组合数学第1章

组合数学的主要问题
将一些物体安排成满足一定规则的模式 或形态. ①存在性问题: 满足一定条件的安排的存在 性. 如果某种安排不一定总存在，我们就需 要研究存在的条件. ②计数和分类问题:如果所要求的安排存在， 则可能有多种不同的安排. 需要计数不同的 方案数，并对它们进行分类.
8
③构造性问题: 当所要求的模式存在，而 且进行了计数和分类，有时我们更希望 程序化的方法把相应的模式枚举或构造 出来.
4 3 8
9 5 1
2 7 6
幻方：一个n阶幻方是由整数1，2，3…，n2按 下述方式组成的n×n方阵：该方阵每行上的 整数的和、每列上的整数的和以及两条对角 线中每条对角线上的整数的和都等于同一个 数. 幻和S：每一行（或列或对角线）数字的和.
n (n 1) 1+2+3+ n( + n 1) , n S . 2 2 2 21) n (n nS , 2
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正交拉丁方
例 36军官问题(Euler) 有36名军官来自6个不同的军团，共有6种不 同的军衔，他们能否排成一个66的方阵， 使得每行每列恰有各种军衔，并且每行和每 列上的不同军衔的6名军官还分别来自不同 的军团？ 解： (i :军衔, j :军团), i, j[1,6]. (1,1) (1,2) (1,3) …(1,6) (2,1) (2,2) … (2,6) …. (6,1) (6,2) … (6,6)
怎样学好组合数学
主要方法：数学归纳法、反证法、计数 时的合理分类、组合模型的转换、组合 分析. 要学好组合数学并非易事，既需要一定 的数学修养，也要进行相当的训练.
主要内容
基本介绍 鸽巢原理和Ramsey定理（存在性问题） 基本计数方法 容斥原理 生成函数 计 数 递推关系 Pólya定理
组合数学的应用
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2 2
幻方的问题: ①存在性问题 对任意的正整数n，n阶幻方是否存在？ ②组合计数问题 如果存在，那么应该有多少个不同的 n阶幻 方？ ③构造问题 奇数阶幻方：连续摆放法 双偶数(4k)阶幻方：对称法 单偶数(4k+2)阶幻方：斯特雷奇法（1918）
幻方的存在性问题
例1.1 证明不存在2阶幻方. 证明：反证法. 假定存在2阶幻方：
组合数学
主讲教师：冯子玹
关于教材
内部试用版本 地点：计算机大楼 A413 价格：每本20元 组织：请各班班长带着本班的教材费前来领取 参考书：


机械工业出版社：组合数学，布鲁迪 (Brualdi R.A.) (作者), 冯舜玺 (译者) 清华大学出版社：组合数学，卢开澄等
引言
组合数学(简称组合学)是数学的一个分支, 它起源于古代的娱乐和休闲游戏. 后来这些 问题逐渐与数论、概率统计、拓扑学、线 性规划等学科的问题交织在一起，逐渐形 成一种理论. 计算机出现以后，由于离散对象的处理是 计算机科学的核心，研究离散对象的组合 数学得到迅猛发展.
1 32 9 28 5 36
6 7 2 33 34 29
26 21 22 17 12 13
19 23 27 10 14 18
24 25 C 20 15 16 B 11
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幻方的计数问题
3阶幻方: 基本形式只有一种， 经过旋转和翻转可获得8种变形.
8
1 6
6
1
8
3
4
5 7
9 2
7
2
5 3
9 4
4阶幻方：基本形式有880个，变形有7040个. 5阶幻方：基本形式有275305224个. 6阶及以上幻方：难以获得精确的数字，目 前只能估出它取值范围.
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例1.5 设计一个药物临床试验以测试五种药物对 人体的药效. 这五种药物编号1,2,3,4,5. 然后选取 5个人，并给每人不同的药. 为了消除个体对药 物的反应偏差，要求在连续5天里进行测试，每 人每天吃一种药物. 而为了消除服药时间造成药 效的偏差，要求2个人不能在同1 天吃相同的药 . 解：满足要求的实验：由1,2,3,4,5构成的5×5的 方阵，其中每行每列中没有相同的数字，即5阶 拉丁方.
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红色,
蓝色
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地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家 使用一种颜色.如果要求相邻国家的颜色相异， 是否总共只需四种颜色？这是图论问题. 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一 棵白菜运过河. 只要船夫不在场，羊就会吃白 菜、狼就会吃羊.船夫的船每次只能运送一种东 西.怎样把所有东西都运过河？这是线性规划问 题.
中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授 提出.邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每 条街，都至少通过一次，再回邮局.怎样行走走 过的路程最短？ 著名的组合数学家 Thomas Tutte 从德军的两条 情报密码出发，用组合数学的方法,重建了敌人 的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而 获得了极为重要的情报.
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n阶拉丁方的构造方法：
第1行为 第2行是 第k行为 第n行为 1,2,3…,n 2,3,…,n,1 k,k+1,…,n,1, …,k-1 n,1,2,3…,n-1.
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
行（人） 列（天） 5阶拉丁方 有161280个.
a1 a2 a3 a4
根据幻方的定义，它的幻和是5，于是a1+ a2= a1+ a3=5，可得a2= a3，因为a1，a2，a3， a4必定 彼此不同，矛盾.
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幻方的构造性问题
①奇数阶幻方的构造：连续摆放法.
将1放在(n+1)/2列第1行的方格中； 按照副对角线方向（即行号减1，列号加1）依次把从 小到大的各个数字放入相应的方格中； 如果行号变成0（第1行上面一行），则改成第n行相 应列对应的方格； 如果列号变成n+1（第n列右面一列），则改成第1列 相应行对应的方格； 如果轮到的方格已经填有数字或者到了第0行第n+1列 对应的方格，则退到前一个方格正下方的方格.
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例1.2 利用连续摆放法构造5阶幻方
17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
即行号减1，列号加1
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②偶数阶幻方的构造：n=4k 对称法. 把n×n的方阵分成上、下、左、右四个2k×2k的方
阵； 处理左上的2k×2k方阵，每行每列任意取一半(k个) 的方格做标记，涂成阴影； 按对称轴将阴影向下和向右作对称图形，使得n×n的 方阵的每一行和每一列都有一半(n/2)的方格被涂成阴 影； 从1开始依次填入方格中，第一遍：从第1行第1列的 方格开始往右，不是阴影则填数字，是阴影的方格不 填数字，但相应的数字加1. 第1行填完后填第2行依 次到第n行第n列的方格；
④优化问题: 在给定的优化条件下从所有的 安排方案中找出最优的安排方案.
第一章 引言
将一些物体安排成满足一定规则的模式或形态. ①存在性问题 ②计数和分类问题 ③构造性问题 ④优化问题 §1.1 幻方问题 §1.2 拉丁方问题 §1.3 涂色问题
§1.1 幻方问题
公元前23世纪大禹 治水时，在洛水中，浮 现出一只大乌龟，甲上 背有9种花点的图案， 正巧是1—9这9个数， 其横的3行、纵的3列以 及两对角线上各自的数 字之和都为15.
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§1.2 拉丁方问题
n阶拉丁方: 由数字1,2,…,n构成的n×n的方阵, 使得在每1行、每1列中每个数字都恰好出现一 次. 存在性问题：2阶拉丁方存在.
1 2
2 1
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n阶拉丁方的构造方法：
第1行为 第2行是 第k行为 第n行为 1,2,3…,n 2,3,…,n,1 k,k+1,…,n,1, …,k-1 n,1,2,3…,n-1.
1 2 3 1 2 3 (1,1) ( 2,2) ( 3,3) 3 1 2 2 3 1 ( 3,2) (1,3) ( 2,1) 2 3 1 3 1 2 ( 2,3) ( 3,1) (1,2)
正交拉丁方： 设A=(aij)n×n, B=(bij)n×n是两个n×n拉丁方，令 C=((aij, bij))n×n, 若C的n2对数组互不相同, 则称A与B正交.
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第二遍：从第n行第n列的方格开始依次往左，规则 同前，从1开始的数字依次填入，第n行结束之后是第 n-1行第n列的方格，直到第1行第1列的方格.
例1.3 利用对称法构造4阶幻方
→ 2 3 5 8 9 12 14 15
16 5 9 4
2 11 7 14
3 10 6 15
13 8 12 1←
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单偶数阶幻方 n=4k+2. 把n×n的方阵分成上、下、左、右四个(2k+1)×(2k+1) 的方阵，编为左上A、右下B、右上C、左下D； 把1～(2k+1)2放在A中做成第一个幻方； 把 (2k+1)2 ＋1～2(2k+1)2放在B中成第二个幻方； 把2(2k+1)2＋1～3(2k+1)2放在C中成第三个幻方； 把3(2k+1)2＋1～4(2k+1)2放在D中成第四个幻方； 在A的各行从第1列开始向右取m个(m=(n-2)/4)方格，但 中间一行（k+1行）从第2列开始；把这些方格中的数 字与D中相应位置的数字对换； 在C中各行最后一列右起向左各取m-1个方格，把这些 方格中的数字与B中相应位置的数字对换.
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例1.4 构造6阶幻方
8 A 3 4 35 D 30 31
1 5 9 28 32 36
6 7 2 33 34 29
26 21 22 17 12 13
19 23 27 10 14 18
24 25 C 20 m n 2 1 4 15 16 B 11
20Leabharlann Baidu
35 A 3 31 8 D 30 4
不存在2阶正交拉丁方.
1 2 2 1 2 1 1 2
36军官问题即不存在6阶正交拉丁方.
§1.3 涂色问题
实际应用中，很多计数问题都可抽象成涂 色问题. 例1.6 对正三角形的三个顶点涂以红、蓝（r和 b）两种颜色，求有多少种不同的涂色方案？
解：①三点全涂红色，只有一种 rrr； ②三点全涂蓝色，只有一种 bbb； ③两点涂红色，一点涂蓝色，蓝色可分别 涂于三个顶点之一，故有3种 brr，rbr，rrb； ④由对称性可知，两点涂蓝色，一点涂红 色的方案也有3种rbb,brb,bbr.