2014年中考数学,阅读理解题

F
E D
C
B A E
D
C
B
A
初中数学杜老师-----136********
1、14东城一模22. 阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连结EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．
F E D
C
B
A
G
F E
D
C
B
A
图1 图2
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试
了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°．若
∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF =BE +DF ；
（2）如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1，
EC =2，求DE 的长．
图3 图4
22．（本小题满分5分）
解： (1)∠B +∠D =180°（或互补）． ………………1分 (2)∵ AB =AC ，
∴ 把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB 与AC 重
合. ………………2分 ∠B =∠ACG
,
BD=CG,
AD=AG
∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°．
即∠ECG=90°．
∴EC2+CG2=EG2．………………3分
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED．………………4分
∴DE=EG ．
又∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2．
∴
DE=．………………5分
2、14西城一模22.阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按如图1所示放置，已知OB=10，BC=6．将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含
图1 图2 备用图
请回答：
（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；
（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
折叠，求点A的坐标；
F落在OB边上（含端点），直接写出k的取值范围．
22．解：（1）点A 的坐标
（0）；……………… 1分
（2）如图； ………………2分
（3）EF 垂直平分OA ，
则∠AOD =∠OFE ． ∴tan ∠AOD =tan ∠OFE =
12
． 在Rt △AOD 中，DA = OD tan ∠AOD 3=．
∴点A 的坐标为()36，； ······································································ 3分 （4）1
13
k
-≤≤- ·························································································· 5分 找到两个特殊点（OD 和DC 重合；EF 过B 点利用tan ∠OFE =k - 3、14年海淀一模22．阅读下面材料：
在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD 的边长为2，折叠菱形纸片，将B 、D 两点重合在对角线BD 上的同一点处，折痕分别为EF 、GH ．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长的变化情况是怎样的？ 小明发现：若∠ABC =60°，
①如图1，当重合点在菱形的对称中心O 处时，六边形AEFCHG 的周长为_________
；
②如图2，当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长_________（填“改变”或“不变”）.
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；
（2）如图4，若∠ABC 的大小为
2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．
22．
分 ②不变. ……………………………………………………………………………2分
（1
） ……………………………………………………………………3分
（2）4+4sin α． ………………………………………………………………5分
4、14年朝阳
22．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：
五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②
)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).
C
小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等．．．．
，若设新的正方形的边长为x （x ＞0），可得x 2=5，x
由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．
具体要求如下：
（1）设拼接后的长方形的长为a ，宽为b ，则a 的长度为 ； （2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）； （3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）
22. 解：（1
……………………………………………………………………… 1分
（2）如图（画出其中一种情况即可）
3分
（2）如图（画出其中一种情况即可） ……………………………………………… 5分
图④
图⑤
5、
１４年石景山一模22．实验操作
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以点
数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形—“叠加矩形”。

请按照上述操作过程完成下面的问题：
（1）若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为 ；
（2）已知△ABC 在正方形网格的格点上，在图9中画出△ABC 的边BC 上的叠加矩形EFGH （用虚线作出
痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹）
(3) 如图10所示的坐标系，OA =3，点P 为第一象限内的整数．．
点，使得△OAP 的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的P 点的坐标。

22.（1）3 ………………1分 （2）作图正确 ………………2分
（3）图略123(1,3);(2,3);(3,3)P P P （答对1个坐标得1分）
７、１４年丰台一模22. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可
以把该三角形分为面积相等的两部分。

进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线AF 。

小明的作图步骤如下： 第一步：连结AC ；
第二步：过点B 作BE//AC 交DC 的延长线于点E ； 第三步：取ED 中点F ，作直线AF ； 则直线AF 即为所求.
请参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，五边形ABOCD ，各顶点坐标为：A(3,4)，B(0,2)，O(0,0)，C(4,0)，D(4,2).请你构造．．
一条经过图9
图10 图11
F
E
D
C
B
A
图1
顶点A 的直线，将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.
22.解：正确构图……………………………………… 1分
连结AO ，作BM//AO 交x 轴于点M ；
连结AC ，作DN//AC 交x 轴于点N ； 取MN 中点F ，作AH ⊥x 轴于H 。

∵BM//AO ∴∠BMO=∠AOH
∵∠BOM=∠AHO=90°∴△BMO ∽△AOH ∴
BO AH
MO OH
=∴
24
3
MO =∴MO=1.5…………2分 同理 CN=0.5………………………………………3分 ∴M （-1.5,0），N （4.5,0）
∴MN 的中点F （1.5,0）………………………………4分 设直线AF 的解析式为
(0)y kx b k =+≠
把A （3,4）和F （1.5,0）代入得
430 1.5k b k b =+⎧⎨
=+⎩ 解得834
k b ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩∴直线AF 的解析式为843y x =-………………5分
要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）. 22 .(1)90 ……………………………………1分 直接计算后利用勾股定理 (2)P (7,7) ……………………………….3分 PM 是分割线. …………………………………………4分
………………………..5分
9、14年昌平一模22. 图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别
为△ABC 和△DEF ，其中∠B =90°，∠A =45°，BC
=∠F =90°，∠EDF =30°， EF =2．将
O
M E
F
△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD =10，则AD = ；
（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD 的最大度数为 ；
②当FC ∥AB 时，AD = ；
③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD = ;
④△FCD 的面积s 的取值范围是 .
图2
A
B
C
备用图
图1
22．解：（1）2. ……………………………………………………………………………………… 1分 （2）① 60°. ………………………………………………………………………………… 2分
②
. ………… 3分此时FC ∥AB 过点F 作AC 的垂线构造直角三角形
③
2
3
. ………… 4分 设AD=x,过点F 作FH 垂直于AC 与H 则CH=9-x 利用勾股即可
④s ≤. …………………… 5，分两个极点D 与A 重合，E 与C 重合
10、14年顺义一摸22．在ABC △中，BC
a =，AC
b =，AB
c =，
设c 为最长边．当222
a b c +=时，ABC △是直角三角形；当2
22a
b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，可以
判断ABC △的形状（按角分类）．
（1）请你通过画图探究并判断：当ABC △三边长分别为6，8，9时， ABC △为____三角形；当ABC
△三边长分别为6，8，11时，ABC △为______三角形． （2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当2
2a
b +>2
c 时，ABC △为锐角三角形；当22a b +<2
c
时，ABC △为钝角三角形．” 请你根据小明的猜想完成下面的问题： 当2a
=，4b =时，最长边c 在什么范围内取值时， ABC △是直角三角形、锐角三角形、钝角
三角形？
22. 解：（1）锐角，钝角． ……………………………………………………………… 2分
（2）∵c 为最长边，∴46c <≤．
①2
22a
b c +=，即220c c ==，
∴当c =时，这个三角形是直角三角形．………………………… 3分
②2
22a
b c +>，即220c c <<<，0
∴当4c <≤ 4分
③2
22a
b c +<，即220c c >>，
∴当6c <<时，这个三角形是钝角三角形．……………………… 5分
22. 11、14年房山一模阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC 中，AB ,BC ,AC 、
，求△ABC 的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC 的面积. 他把这种解决问题的方法称为构图法．
请回答：
(1)图1中△ABC 的面积为 ；
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
(2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1) ．
①利用构图法在答题卡的图2的格点△DEF ；
②计算△DEF 的面积为 ．
(3)如图3，已知△PQR ，以PQ ，PR 为边向外作正方形PQAF ，PRDE ，连接EF ．若
PQ PR QR === ,则六边形AQRDEF 的面积为__________．
22. （1）图1中△ABC的面积为 3.5 . ..................................1分
（2）①如图2所示：
（答案不唯一）
分
②△DEF的面积为 8 ．.................................. 3分
（3）六边形ABCDEF的面积是 31 ．................................5分
12、
14年燕山一模22. 阅读下面材料：
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平
行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对
边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图
1 所示，平行四边形ABEF即为ABC
∆的“友好平行四边形”．
图1
图2
请解决下列问
题:
（1）仿照以上
叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若ABC
∆是钝角三角形，则ABC
∆显然只有一个“友好矩形”，
若ABC
∆是直角三角形，其“友好矩形”有个；
（3）若ABC
∆是锐角三角形，且BC
AC
AB<
<，如图2，请画出ABC
∆的所有“友好矩形”；
指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.
22. 解：（1）三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边
图1 图2 图3
图2
F E
C
B
A B
A
上. ………………1分
（2）2； ………………2分 （3）画图: ………………3分
周长最小的“友好矩形”是矩形
ABHK . ………………4分
理由:易知这三个矩形的面积都等于ABC ∆的面积的一半，所
以这三个矩形的面积相等,令其为S ,设矩形BCDE ，矩
形CAFG ，矩形
ABHK 的周长分别为1L 、2L 、3L ，
ABC ∆的边长a BC =，b CA =，c AB =，
(a b c <<)，则a a S L 221+=，b b S L 222+=，c c S
L 223+=，
∴ab
S
ab b a b b S a a S L L -⋅
-=+-+=-)(2)22()22(21， 而S ab
>，b a >，∴021>-L L ，即21L L >.
同理可证32
L L >.
13、
14年密云一模22．阅读并操作：
如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③)．拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1)．
请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中．
(1)新图形为平行四边形；
F E
D K
H G
C
B
A
(2)新图形为等腰梯形．
利用面积，等积变形 22. (1)…..3分 (2) …5分
14、14年通州一模22．问题解决
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°， ∠B =∠E =30°.
（1）如图2，固定△ABC ，将△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时， 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是__________；
（2）当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并
尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）如图4，∠ABC =60°，点D 在其角平分线上，BD =CD =6，DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在射线BA 上，并且DCF
BDE S S ∆∆=，请直接写出．．．．
相应的BF 的长． A
C
A （D ）
B （E ）
C
D E
图1 图 2
B
D
A
D
B
D
N
M
22.（1）相等. . …………………..(1分)
（2）证明： DM 、AN 分别是△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高， ∴︒=∠=∠90ANC DMC
︒=∠90DCE
∴︒=∠90DCN
∴︒=∠+∠90BCN DCB ︒=∠90ACB
∴︒=∠+∠90BCN ACN
∴ACN DCB ∠=∠
AC DC =
∴△DCM ≌△ACN ( AAS ) . . …………………..(2分)
∴AN DM =
且BC CE =
∴21S S = . . …………………..(3分)
(3)3432或=BF . . …………………..(5分)
15、14年一模平谷22．如图1，在△ABC 中，E 、D 分别为AB 、AC 上的点，且ED //BC ，O 为DC 中点，
连结EO 并延长交BC 的延长线于点F ，则有S 四边形EBCD =S △EBF .
（1）如图2，在已知锐角∠AOB 内有一个定点P ．过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA 、OB 于
点M 、N ．将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，当直线MN 满足某个条件时，△MON 的面积存在最小值．直接写出这个条件:_______________________.
（2）如图3，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 、C 、P 的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（
9
2
，92
）、（4、2），过点P 的直线l 与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC 分成两个四边形，求其中以点O 为顶点的四边形面积的最大值．
2
2
S AN
CE S ACE =⋅=
∆12
S DM BC S BCD =⋅=
∆ A
B
C D
E
N M
图3
图1
图2
D O
E
F
C
B
A
22． (本小题满分5分)
解：（1）当直线MN 旋转到点P 是线段MN 的中点时， △MON 的面积最小．------------1分 （2）分两种情况：
①如图3①过点P 的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC 、AB 分别交于点M 、N ． 延长OC 、AB 交于点D ，易知AD = 6，S △OAD ＝18 ．
由（1）的结论知，当PM =PN 时，△MND 的面积最小，此时四边形OANM 的面积最大． 过点P 、M 分别作PP 1⊥OA ，MM 1⊥OA ，垂足分别为P 1、M 1． 由题意得M 1P 1=P 1A = 2，从而OM 1=MM 1= 2． 又P (4,2)，B (6,3)
∴P 1A =M 1P 1=O M 1=P 1P =2，M 1 M=OM=2，可证四边形MM 1P 1P 是正方形．
∴MN ∥OA ，∠MND =90°，NM =4，DN =4．求得S △MND ＝8 ----------------------------------2分 ∴.10818OANM =-=-=∆∆MND OAD S S S 四边形 ------------------------------------------------3分
② 如图3②，过点P 的直线l 与四边形OABC 的另一组对边CB 、OA 分别交M 、N ． 延长CB 交x 轴于T 点，由B 、C 的坐标可得直线BC 对应的函数关系式为 y =－x ＋9 ． 则T 点的坐标为（9，0）．
∴S △OCT = 12 ×9×92 =814 ． -----------------------------------------------------------------------------4分
由(1)的结论知：当PM =PN 时，△MNT 的面积最小，此时四边形OCMN 的面积最大． 过点P 、M 点分别作PP 1⊥OA ，MM 1⊥OA ，垂足为P 1 ，M 1. 从而 NP 1 =P 1M 1，MM 1=2PP 1=4．
∴点M 的横坐标为5，点P （4、2），P 1M 1= NP 1 = 1，TN =6． ∴S △
MNT = 12 ×6×4=12，S 四边形OCMN =S △OCT -S △MNT = 814 -12=33
4
＜10．
综上所述：截得四边形面积的最大值为10． -----------------------------------------------------5分
图3① 图3 ②
16、14年怀柔一模22．如图，定义：在Rt △ABC 中，∠C =90°,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α，即ctan α=
AC
BC
αα=
角的角的邻边对边. 根据上述角的余切定义，解答下列问题： （1）ctan60°= . （2）求ctan15°的值.
22． 解：（1）
3
3
.……………………………………………2分 （2）如图，作△DEG ，使DE=GE ，∠D=15°.
过点G 作GH ⊥DE 的延长线于点H. ……………………………………………3分 ∵ED=EG ，∠D=15°. ∴∠2=30°， 在Rt △GEH 中，∵∠H =90°, ∠2=30°.
∴设GH=x ，则EH=x 3 ，GE=DE=2x, ∴DH= DE+EH=2x+
x 3.
∴ctan15°=
3232+=+=x
x
x GH DH ……………………………………………………5分 17、延庆的22题还是园
C
B
A
α
E
G
H
D
1
2。