
D. a (b • c ) = ( a • b ) c
解析：A . a • b = |a ||b |cos a , |a • b |= |a ||b ||cos a |工 | a B. 若 a = 0,贝U a • b = a • c ,
若 b — c = 0，即 b = c , a • b = a • c ;
若 a 丰0,且 b — C M 0，由 a 丄(b — c ),得 a • (b — c )= 0.
• a • b — a • C = 0,「. a • b = a • c ,故 B 正确.
2
C. 若|a |= 0 或 1，则 a = |a |.
D. 向量的数量积不满足结合律. 16.函数y = 4sin2x 的图象可以由 个平移变换是
A.向左平移一个单位
6 C.向左平移一个单位 3
y = 4sin (2x —)的图象经过平移变换而得到，则这
3
B.向右平移二个单位
6
D.向右平移一个单位
3
解析：T 用x —替换掉函数
6
y = 4sin2x 中的 x 可得 y = 4sin2 (x ------ ) = 4sin (2x ------- ),
6
3
故可将原函数图象向左平移 答案：A
个单位得到
6
17.已知m , n 是夹角为60 °的两个单位向量，则 a = 2m + n 和b =— 3m + 2n 的夹角是 A.30 B.60 °
C.120°
D.150
解析:
m • n = |m ||n |cos60°
…cos a
a b
|a ||b |
a = 120 °
1 A. 有最大值一和最小值0
2
1 B. 有最大值一，但无最小值 2
C. 既无最大值，也无最小值
D. 有最大值1,但无最小值
解析：•••△ ABC 为直角三角形，• B = — A
2
• si nA • si nB = sinA • sin ( —
A )
2
■IT
d
当A = B = 时，有最大值 一，但无最小值
4 2
答案：B
20. a 、3是锐角三角形的三个内角，则 A. cos a > sin 3 且 cos 3> sin a B. cos av sin 3 且 cos 3 < sin a C. cos a> sin 3 且 cos 3 < sin a D. cos a < sin 3且 c os 3 > sin a 解析：I a 、3是锐角三角形两内角，
H
JI
Tl
..a + 3 > — ,. • —> a > — — 3 > 0,
2 2 2
ji
• sin a > sin ( -------- 3 )
2
即 sin a > cos 3，同理 sin 3 > cos a 答案：B 21. 在厶 ABC 中，si nA < si nB 是 A < B 的 A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由正弦定理可得 -^―
b a •
sin A
18.将函数y = 22的图象按a 平移后，函数解析式为 y = 22 -1, 则a 等于（）
A. (-2, 1) 父-2=x 丈—X=2 口 ”
即丿
y+1 = y y - y = -1 L .
h =2 --a =( 2, — 1)
答案：B
19.在直角三角形中, A 、B 为锐角，贝 U si nA • sinB
=si nA • cosA = 1
si n2A 2 C. (1,- 1)
D. (- 1 , 1)
lx A
l(x_2)
解析：y = 22 — 1,即 y +1 = 22
•••用x — 2, y + 1分别替换了原函数解析式中的 x , y
即 k
sin A sin B 'b sin B 由sinA< sinB 可得a< b
根据三角形小边对小角可得 A v B ,反之由A v B 也可推得sinA v sinB 故sinA v sinB 是A v B 的充要条件. 答案：C
22. 在厶 ABC 中，tanA • tanB >1,则△ ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
D.不能确定
解析：T tanA • tanB > 1>0，又T A 、B 不可能同时为钝角，二 tanA >0, tanB >0, tan A tan B 门
••• tan (A + B ) =
v 0,
1 - ta n Ata n B
• 90°v A + B v 180° ,• 0° v C v 90°, • △ ABC 为锐角三角形. 答案：A
23. 在厶ABC 中，A 、B 、C 相应对边分别为 a 、b 、c ,贝U acosB + bcosA 等于 A.2cosC B.2s inC a b C.
D.c 2
解析：由正弦定理得：—
—=2R
sinA sinB
得 a = 2RsinA , b = 2RsinB
• acosB + bcosA = 2RsinAcosB + 2RcosAsinB = 2Rsin (A + B )= 2RsinC = c 答案：D
cosB =± . 1 - sin 2 B =±
答案：A 25. 在不等边△ ABC 中，a 为最大边，如果
A.90 ° v A v 180 °
B.45
C.60°v A v 90°
D.0 ° 解析：••• a 2v b 2+ c 2,「. b 2 + c 2— a 2>0,
J.2
2
b c - a
• cosA =
> 0, • A v 90°,
2bc
又T a 边最大，• A 角最大
5
24.在△ ABC 中，已知 cos
A = 13 16 A. 一 65 56
B. 一
65
3
解析：由sinB = -，得
5
3 sinB = —，贝U cosC 等于
5
16 十 56 C. 或 65 65 16
D.-
65
4
但当 cosB = ------ , cosA + cosB v 0,
5
• cosC = cos [ 180° — ( A + B )= =—(cosAcosB — sinAsinB )
12
=si nAsi nB — cosBcosA = 13 C 无解 cos (A + B )
5
16 65
13 a 2v b 2 + c 2,则A 的取值范围是( v A v 90°
v A v 90°
A +
B +
C = 180°,「. 3A > 180 ••• A > 60°,「. 60°v A v 90 ° 答案：C
26. 已知点A 分BC 的比为2,下列结论错误的是
解析：数形结合可得 C 选项错误. 答案：C
27. 在厶ABC 中，若B = 30°, AB = 2 3 , AC = 2,则厶ABC 的面积为 A.2 一 3 B. .3 C.2 , 3 或 3 D.2 .3 或 4.3
• C = 60° 或 120°,「. A = 90° 或 30° •-
S A
ABC
= — AB • AC • sinA = 2 . 3 或-3 .
2
答案：C
A
28. 在厶 ABC 中，若 sinB • sinC = cos 2?，则△ ABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形
C.
等边三角形 D.等腰直角三角形
1 +cosA
解析：••• sinB ・ sinC =
1 COsA
2
又 cosA = cos [ 180° — ( B + C)] =— cos ( B + C )=—( cosBcosC — sinBsinC ) • 2si nBs inC = 1 — cosBcosC + si nBsi nC , • cosBcosC + si nBs inC = 1 • cos ( B — C )= 1, • B = C , • △ ABC 是等腰三角形. 答案：A 二、解答题
1.设 e 1, 02 是两个不共线的向量， 已知 AB = 2e 1+ k e 2, CB = e 1+ 3 e 2, CD = 2& — e
2, 若
A 、
B 、D 三点共线，求k 的值.
分析：由于A 、B 、D 三点共线，因此存在实数 入，使AB =入BD ，而BD = CD — CB =e 1 — 4e 2，将AB 、BD 的①、e 2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于
A.B 分AC 的比为—2
B. C 分BA 的比为一3
C.A 分CB 的比为2
D.C 分AB 的比为一-
3
解析：sinC = 2
如30
2
入、k 的
方程组，便可求得 k 的值.
=CD — CB =( 2 e i — e ?) — ( e 1 + 3e ?)
评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件， 的区别和联系•
2•已知a 、b 是两个非零向量，当 a +1b (t € R )的模取最小值时， (1) 求t 的值； (2) 求证 b ±( a + t b ).
分析：利用|a +1b |2=( a +1b ) 2进行转换，可讨论有关|a + t b |的最小值问题，若能算得 b - ( a +1b )= 0,则证明了 b ±( a + t b ).
(1)解：设a 与b 的夹角为0 则 |a + t b |2=( a +1b ) 2
2 2 2
=a + 2a • t b +1 b
=|a |2 + 2t|a ||b |cos 0 +12 |b |2 =|b |2t 2 +( 2|a ||b |cos 0 ) t + |a |2
="2(
t + 启皿 2+ |2朋
a b
a b
(2)证明：b • (a + t b )= b • (a — • b )= a • b —
• b • b = a • b — a •
b = 0
|b |2
|b |2
b ±( a +1 b ).
评述：对|a + t b |变形，可以从两个角度进行思考，一是通过
|a +1 b |2=( a +1 b ) 2的数
量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的
— 一 1
3•如图所示，OADB 是以向量OA = a , OB = b 为边的平行四边形，又 BM = - BC , CN
3
1 ------------------------------------------ =一 CD ，试用 a , b 表示 OM ,ON,MN . 3
解：BA = OA - OB = a — b
解：BD -A 、 B 、 D 三点共线，.••存在实数 入，使AB =入 BD , — 2 e i + k e 2 =入(e 1 一 4e 2)
于是可得
2= ，解得 k =-8. k = -4'L .
要注意两个向量共线和三点共线 「.当t =-辭一忙
a b
2时，|a + t b |有最小值.
l b |2
Q
--- 111
••• BM BC BA(a—b)
3 6 6
OM =OB BM =b+ 1 (a一b)= —a+ —b
6 6 6
又由OD = a + b,得
11 2 2 2
ON OD OD OD a+ b
2 6
3 3 3
2 2 1 5 11
MN =ON - OM =(—a+ b) 一 ( —a+ b)= —a一b
3 3 6 6 2 6
评述：由于a, b不共线，因此a, b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个
三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法
4•已知0 ABC 所在平面内一点，且满足|0A|2|BC|2=|OB|2|CA|2=|OC|2
| AB |2.
求证：O点是△ ABC的垂心
证明：设OA = a, OB = b, OC = c,贝V BC = c—b, CA = a—c, AB = b—a.
•/ |OA |2+ |BC |2= |OB |2+ |CA|2= |OC |2+ | AB |2
••• a2+( c—b) 2= b2+( a—c) 2= c2+( b—a) 2
即 c • b= a • c= b - a,
故AB • OC =( b—a) • c= b - c— a • c= 0
BC • OA =( c—b) • a = c • a—b • a = 0
•AB 丄OC , BC 丄OA ,
•••点O是厶ABC的垂心.
5•如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：PA PB PC P^ 2PO .
证明：设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，贝U OM丄AB, ON 丄CD.
••• PA PB =2PM ,PC PD =2PN
而AB丄CD，•四边形MPNO为矩形
•PM PN 二PO ,
• PA PB PC PD =2PO
6.已知△ ABC 中，A ( 2,—1) , B ( 3, 2), C (—3 , —1) , BC 边上的高为AD，求点
D和向量AD的坐标.
9.已知△ ABC中三内角满足A + C= 2B,
cos A cosC cosB ,求cos口的值.
解：设点D坐标(x, y),由AD是BC边上的高可得AD丄BC，且B、D、C共线, AD BC =0
CD// DB
；(x—2,y+1) (-6,—3) =0 ©+3)(2—y)—(3-x)(y+1)=0
卜6(x-2) -3(y+1) =0
Jx+3)(2—y) —(3—x)(y+1)=0
2x + y _ 3 = 0
J
x _ 2y +1 =0
x =1
解得丿
•••点 D 坐标为(1, 1), AD =( - 1, 2)
7•已知a、b、c 分别为△ ABC 三内角A、B、C 所对的边，且2(si nA—sinB), si nA—si nC, 2 (sinB-sinC)成等比数列.
求证：2b= a + c.
证明：要证2b= a+ c,由正弦定理只要证：
sinB —si nA = si nC—sin B 即可：
由已知可得：(sinA —sinC) 2—4 (sinA —sinB)
(sinB —sinC)= 0，且sinA^ sinB,构造方程：
(si nA —si nB) x2—( si nA—sinC) x+( sinB —sin C )= 0，且x = 1 是方程的根△ =( sinA—sinC) 2— 4 (sinA —sinB) • (sinB—sinC)= 0,.方程有两相等实根由韦达定理可知：
sin B _sinC = 1
sin A —sin B
• si nB —si nC = si nA—si nB,故结论得证.
8.设i,j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且AB = 4i + 2j, AC =3i + 4j，证明△ ABC是直角三角形，并求它的面积.
解：BC 二AC - AB =( 3i+ 4j) — ( 4i + 2j)=—i + 2j
•/ AB • BC =( 4i + 2j) (—i + 2j)=—4i2+ 6i • j+ 4j2= 0, • AB 丄BC
• △ ABC是直角三角形，
•• S= ■—AB | • | BC |= —x 2 . 5 x 5 = 5
2 2
a 2 -
b 2
sin( A - B) c 2
一 sin C 证明：T a 2= b 2+ c 2— 2bccosA , — = sin B , C = n —(A + B )
c si nC
2 2 a -b 2b 2sin BcosA
2 1 cos A = 1 - c c sin C
sin C -2sin BcosA sin(A B) -2sin BcosA si nC si nC
sin A cos B 「s in B cos A sin (A 「B)
sin C 解：由 A + C = 2B ,可得 B = 60°, A + C = 120°
A _C 设 =a ，贝V A — C = 2 a ,
2 • I A = 60°+ a , C = 60° — a ,
1 1 1 1
-- cos A cosC cos(60'U ) cos(60 -：)
1 1 3 . cos sin:
2 2 卜 _______________ 1
1 . cos sin:
2 2 cos: cos ：
cosB
将B=60 °代入得 cos ： 2 2
2 3
cos : 4
••• 2、2cos 2a+ cos a — = 0
2 (2cos a — 2) (2、. 2 cos a + 3)= 0
••• 2 2 cos a + 3 >0
…cos a
即 cos~C
10.在厶ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,求证: sin C
故原等式成立.
11.在△ ABC 中，BC = a , AC = b , AB = c ,且 c 为最大边，若 accosA + bccosB v 4S,其 中S 为^ ABC 的面积.
求证：△ ABC 为锐角三角形.
证明：由余弦定理及三角形面积公式 accosA + bccosB v 4S
即 b 2+c 2_a 2 丄b
a 2+c 2_
b 即 a
c • + bc •
2bc ••• a 2 (b 2+ c 2-a 2)+ b 2 (a 2+ c 2- b 2)v 4a 2b 2 即(a 2 + b 2) c 2v a 4 + 2a 2 •
b 2 + b 4=( a 2 + b 2) 2 •
c 2v a 2 + b 2,
2 * b? _ 2 cosC = a ------------- — > 0, • C 为锐角
2ab
又c 为最大边，故 C 为最大角，
• △ ABC 为锐角三角形.
12.在厶ABC 中，si nA = 一，判断这个三角形的形状
cosB + cosC 解：由正弦定理、余弦定理可得：
b +c
a = ~2 2 2 2 2 2 c a -
b a b -
c 2ca 2ab
2.2 2 2 2 2 c a -b a b -c —
=b + c
2c 2b •- b (a ?— b ?)+ c (a ?— c ?)= bc (b + c )
2 3 3
••( b + c ) a =( b + c )+ bc (b + c )，
• a 2= b 2 + c 2，
•••△ ABC 是直角三角形. 2 .2
v 2absinC v 2ac
2ac。