高考数学一轮复习课时分层训练34归纳与类比文北师大版

课时分层训练(三十四) 归纳与类比

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )

A．结论正确B．大前提不正确

C．小前提不正确D．全不正确

C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]

2．如图6-4-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )

图6-4-3

A．12 B．48

C．60 D．144

D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a ＝12×12＝144.]

3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )

【导学号：00090214】A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

B[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D 都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]

4．(·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

图6-4-4

他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A ．45 B ．55 C ．65

D ．66

B [第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……

故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×11

2＝55个，即a 10＝55，故选B ．]

5．如图6-4-5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →

时，其离心率为5－12，

此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率

e 等于( ) 【导学号：00090215】

图6-4-5

A ．

5＋1

2

B ．

5－1

2

C ．5－1

D ．5＋1

A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1，

则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)． 在“黄金双曲线”中， 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →

＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →

＝(－a ，b )．

所以b 2

＝aC ．而b 2

＝c 2

－a 2

，所以c 2

－a 2

＝aC ． 在等号两边同除以a 2

，得e ＝

5＋1

2

.]

二、填空题

6．已知点A (x 1，x 2

1)，B (x 2，x 2

2)是函数y ＝x 2

的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论

x 21＋x 2

22

＞?

??

??x 1＋x 222

成立．运用

类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．

sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 2

2

[函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点A ，

B ，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 2

2

＜sin

x 1＋x 2

2.]

7．观察下列不等式：

1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …

照此规律，第五个不等式为__________．

1＋122＋132＋142＋152＋162<116 [左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1n ＋1

2

，右边式子

的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116

.]

8．(·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．

丙 [如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．] 三、解答题

9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝1

2×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边

且等于第三边的1

2；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.

【导学号：00090216】

[解] 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝1

3

×底面积×高；

(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1

4

.

10．设f (x )＝1

3x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜

想一般性结论，并给出证明． [解] f (0)＋f (1)＝130＋3＋1

31＋3

＝

1

1＋3＋13＋3

＝3－12＋3－36＝33，

2分 同理可得：f (－1)＋f (2)＝

3

3

， f (－2)＋f (3)＝

3

3

，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时， 均有f (x 1)＋f (x 2)＝

33

.

6分

证明：设x 1＋x 2＝1，

f (x 1)＋f (x 2)＝

1

3x 1＋3

＋

1

3x 2＋3

＝

3x 1＋3＋3x 2＋33x 1＋3

3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋23

3x 1＋x 2＋33x 1＋3x 2＋3 ＝

3x 1＋3x 2＋233

3x 1＋3x 2

＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233

3x 1＋3x 2＋23

＝33

. 12分

B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．(·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为( )

A ．42

B ．65

C ．143

D ．169

B [可以通过列表归纳分析得到．

∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝2

＝65条对角线．故选B ．]

2．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.

若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法． 故甲的卡片上的数字是1和3.

法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.] 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin 2

13°＋cos 2

17°－sin13°cos 17°； ②sin 2

15°＋cos 2

15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2

18°＋cos 2

12°－sin18°cos12°；

④sin 2

(－18°)＋cos 2

48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2

(－25°)＋cos 2

55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【导

学号：00090217】

[解] (1)选择②式，计算如下：

sin 215°＋cos 2

15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°

＝1－14＝34

.

5分

(2)法一：三角恒等式为

sin 2α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.

7分

证明如下：

sin 2

α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2

－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2

α

＝34sin 2α＋34cos 2

α＝34. 12分

法二：三角恒等式为

sin 2 α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.

7分

证明如下：

sin 2

α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝

1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α

2

－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－1

2sin 2

α

＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1

4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.

12分