利用导数值域求割线斜率值域的探讨

一
（ １ ＋鲁） 。 ＋ ３ ｚ ２
二兰 ｉ ± ｉ ±兰 垡 ＜２
ｌ — ２
＞ ０，
ｚ ＋Ｘ ２ Ｘ １ ＋ ｌ 一 ｌ —ａ Ｔ ． ２ ＋ ２＞ ０ ．
（ 下转 第 ４ Ｏ页 ）
而． （ ） ：３ ｘ 。 ≥０ ， 显然 ， 此时 Ｍ ≠ Ｎ， 而是
２ ｎ ｚ ＋４ ≥ ０， 解 之
（ 收稿 日期 ： ２ ０ １ ０ —０ ６ —１ ５ ）
的任意两 点为 （ － ， Ｙ － ） ， （ ｚ ｚ ， Ｙ ｚ ） （ ｚ ・ ≠ｚ ２ ） ， 则 过此
＜ ２
，（ ｚ １ ）一 ２ ｘ １＞ ｆ （ ｘ ２ ）一 ２ ｘ ２ ，
两 点 连 线 的 斜 率
Ｒ．
薏 三 罢 ｚ ＋ ｚ
令 ｇ （ ｚ ） 一， （ ｚ ） 一２ ｚ＝一 ＋
一２ ｘ＋ｂ ，
∈ Ｒ， 而ｆ （ ｚ ）一 ２ ｘ Ｅ Ｒ， 显然， 此 时有 Ｍ — Ｎ —
则ｇ （ ｘ 。 ）＞ ｇ （ ｘ ｚ ） ， ｇ （ ｚ ）为 Ｒ 上 的 减 函 数 ， 故
ｇ （ 工 ）≤ ０ ， 即３ ｘ 一２ ａ ｘ＋２ ≥ ０ 对一 切 ｚ∈ Ｒ恒
＜ ｚ＜ １ ） ．
一
， （ ｚ ） 是 奇 函 数 ， 但 此 时 其 定 义 域 为
满 足 （ ｚ ）的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则 必 有
ｒ 口 ＜ ２’
ｆ ｚ Ｉ ｚ＞ １或 ＜ 一 １ ） ， 厂 （ Ｏ ）的值 不 存 在 ， 所 以
此题 不能使用 厂 （ Ｏ ）一 ０求解 ．
＞
“ 一
若使 ＝ 厂 （ ） 的定 义域关 于原点 对称 则必须
ｒ 口＞ 一 ２ ，
） ；
有： ｌ ｌ 口 ２． － ｛ — － ａ
—
一 ｌ ’
，． － ． 口 ＝ 一１ ， 代人 验 证知 此时函 数
（ ３ ） 口＜ ２时 ， 定义 域为 ｛ Ｉ
“ 一
（ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ０— ０ ３ —０ ２ ）
（ 上接 第 ３ ８页）
整 理得 （ ｚ ｌ ＋ｚ ２ ） 。 ＋（ 口 一ｚ １ ） ＋ （ 口 一． ２ ７ ｚ ） 一
得 一√ ６≤ ａ≤ ４ ６ ．
评 注 如果 曲线 Ｙ一 厂 （ ｚ ）上存在 这样 的一
个（ 拐）点 ， 即用 平行于 过该 （ 拐）点 的切 线 的任 意
＞
＋ ４
：Biblioteka Baidu
± 一
一２ 。 ｚ
《 数学通讯 ） ） ２ ０ ０ ９年 第 ９期（ 上 半 月）之《 导数 易错
全“ 点 击” 》一 文 的 补 充 ．
攀一 ２ 口 ｚ ＋ ４ ．
—
因此 ， 要使不等式 ① 对一切 ｚ ， ｚ∈ Ｒ且 ｌ ≠ ： 恒成立 ， 则 只要 ４ ａ ２
么借 助 导数研 究 割线 斜 率 的方 法就 得 慎用 ， 如 求 解 整 式函数 中的三次 函数 的相 关 问题． 当然 ， 若 是 证 明题 ， 则 一 般 没有 问题 （ 至 于这 个 结 论 的证 明，
限于学 生的知识储 备 ， 这 里 不深 究） ． 另外 ， 本 文是 导数解题 中的一 类 隐蔽 性 极 强 的错 误 ， 可看 作 是
＜ ０ ， 故 一 ＜ 口＜ 评析 这是在学完导数后 ， 部分 学生求解 此类 问题时的常见解法 ， 显然他们是认为函数 图象割线的
连 线都 不 可 能 与 ｚ轴 平 行 ， 因此 ， 上 述 命 题 中 的
“ 函数 图象 的任 意一 条切线 ， 其 上 总有 至 少一 条割 线 与它 平行 ”不 正确 ， 而“ 函 数 图象上 任 意两 点 的
连线总与 它 的某 条切线 平行 ” 是正 确 的 ， 所 以 Ｍ 总
斜率的值域 Ｍ ， 等于其导 函数 的值 域 Ｎ． 他们采用 此
法 的依据来 自两 点， 一是 导数的几何 意义， 二是 导数
的概念． 但是 ， 导数 的几何 意义和导数的概念 中， 都是 在“ 极限”的前提下取相等 的， 而上述 解法 中， 不考虑
口 ） ， 由 兰 ． ＿＋口＞ ０即 二
１ 一 Ｚ Ｚ
ｎ ，ｎ 、 ｔ
（ ３ ） 口 ＜ ｜ ＿ ２ 时， 定义域为｛ ｚ Ｉ 一 “ ＿＜ ＜ 一１ ） ，
显然 ， 口＝ １ 时， Ｙ＝ 厂 （ ）的定 义域 为 ： ｛ ｚ １ ． ２ ７
＜ ０得到 ：
情形 ２ 对 函数 厂 （ ）一 （ ∈ Ｒ ） ， 设 其 图
象上 的任意 两点 为 （ ｚ １ ， Ｙ １ ） ， （ ２ ， Ｙ ２ ） （ １ ≠ ２ ） ， 则
成立 ， 从 而 Ａ＝ （ 一２ ａ ） 。 一４ ×３ ×２ ≤ ０ ， 解得 一
≤ ｎ≤
过此 两点连 线 的斜率
实， 如果要 （ ｚ ） 一 羔 二
２ 一 Ｉ
成立 那 么就
，
需要命 题 “ 若 函数 ， （ ｚ ） 是 定义 在一段 连 续开 区间
所以 ／（ ） 一一３ ＋２ ａ ｘ ，
又 函数 ｙ＝ 厂 （ ｚ ） 的图象上任 意不 同两点 连线
上 的可导 函数 ， 则 函数 图象 的任 意一 条 割线 ， 图象
直 线去截 曲线 Ｙ一 ， （ ｚ ） 时， 至 多只有 一个 交 点， 那
２ 口 。 ＋４＞ ０
①
则 ① 对 一切 ｌ ， ｚ ２∈ Ｒ且 ｚ ｌ ≠ ２ 恒成 立．
因为 ｚ ｌ ≠ｚ ２ ， 所以口 一ｚ ｌ ≠ａ — ２ ， 由柯西 不
等 式得
（ ｚ ｌ＋ ２ ） ＋ （ 口一 ｚ１ ） 。 ＋（ 口一 ｚ ２ ） 一 ２ ａ 。 ＋４
３ ８
数 学通 讯 —— ２ Ｏ １ Ｏ 年第 ９ 期（ 上半 月）
・辅教 导 学 ・
利 用 导 数值 域 求 割线 斜 率值 域 的 探讨
王胜 林 方 久福
（ 湖 北 省英 山一 中 ， ４ ３ ８ ７ ０ ０ ）
问题 已知 函数 厂 （ ）一一 ＋ ａ ｘ ＋ｂ （ ａ ，
ｋ一 丝 二
Ｘ２ 一 Ｚ ｌ
正解２ （ 利 用柯 西不等式 ） 设厂 （ ） 的图象上
二 兰
一
的任意 两点 为（ ｌ ， Ｙ １ ） ， （ ｚ ２ ， ２ ） ， 且 ｚ １ ＞ ｚ ２ ， 则
兰 ＝ ＝ 苎 ＜ ２
Ｘ ｌ— Ｚ ２
２一
Ｘｌ
＝ｚ ； ＋ ｌ ｚ ２ ＋ ；
极 限而直接取相等 ， 这是 否正确呢？ 先看 两个 具 体 的情 形．
是 Ｎ 的子集 ， 上述解法 值得 商榷． 下 面提供 两种简
单 的正确解法 ． 正解 １ （ 构造 函数 ） 不妨设 Ｘ 。 ， ｚ ∈ Ｒ， 且ｚ
＜ｚ ２ ， 则
兰 二
１ 一 ２
情形 １ 对 函数 ， （ ）一 。 （ ∈Ｒ ） ， 设 其 上
一
１
＞一÷ 或 ｚ＜一 １ ｝ ， 此时定义域不关于原点对称 ，
尽 管满 足 ， （ ０ ） 一０ ， 但 Ｙ＝ 厂 （ ） 不可 能为奇 函数．
（ １ ） ａ一 ２时 ， 定义域 为 ｛ Ｉ ｚ＜ １ ） ； （ ２ ） 口＞ ２时 ，定 义 域 为 ｛ ｚ Ｘ ＜ １或 ｌ
为｛ ． ／ ７ Ｉ ∈Ｒ 且Ｘ≠ｌ ｏ ｇ ｚ （ 一亡） ） ．
显然 ： 当 ≥ ０时 ， 定 义域满 足关于 原点对 称 ，
再令 厂 （ ０ ）＝ ０ 得到： 忌一 １ ； 当 ｋ＜ ０时 ， 由其定 义
于“ 习惯性 ” 、 “ 规律性 ”问题 的解 法 ， 要 立 足于题 目 条件， 立足 于定义 ， 只有这样 才 可能避 免错误．
对 于 题 ２ ， 同 样 先 讨 论 函 数 厂 （ ｚ ） ＝
． ｛ 【 口 一 一 ，． 。 ． 口 ＝１ ， 此时 也 满足厂 （ ｏ ） ＝０ ．
对 于数学 客观 题 ， 不少 教 师 、 同学一 般 习惯 于
（ 愚为常 数 ）的定 义域． 由１ ＋五・ ２ ≠ ０得 ： （ １ ）当 ≥ ０时 ， 定义 域
Ｍ
．
ｂ∈ Ｒ） ， 若 函数 Ｙ一 厂 （ ） 的 图象上任 意不 同两点 连 线的斜 率小 于 ２ ， 求 口的取 值范 围．
先看 下面 的解法 ． 解 因为 厂 （ ｚ ）＝一 ＋ ＋ｂ （ ａ ， ｂ∈ Ｉ ｔ ） ，
由情 形 １ 、 情形 ２ 可知 ， Ｍ — Ｎ并 不 总成立 ． 其
上 总有至 少一条 切 线 与 它 平 行 ； 并 且 函数 图象 的
的斜率小于 ２ ， 所 以／（ ｚ ） ＜２ ， 即３ ｘ 一２ ａ ｘ＋２ ＞
０对任 意 ｚ ∈ Ｒ恒 成立 ，
因此 Ａ ＝ （ 一２ ａ ） 。 一 ４× ３× ２＜ ０， 即口 一 ６
任意 一条切 线 ， 其 上至少 有一 条割线 与它平行 ”成 立， 但该命 题未必 正确． 如上 面的情形 ２ ， 易知 Ｘ轴 是 曲线 厂（ ｚ ） 一 （ ∈ Ｒ ）的一条切线 ， 但是 曲线 厂 （ ）： 。 是单 调递增 的 函数 ， 其上 的任意 两点 的
“ 小题 不能大 做 ” ， 但 在 涉及 到 一 些 抽 象 的数 学概 念时， 同学们 特别要 注意 挖掘 定 义 中 的隐含 条件 ，
考 虑问题要 严谨 、 全面， 不 能 以偏 概 全 ， 更 不 能 囿
为 ∈Ｒ ； （ ２ ） 当 ＜０ 时， ２ ≠一÷， 所以定义域
４ ０
数 学 通 讯— — ２ Ｏ １ Ｏ年 第 ９期（ 上 半 月）
・辅教 导 学 ・
（ ２ ） 口＞一２时 ， 定义 域为 ｛ ｌ ｚ＞一
＜一 １ ） ；
或
域关于原点对称得到： ｌ ｏ ｇ ２ （ 一÷） 一０ ， ． ． ． 志 ＝一１ ．
代人 验证知 ： 忌＝± １ 时， 厂 （ ｚ ）是奇 函数． 对 于本文 开 头 的奇 函数 厂 （ ）＝ ｌ ｇ ‘ ｒ ＋