2015届中考数学精品复习课件【第3讲】因式分解

【点评】 因式分解是将一个多项式化成几个整式
积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是 因式分解，还要注意分解要彻底．
因式分解的意义 【例1】 (2014·泉州)分解因式x2y－y3结果正确的是( D )
A．y(x＋y)2
C．y(x2－y2) 【点评】
B．y(x－y)2
D．y(x＋y)(x－y)
试题 分解因式：
源自文库
(1)20m3n－15m2n2＋5m2n；
(2)4x2－16y2； (3)m(a－b)＋n(b－a)；
(4)－3x2＋18x－27.
错解 (1)20m3n－15m2n2＋5m2n＝5m2n(4m－3n)； (2)4x2－16y2＝(2x＋4y)(2x－4y)； (3)m(a－b)＋n(b－a)＝(a－b)(m＋n)； (4)－3x2＋18x－27＝－3(x2－6x＋9)．
【点评】 (1)首项系数为负数时，一般公因式的系数 取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公 因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公 因式也可以是多项式．
2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是
__x－2__．
(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1) 后，余下的部分是( D ) A．m＋1 C．2 B．2m D．m＋2
例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m ＋n)； (2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)． 试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝__(a＋b)(a＋b＋c)__．
和等于0，则这些非负数均为0；一个数和它的相反数 同时不小于0或同时不大于0，那么这个数一定是0.
当已知若干个非负数的和为0时，常常可由此得出若干个代数式等于0的结果 (含未知数的等式——方程)，由它们组成的方程或方程组(未知数)的值为我们解 决相应的问题开辟了途径． 规范答题 解：a2＋3b2＋3c2＜2ab＋4b＋12c－13， 将已知不等式变化为： a2＋3b2＋3c2＋13－2ab－4b－12c＜0， a2－2ab＋b2＋2b2－4b＋2＋3c2－12c＋12＜1， (a2－2ab＋b2)＋2(b2－2b＋1)＋3(c2－4c＋4)＜1， ∴(a－b)2＋2(b－1)2＋3(c－2)2＜1. ∵a，b，c都是整数， ∴不等号左边是三个非负整数之和， ∴(a－b)2＋2(b－1)2＋3(c－2)2≥0， ∴只能是(a－b)2＋2(b－1)2＋3(c－2)2＝0， 根据非负数的性质，可得a－b＝0，且b－1＝0，且c－2＝0，∴a＝b＝1，c ＝2.
2)__； (3)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4； 解：(x＋2)(x＋4)＋x2－4＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋ 2)(x＋4＋x－2)＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)
(4)在实数范围内分解因式：m4－9.
解：m4－9＝(m2＋3)(m2－3)＝(m2＋3)(m＋)(m－)
3．因式分解的一般步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解； (3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再
有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样
才算分解彻底； (4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数
范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋)(x－)，题目不作说明的，
表明是在有理数范围内因式分解．
分解彻底 作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不
能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，
若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底． 思考步骤
多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方
(3)m(a－b)＋n(b－a)＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)；
(4)－3x2＋18x－27＝－3(x2－6x＋9)＝－3(x－3)2.
【点评】 (1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值； (2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左 边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全 平方式都等于0，从而使问题得以求解．
试题
如果 a ， b ， c 都是整数 ， 且满足 a2 ＋ 3b2 ＋ 3c2
正解 (1)20m3n－15m2n2＋5m2n＝5m2n(4m－3n＋1)； (2)4x2－16y2＝4(x＋2y)(x－2y)；
(3)m(a－b)＋n(b－a)＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)；
(4)－3x2＋18x－27＝－3(x2－6x＋9)＝－3(x－3)2.
正解 (1)20m3n－15m2n2＋5m2n＝5m2n(4m－3n＋1)； (2)4x2－16y2＝4(x＋2y)(x－2y)；
果正确的是( C ) A．2(x2－9) C．2(x＋3)(x－3) B．2(x－3)2 D．2(x＋9)(x－9)
6．(2012·温州)把多项式a2－4a分解因式，结果 正确的是( A ) A．a(a－4) C．a(a＋2)(a－2) B．(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
【例1】 (2014·泉州)分解因式x2y－y3结果正确的 是( D ) A．y(x＋y)2 C．y(x2－y2) B．y(x－y)2 D．y(x＋y)(x－y)
剖析
学习因式分解，若对分解因式的方法不熟练，理解
不透彻，可能会出现各种各样的错误．因式分解提取公 因式后，括号内的项一定要与原来的项数一样多，错解主 要是对分配律理解不深或粗心大意造成的，提取公因式还有 符号方面的错误；分解因式时，应先观察是否有公因式可提， 公因式包括系数，错解忽视提取系数的最大公约数；分解因 式还要使分解后的每个因式都不能再分解．
(3)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)．
解：(x＋y)2－3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)
运用公式法分解因式
【例3】 (1)①(2014·东营)3x2y－27y＝__3y(x＋3)(x－3)__； ② (2014· 邵 阳 ) 将 多 项 式 m2n － 2mn ＋ n 因 式 分 解 的 结 果 是 __n(m－1)2__． (2)分解因式： ①(2014·黄冈)(2a＋1)2－a2＝__(3a＋1)(a＋1)__；
法是根本不适用的．因此，拿到一道题目，先试试这个方法，再试试 那个办法．解题时思考过程建议如下： (1)提取公因式； (2)看有几项；
(3)分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多
项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分 解为止． 变形技巧 当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
第3讲 因式分解
1．因式分解 把一个多项式化成几个__ 整式 __ 积的形式 ， 叫做 因式分解 ， 因式分解与 __ 整式乘法 __ 是互逆运 算． 2．基本方法 (1)提取公因式法： ma＋mb－mc＝__m(a＋b－c)__． (2)公式法： 运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__； 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．
②(2014·淄博)8(a2＋1)－16a＝__8(a－1)2__．
【点评】 (1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形 式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式 的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体， 分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式 的特征．
3．分解因式：
(1)9x2－1；
(2)25(x＋y)2－9(x－y)2； (3)(2012·临沂)a－6ab＋9ab2； (4)(2013·湖州)mx2－my2.
解：(1)9x2－1＝(3x＋1)(3x－1) (2)25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)] ＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y) (3)a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2 (4)mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)
【点评】 灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式， 然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．
4．(1)(2014·武汉)分解因式：a3－a＝__a(a＋1)(a－1)__；
(2)(2014· 黔东南州 ) 分解因式： x3 － 5x2 ＋ 6x ＝ __x(x － 3)(x －
1．(2014·温州)因式分解：a2－3a＝a(a＋3)． 2．(2014·台州)因式分解：a3－4a＝a(a＋2)(a－2)． 3．(2013·嘉兴)因式分解：ab2－a＝a(b＋1)(b－1)． 4．(2012·绍兴)分解因式：a3－a＝a(a＋1)(a－1)．
5 ． (2014· 义乌 ) 把代数式 2x2 － 18 分解因式 ， 结
因式分解是将一个多项式化成几个整式积的
形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分
解，还要注意分解要彻底．
1．(2014·安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
C．x2＋5y
B．a2－6a＋9
D．x2－5y
提取公因式法分解因式
【例2】 阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法 ．
＜2ab＋4b＋12c－13，则a，b，c的值．
审题视角
问题中只有一个不等量关系 ，未知字母
有三个．考虑到问题中的完全平方式，应用非负数的 性质来解决问题，把未知字母组成方程或方程组． 所有不小于0的实数称为非负数，学过的一些代数式 的绝对值或它的平方式、它的算术平方根等，都是非
负数．关于非负数，有下面的结论：若干个非负数的
综合运用多种方法分解因式
1 1 1 【例 4】 给出三个多项式： x2＋x－1， x2＋3x＋1， x2－x， 2 2 2 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式． 1 1 1 解：( x2＋x－1)＋( x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；( x2＋x 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 －1)＋( x －x)＝x －1＝(x＋1)(x－1)；( x ＋3x＋1)＋( x －x)＝ 2 2 2 x2＋2x＋1＝(x＋1)2
因式分解的应用
【例5】 (1)(2014·河北)计算：852－152＝( D ) A．70 B．700 C．4900 D．7000 (2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值． ∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0，即(a＋3)2＋(b －5)2＝0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2