应力状态和强度理论例题.

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63.7 0 6 6 x 10 cos 2 120 2 76.4 10 sin 2 120 2 82.1106 Pa 82.1MPa




63.7 0 6 τ xy 10 sin 2 120 76.4 106 cos 2 120 2
求斜截面上的应力
120
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x y
2

x y
2
cos2 xy sin2
63.7 MPa＋0 63.7 MPa 0 ＋ cos 2 120 － 76.4MPa sin 2 120 2 2 ＝－50.3MPa ＝
x y
2
1 2

x
2 y 4 xy 2
63.7 MPa 0 1 ＝ 2 2 ＝ 114.6MPa
63.7MPa 02 4 76.4MPa 2
2 y 4 xy 2
＝
x y
2
＝

1 2

x
63.7 MPa 0 1 2 2 ＝ 50.9MPa


3． 求斜截面上的应力
τ
三维投影成二维
x y
2
σ
x y
2
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cos2 xysin2
τ σ

x y
2
sin2 xy cos2
σx＝63.7 MPa，σy＝0，
τxy＝一76.4 MPa，α ＝120º 。
τ
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σ
1．取微元： 围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。
2、确定微元各个面上的应力
FP FP 20kN 103 ＝ ＝ ＝ ＝63.7MPa -3 -3 A πD π 50mm 10 2mm 10
M x 2Me 2 600N m ＝ ＝ 2 ＝ ＝76.4MPa 2 -3 -3 WP πd π 50mm 10 2mm 10
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x
9.02 MPa

x y
2 60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2
sin 2 xy cos 2
58.3MPa
（2）主应力、主平面
x 60MPa，
y 40MPa,




120
x y
2
sin2 xy cos2
63.7 MPa 0 ＝ sin 2 120 76.4MPa cos 2 120 2 ＝ 10.7 MPa




3．确定主应力与最大剪应力
τ σ
＝
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D点的最大切应力为
例2
已知:应力状态如图所示。
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试： 1．写出主应力1、2、3的表达式；
2．若已知x＝63.7 MPa，xy=76.4 MPa，
当坐标 轴x、y反时针方向旋转α =120后至 x′、y ′ ，求: 、τ 。
1.确定主应力
应用平面应力状态主应力公式
63.7MPa 02 4 76.4MPa 2
＝0
确定主应力与最大剪应力
1 ＝114.6MPa
2 ＝0
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3 ＝ 50.9MPa
1－ 3 114.6MPa－－50.9MPa max＝ ＝ ＝82.75MPa 2 2
xy 30MPa,
y
xy

x y x y 2 2 max ( ) xy 2 2
68.3MPa
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x x y ( x y ) 2 2 min xy 2 2




65.8 10 6 Pa 65.8MPa
例题3：一点处的应力状态如图。 已知
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x 60MPa， xy 30MPa, 30 。 y 40MPa,
y
试求（1） 斜面上的应力；
xy

（2）主应力、主平面；
例1
薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆 管的平均直径D＝50 mm，壁厚δ＝2 mm。外加力偶的力 偶矩Me＝600 N· m，轴向载荷FP＝20 kN。薄壁管截面的 2 扭转截面系数可近似取为
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π d WP＝ 2
Baidu Nhomakorabea
求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30º 的斜截 面上的应力； 2. D点主应力和最大剪应力。
x 1 2 2 ＝ x 4 xy 0 2 2
0
3 ＝
x
2
1 ＝

1 2
4
2 x
2 xy
2 ＝0

1 2
2 x 4 2 xy
2.计算方向面法线旋转后的应力分量
α
x＝63.7 MPa，y＝0； xy＝－yx=76.4 MPa，α =120
（3）绘出主应力单元体。
x
（1） 斜面上的应力
α =-30
x 60MPa，
y 40MPa,
xy 30MPa,
30。
y
xy

x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2
x y 1 2 2

2 4 x y xy 2
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因为y＝0，所以有 x 1 2 2 ＝ x 4 xy 0 2 2 又因为是平面应力状态，故有
x
2
x y 1 2 2

2 4 x y xy 2