高三几何概型复习课

A1 B1 B2 B A2 M A C2 C
D1 C1 D
2Байду номын сангаас
D
知识回顾
古典概型的特征： 古典概型的特征： ⑴ 试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个； 只有有限个； 各基本事件的出现是等可能的， ⑵各基本事件的出现是等可能的， 即它们发生的概率相同. 即它们发生的概率相同 古典概型概率的运算公式： 古典概型概率的运算公式：
课前演练
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲 从甲、 丙三人中任选两名代表， 答案： 被选中的概率为( ) 答案：C 被选中的概率为(
1 A. 2 2 C. 3 1 B. 3 D．1 ．
课前演练
1、在区间[ −1, 2] 上随机取一个数x, 2 则 x ≤ 1的概率为 _________ . 3 2、从如图所示的长方形区域内任取
26 27
题组四： 题组四：与面积有关的几何概型
变3、在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的正方 在半径为 的半圆内，放置一个边长为 的正方 的半圆内 形ABCD，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为 ，向半圆内任投一点， ______. 1
2π
变4、(2008~江苏 在平面直角坐标系 江苏)在平面直角坐标系 江苏 在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐 中 是横坐 标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域 的点构成的区域， 是到 标与纵坐标的绝对值均不大于 的点构成的区域，E是到 原点的距离不大于1的点构成的区域 的点构成的区域， 中随机投一点， 原点的距离不大于 的点构成的区域，向D中随机投一点， 中随机投一点 则落入E中的概率为 中的概率为_______. 则落入 中的概率为 π
题组三： 题组三：与体积有关的几何概型 重点突破：与面积(体积) 重点突破：与面积(体积)有关的几何概 型 例4、一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的三角 一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的三角 形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点 距离都大于2 距离都大于2的地方的概率为（ D ） A. C.
π 12 π 16
例2如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率．
过直角顶点C任 例3、在等腰直角△ABC中,过直角顶点 任 、在等腰直角△ 中 过直角顶点 作一条射线L与斜边 交于点M,求 与斜边AB交于点 作一条射线 与斜边 交于点 求AM小于 小于 AC的概率 的概率. 的概率 3
16
题组四： 题组四：与面积有关的几何概型
变5、已知A={( x,y)|x+y≤6,x≥0, y≥0}, 已知 B={(x,y)|x ≤4,y ≥0,x-2y ≥0} 若向区域A中随机投一点 ，则点P落入区域 落入区域B的概率是 若向区域 中随机投一点P，则点 落入区域 的概率是 中随机投一点 （ ）
阴暗部分的面积 ≈ 落在阴暗部分的黄豆数， 正比， 矩形的面积 落在矩形的黄豆数
从此入手，即可估计出阴影部分的面积. 从此入手，即可估计出阴影部分的面积.
矩形面积为5 2=10，故阴影部分的 矩形面积为5×2=10，故阴影部分的
138 23 面积约为 × 10 = . 300 5
本例启发我们，利用几何概型，并通 过随机模拟方法可以近似估算不规则图形的 面积，这就是数学的价值. 面积，这就是数学的价值.
构成事件A的区域测度 P( A) = 试验全部结果所构成的区域测度
重点突破：与长度有关的几何概型 例1、在长为10 cm的线段AB上取一点G，并以 在长为10 cm的线段 AG为半径作一个圆，则圆的面积介于 36π cm2到64π cm2的概率为
1 5.
点G随机地落在线段AB上，故试验 所有点所在的区域为线段AB.圆的面积介于36π 圆的面积介于36π cm2到64π cm2，即圆的半径介于6 cm到8 cm ，即圆的半径介于6 cm到 之间，与A相距6 cm到8 cm的区域即为构成圆 相距6 cm到 cm的区域即为构成圆 的面积介于36π 的面积介于36π cm2到64π cm2的事件. 的事件.
重点突破(分析清楚用什么样的几何度量比 用什么样的几何度量比) 重点突破 分析清楚用什么样的几何度量比
1.某人去车站坐公共汽车 原先不知道车出发的 某人去车站坐公共汽车,原先不知道车出发的 某人去车站坐公共汽车 时间, 假如每小时正点有一班车 假如每小时正点有一班车),求他去到车站 时间 (假如每小时正点有一班车 求他去到车站 时等待的时间不多于10分钟的概率 分钟的概率. 时等待的时间不多于 分钟的概率 A={等待的时间不多于 解: 设A={等待的时间不多于 10分钟},能坐到车的 分钟}, 10分钟},能坐到车的 时刻应在[50,60]时间段内, [50,60]时间段内 时刻应在[50,60]时间段内, 由几何概型公式得: 由几何概型公式得:
2
变式3、在半径为1圆内一条直径上任取一点，过这 个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角 形边长的概率是________． 【答案】 答案】
变式4、若在圆周上任取两点，连成一条弦，则其长超 过该圆内接正三角形的边长 3 的概率应如何求？
1 答案】 【答案】 3
题组二： 题组二：与角度有关的几何概型
本题关健是理解好题意,将其归结为面积型几何概型,而 本题关健是理解好题意 将其归结为面积型几何概型 而 将其归结为面积型几何概型 不是长度型几何概型;另外一定要认真审题,根据题意 另外一定要认真审题 根据题意画 不是长度型几何概型 另外一定要认真审题 根据题意画 本题中将两人的到达车站的时刻作为坐标,在坐 出图形.本题中将两人的到达车站的时刻作为坐标 出图形 本题中将两人的到达车站的时刻作为坐标 在坐 标中离站的时刻作两人到站的时刻分别表示出来,就可 标中离站的时刻作两人到站的时刻分别表示出来 就可 以直观发现他们之间的关系,找出两人同乘一车的区域 找出两人同乘一车的区域, 以直观发现他们之间的关系 找出两人同乘一车的区域 然后计算面积,代入公式求得结果 代入公式求得结果. 然后计算面积 代入公式求得结果
2 1 P( B) = = . 10 5
变式1 当你到一个红绿灯路口时， 变式 、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时
间为30秒 黄灯的时间为 秒 间为 秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间 1 为45秒，你看到黄灯的概率是多少 秒 你看到黄灯的概率是多少_______. 16 的一条直径MN上随机地 变式2、在单位圆⊙O的一条直径 、在单位圆⊙ 的一条直径 上随机地 取一点Q，过点 作弦与 作弦与MN垂直且弦的长度 取一点 ，过点Q作弦与 垂直且弦的长度 超过1的概率是 的概率是__________. 超过 的概率是 3
一个点M x, y） （ ,则点M 取自阴影部分 1 y = 3x 2 y 的概率为 __________ . 3 3
O
1
x
课前演练
3、正方体ABCD - A1 B1C1 D1的棱长为 1，在正方体内随机取点M ，则四棱 1 锥M - ABCD的体积小于 的概率为 6 1 _________ . 2
y 60
5 9 20 0 20 60 x
会面问题是利用数形结合转化成 面积问题的几何概型.难点是把时 面积问题的几何概型 难点是把时 间分别用x,y两个坐标表示 两个坐标表示,构成 间分别用 两个坐标表示 构成 平面内的点(x,y),从而把时间是一 平面内的点 从而把时间是一 段长度的问题转化为平面图形的 二维面积问题,转化成面积型几何 二维面积问题 转化成面积型几何 概型. 概型
题组六： 题组六：综合的几何概型
例6、设关于x的一元二次方程 设关于x x2+2ax+b2=0. (1)若 是从0,1,2,3四个数中任取的一个 (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个 0,1,2,3 3 ,b是从0,1,2三个数中任取的一个数 是从0,1,2三个数中任取的一个数, 数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; 述方程有实根的概率; 4 (2)若 是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区 (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区 [0,3]任取的一个数,b [0,2]任取的一个数 任取的一个数, 间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的 2 概率. 概率.
60 − 50 1 p( A) = = 60 6
变式:甲和乙两人约定上午7:00到8:00之 变式 甲和乙两人约定上午 到 之
间到某个汽车站乘车, 间到某个汽车站乘车 在这段时间内有三 班公共汽车,他们开车时刻分别为 班公共汽车 他们开车时刻分别为 7:20,7:40,8:00,如果他们约定 见车就乘 如果他们约定,见车就乘 如果他们约定 见车就乘, 刚甲乙同乘一班车的概率为____. 刚甲乙同乘一班车的概率为 1
A包含的基本事件的个数 P ( A) = 基本事件的总数
知识回顾
几何概型的特征： 几何概型的特征： 在一次试验中,可能出现的结果有 ⑴ 在一次试验中 可能出现的结果有 无限多个； 无限多个； ⑵ 每个结果的发生具有等可能性 每个结果的发生具有等可能性. 几何概型概率的计算公式： 几何概型概率的计算公式：
因为事件满足几何概型，事件发生的 总区域为线段AB，其长度为10cm. ，其长度为10cm. 设“圆的面积介于36 cm2到64 cm2”为事 圆的面积介于36 相距6 cm到 cm时，以 件B，当点G与A相距6 cm到8 cm时，以AG 为半径的圆，其面积介于36π 为半径的圆，其面积介于36π cm2到64π cm2，故满足“圆的面积介于36π cm2到64π ，故满足“圆的面积介于36π cm2”的点所在的区域的线段长度为2 cm. 的点所在的区域的线段长度为2 所以
1 A. 3
2 B. 3
1 C. 9
2 D. 9
题组五： 题组五：约会的几何概型
例 练 甲 乙 两 人 相 约 在14 : 00 ~ 15 : 00 在 某 地 会 面, 假 定 每 人 在 这 段 时 间 内 的 每 个 时 刻 到 达 会 面 地 点 的 可 能 性 是 相 等 的 , 先 到 的 等 20 分 钟 中后便可以离开, 试求两个人会面的概率 .
3
题组六： 题组六：综合的几何概型
例5、右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形 、右图的矩形，长为5，宽为2 内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分 内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分 的黄豆数为138颗，则可以估计出阴影部分 的黄豆数为138颗，则可以估计出阴影部分 的面积约为 . 23
5
随机撒一把黄豆，每个黄豆 落在矩形内任何一点是等可能的，落在每 个区域的黄豆数与这个区域的面积近似成
4
变1:在等腰直角△ABC中,在斜边 上任取 在等腰直角△ 在斜边AB上任取 在等腰直角 中 在斜边 一点M,求使 求使△ 为钝角三角形的概率. 一点 求使△ACM为钝角三角形的概率 1 为钝角三角形的概率 2 在等腰直角△ 在斜边AB上任取 变2:在等腰直角△ABC中,在斜边 上任取 在等腰直角 中 在斜边 一点M,求 小于AC的概率 一点 求AM小于 的概率 小于 的概率. 2
2
变3.设P为圆周上一定点，在圆周上等可 能地任取一点与P连接，则弦长超过半径
2 的概率为 3
.
当弦长等于半径时，对应的圆心角 为 π，设事件A为“弦长超过半径”， 弦长超过半径”
2 2π- π 则 填 3 = 2， P (A)= 2π 3
3
2 . 3
易错点：事件区域的确定. 易错点：事件区域的确定.本题是与角 度有关的几何概型. 度有关的几何概型.
B. D.
π 13 π 112
题组三： 题组三：与体积有关的几何概型
变式1、已知棱长为 的正方体 内切球O， 的正方体， 变式 、已知棱长为2的正方体，内切球 ， 若在正方体内任取一点， 若在正方体内任取一点，则这一点不在球内 π 的概率为_______. 的概率为 1− 6 变式2、用橡皮泥做成一个直径为 变式 、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小 的小 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾， 球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾， 试求这个沙砾距离球心不小于1cm的概率 的概率. 试求这个沙砾距离球心不小于 的概率