贪心算法(1)

分析
• 由于正整数n的有效位数最大可达240位，所以可以采用 字符串类型来存储n。那么，应如何来确定该删除哪s位呢？ 是不是只要删掉最大的s个数字就可以了呢？ • 为了尽可能地逼近目标，我们选取的贪心策略为：每一步 总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低 位的顺序搜索，若各位数字递增，则删除最后一个数字， 否则删除第一个递减区间的首字符。然后回到串首，按上 述规则再删除下一个数字。重复以上过程s次，剩下的数 字串便是问题的解了。
例题6：种树（NOIP模拟 试题）
• 一条街的一边有几座房子。因为环保原因居民想 要在路边种些树。路边的地区被分割成块，并被 编号为1..n。每个块大小为一个单位尺寸并最多可 种一棵树。每个居民想在门前种些树并指定了三 个号码b,e,t。这三个数表示该居民想在b和e之间 最少种t棵树。当然，b<=e,居民必须保证在指定 地区不能种多于地区被分割成块数的树，即要求 t<=e-b+1。允许居民想种树的各自区域可以交叉。 出于资金短缺的原因,环保部门请你求出能够满足 所有居民的要求,需要种树的最少数量。
贪心算法
贪心方法的基本思想
• 贪心是一种解题策略，也是一种解题思想 • 使用贪心方法需要注意局部最优与全局最优的 关系，选择当前状态的局部最优并不一定能推 导出问题的全局最优 • 利用贪心策略解题，需要解决两个问题： – 该题是否适合于用贪心策略求解 – 如何选择贪心标准，以得到问题的最优解
• 【引例】在一个N×M的方格阵中，每一格子赋予一个数 （即为权），规定每次移动时只能向上或向右。现试找出 一条路径，使其从左下角至右上角所经过的权之和最大。 • 我们以2×3的矩阵为例：
这些盒子将被放入高度为h，地面尺寸为6x6的箱子中。为 了降低运送成本，工厂希望尽量减少箱子的数量。如果有 一个好算法，能使箱子的数量降到最低，这将给工厂节省 不少的资金。请你编写一个程序。
分析
分析
有N堆纸牌，编号分别为 1,2,…,N。每堆上有若干张， 但纸牌总数必为N的倍数。可以在任一堆上取若于张纸牌， 然后移动。 移牌规则为：在编号为1堆上取的纸牌，只能移到编号 为2的堆上；在编号为N的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边 的堆上。 现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆 上纸牌数都一样多。 例如 N=4，4 堆纸牌数分别为：①9 ②8 ③17 ④6 移动3次可达到目的：从③取4张牌放到④(9 8 13 10)-> 从③取3张牌放到②(9 11 10 10)->从②取1张牌放到①(10 10 10 10）。
贪心的经典应用
（一）、三个区间上的问题 1、选择不相交区间问题 2、区间选点问题 3、区间覆盖问题 （二）、两个调度问题 1、流水作业调度问题 2、带限期和罚款的单位时间任务调度 （三）Huffman编码
（四）最优合并问题
1、选择不相交区间问题
• 给定n个开区间(ai, bi)，选择尽量多个区间，使 得这些区间两两没有公共点。
• 注意最左边的0和最右边的0不能算在内，如0,0,1,-3,4,0,1,0,0
扩展1：
• 若题目中的纸牌排成一个环状，应如何 处理呢？ • 其中n<=1000。
扩展2：
• 有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每 人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一 个糖果代价为1。求使所有人获得均等糖果的 最小代价。 • 【数据规模】 对于30%的数据n<=1000； 对于100%的数据n<=1000000
问题推广：排队打水问题
• 有n个人排队到r个水龙头去打水，他们 装满水桶的时间t1、t2…….tn为整数且 各不相等，应如何安排他们的打水顺序 才能使他们总共花费的时间最少？
例题3：打包
• 某工厂生产出的产品都要被打包放入正四棱柱的盒子内， 所有盒子的高度为h，但地面尺寸不同，可以为 1x1、2x2、 3x3、4x4、5x5、6x6。如下图所示。
【问题1】部分背包问题
• 给定一个最大载重量为M的卡车和N种食品，有食盐，白 糖，大米等。已知第i种食品的最多拥有Wi公斤，其商品 价值为Vi元/公斤，编程确定一个装货方案，使得装入卡 车中的所有物品总价值最大。
【分析】因为每一个物品都可以分割成单位块，单位块的利 益越大，显然总收益越大，所以它局部最优满足全局最优， 可以用贪心法解答。 方法如下：先将单位块收益按从大到小进行排列，然后 用循环从单位块收益最大的取起，直到不能取为止便得到了 最优解。
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几个简单的贪心例子
贪心策略
例题1：删数问题
• 键盘输入一个高精度的正整数n（n<=240位）, 去掉其中任意s个数字后剩下的数字按照原来 的次序将组成一个新的正整数。编程对给定的 n和s,寻求一种方案,使得剩下组成的新数最小。 • 【样例输入】 178543 1829 1 4 • 【样例输出】13
2、区间选点问题
• 给定n个闭区间[ai, bi]，在数轴上选尽量少的 点，使得每个区间内都至少有一个点（不同区 间内含的点可以是同一个）。
【算法】：首先按照b1<=b2<=…<=bn排序。每次标记当前 区间的右端点X，并右移当前区间指针，直到当前区间不包 含X，再重复上述操作。 贪心策略：取最后一个。
例题2：排队问题
• 在一个食堂，有n个人排队买饭，每个人 买饭需要的时间为Ti，请你找出一种排 列次序，是每个人买饭的时间总和最小。
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【思路点拨】由题意可知，本题可以采用的贪心策略为：将n个人排队买饭的 时间从小到大排序，再依次累加每人的买饭时间，即可得到最小的总和。由样 例可知，排好序后的数据为(1,3,5,7,9,11)，每个人的买饭时间如下： T1=1 T2=T1+t2=1+3=4 T3=T2+t3=4+5=9 T4=T3+t4=9+7=16 T5=T4+t5=16+9=25 T6=T5+t6=25+11=36 总时间T=T1+T2+T3+T4+T5+T6=91 用反证法证明如下：假设一个不排好序的n个人也能得到最优答案，比如把 (1,3,5,7,9,11)中的3,5对调一下，得到的序列为(1,5,3,7,9,11)。对调后，3,5前 后的1,7,9,11四个人的买饭时间不会有变化，关键的变化是3,5两个人。这时，5 这个人的买饭时间为1+5，3这个人的买饭时间变为1+5+3，此时两个人的总买 饭时间中，5被累加了2次，而原方案中是3被累加了2次，其他一样。由此，两 者相比较，可知有序的序列能得到最优的方案。对于其他位置的改变可以采用 同样的方法证明。用反证法证明时，关键是证明反例不成立，由此推出原方案 是最优的。
• 设有n个活动的集合E={1,2,..,n}，其中每个活动 都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一 时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i 都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结 束时间fi，且si<fi。如果选择了活动i，则它在半 开时间区间[si,fi)内占用资源。若区间[si,fi)与区 间[sj,fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。 也就是说，当fi<=sj或fj>=si时，活动i与活动j相 容。选择出由互相兼容的活动组成的最大集合。
练习试题：喷水装置
• 有一块草坪，长为L，宽为w；在它的中心线上装 有n个点状的喷水装置，效果是让以它为中心半径 为ri的圆被润湿，选择尽量少的喷水装置把整个 草坪全部润湿。
1、流水作业调度问题
分析
2、带限期和罚款的单位时 间任务调度
旅行家的预算
• 一个旅行家想驾驶汽车以最少的费用从一个城市到另一 个城市（假设出发时油箱时空的）。给定两个城市之间 的距离D1、汽车油箱的容量C（以升为单位）、每升汽 油能行驶的距离D2、出发点每升汽油价格P和沿途加油 站数N（N可以为零），油站i离出发点的距离Di、每升 汽油价格Pi（i=1，2，……，N）。 • 计算结果四舍五入至小数点后两位。 • 如果无法到达目的地，则输出“No Solution”。 • 样例： • Input • D1=275.6 C=11.9 D2=27.4 P=2.8 N=2 • 油站号I离出发点的距离Di每升汽油价格 Pi1102.02.92220.02.2 • Output • 26.95（该数据表示最小费用）
【算法实现】首先按照b1<=b2<=…<=bn的顺序排序，依次 考虑各个活动，如果没有和已经选择的活动冲突，就选； 否则就不选。 贪心策略：取第一个区间； 【正确性】：如果不选b1，假设第一个选择的是bi，则如 果bi和b1不交叉则多选一个b1更划算；如果交叉则把bi换 成b1不影响后续选择。
例题5：活动安排
【问题2】0/1背包问题
贪心策略与其他算法的区 别
• 1.贪心与递推：与递推不同的是，贪心法中推进的每 一步不是依据某一固定的递推式，而是当前看似最佳 的贪心决策，不断的将问题归纳为更加小的相似的子 问题。所以归纳、分析、选择正确合适的贪心策略， 是正确解决贪心问题的关键。
2.贪心与动态规划：与动态规划不同的是，贪心是 鼠目寸光；动态规划是统揽全局。
• 给定一个最大载重量为M的卡车和N种动物。已知第i种动 物的重量为Wi，其最大价值为Vi，设定M，Wi，Vi均为 整数，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有动 物总价值最大。 【分析】按贪心法：每次选价格最大的装载。很明显有反例： 设N=3,卡车最大载重量是100,三种动物A、B、C的重量分别 是40,50,70,其对应的总价值分别是80、100、150。
例题4:均分纸牌 （NOIP2002）
分析：
• 【试题分析】我们要使移动次数最少，就是要把浪费降至 零。通过对具体情况的分析，可以看出在某相邻的两堆之 间移动两次或两次以上，是一种浪费，因为我们可以把它 们合并为一次或零次。 • 【思路点拨】如果你想到把每堆牌的张数减去平均张数， 题目就变成移动正数，加到负数中，使大家都变成0，那 就意味着成功了一半！ • 从第i堆移动-m张牌到第i+1堆，等价于从第i+1堆移动m张 牌到第i堆,步数是一样的。
若按贪心策略求解，所得路径为：1→3→4→6； 若按动态规划求解，所得路径为：1→2→10→6。
贪心法的特点
• 1.贪心选择性质：算法中每一步选择都是当前看似最 佳的选择，这种选择依赖于已做出的选择，但不依赖 于未做的选择。 • 2.最优子结构性质：算法中每一次都取得了最优解(即 局部最优解)，要保证最后的结果最优，则必须满足全 局最优解包含局部最优解。 • 但并不是所有具有最优子结构的问题都可以用贪心策 略求解。因为贪心往往是盲目的，需要使用更理性的 方法——动态规划（例如“0-1背包问题”与“部分背 包问题”）
3、区间覆盖问题
• 给n个闭区间[ai,bi]，选择尽量少的区间覆盖一条 指定线段[s,t]。
• 本题的突破口仍然是区间包含和排序扫描，不过先要进行 一次预处理。每个区间在[s,t]外的部分都应该预先被切 掉，因为它们的存在是毫无意义的。在预处理后，在相互 包含的情况下，小区间显然不应该考虑。
• 把各区间按照a从小到大排序，若a相同，则b从大到小排 序（自动处理掉区间包含）。注意：若区间1的起点大于s， 则无解（因为其他区间的起点更大，不可能覆盖到s点）， 否则选择起点在s的最长区间[ai,bi]后，新的起点应该设置 为bi，并且忽略所有区间在bi之前的部分，就像预处理一 样。虽然贪心策略比上题复杂，但是仍然只需要一次扫描， 如下图，s为当前有效起点（此前部分已被覆盖），则应 该选择区间2。
贪心思想：在某个时刻s，找一个满足a[i]>=s的b[i]的最大值即可。
例Байду номын сангаас7：区间（SDOI2005）
• 现给定n个闭区间[ai,bi]，1<=i<=n。这些区间 的并可以表示为一些不相交的闭区间的并。你 的任务就是在这些表示方式中找出包含最少区 间的方案。你的输出应该按照区间的升序排列。 这里如果说两个区间[a, b]和[c, d]是按照升序 排列的，那么我们有a<b<=c<=d。 任务：读入这些区间，计算满足给定条件 的不相交闭区间，并把这些区间按照升序输出。