大学物理课程 第5章 刚体的定轴转动

二、刚体的转动惯量
1. J 的定义 （1） 质点 （2） 质点系
J mr 2
质量连续、均匀分布的刚体，质量分布三种类型：
分布类型 线分布 面分布 体分布
第5章 刚体的定轴转动
r 2 dl （3） 质量连续分布的刚体 J r 2 dm r 2dS r 2 dV
质量密度 质元的质量表示形式 所取线元 dl 的质量为： dm 所取面元 dS 的质量为： dm 所取体元 dV 的质量为： dm
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J mi ri2
m l m S m V

dl
dS
dV
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2. J 的单位： kg m 3. 决定 J 的三个因素
连接刚体中任意两点的线段在运 动中始终保持平行。
都相同, 特点: 刚体上所有点的运动轨迹、 r 、v、a 可用质点运动来描述。
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2. 刚体的定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转 过相同的角度。
m
c
d
2. 垂直轴定理
z
O
y
Jz Jx J y
x
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例5.2 一根质量为 m = 1.0kg、长为l =1.0m 的均匀细棒，绕与棒相互垂直的 转轴以角速度ω =63rad/s在旋转，求以下两种情形下的转动惯量和转动动能。 （1）转轴过质心；（2）转轴位于细棒的端点。 解：（1）先求细棒对转轴的转动惯量然后再求转动动能。
1 J mr 2 2
细棒 转轴通过中心 并与棒垂直
1 2 1 J mr ml 2 4 12
细棒 转轴通过端点 并与棒垂直
l
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1 J ml 2 12
1 2 J ml 3
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薄圆盘
转轴通过中心 并与盘面垂直
薄圆盘
75π N 37.5 r 2π 2π
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（2） t = 6s 时，飞轮的角速度
π 0 t (5 π 6)rad / s 4 π rad / s 6
（3） t = 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 分别为
合力对某点的力矩等于各分力对同一点的力矩的矢量和。
同理：
合力对某轴的力矩等于各分力对同一轴的力矩的矢量和。
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四、力矩作的功
在转动平面内，设多个外力作用于刚体， 第 i 个力 Fi 作用于任意点C ，位矢 ri 与 t 时间内刚体转过d , Fi 的夹角为 φi ，d 角。点C 的位移为 dl 。
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0 0, ω0 150r / min 5π rad/s
ω ω0 0 5π π rad/s rad/s 2 t 30 6
飞轮 的角加速度
（1） 飞轮在 30s 内转过的角度 飞轮在 30s 内转过的圈数
2 02 (5π ) 2 75 π rad 2 2 ( π 6)
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例5.1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r/min， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 。试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2） 制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6s 时飞轮边缘上一点的线速度、 切向加速度和法向加速度 。 解：根据题意知飞轮做匀减速转动，据题给条件可求得β 设 t = 0 时，
取质元： dm
m dx l
l 2 l 2
z
dm
2
J r dm
2
m 1 x dx ml 2 l 12
z
l
o x dx
x
1 E k J 2 1.7 102 ( J ) 2
（ 2） J
dm
l
r dm
2
l
0
m 1 2 x dx ml l 3
2
o
x
dx
所有体元的动能求和：
ri
△ mi
vi
1 1 n 2 E k m i v i ( m i ri2 ) i2 2 2 i 1
定义 刚体对转轴 的转动惯量 J
J m i ri
i 1
n
2
∴
1 E k J 2 2
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J由刚体对轴的质点分布决定
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v rω 0 .2 4πm/s 2 2 .5 m/s 2
π at rβ 0 .2 ( )m/s 2 0 .105 m/s 2 6
an ω2 r 0 .2 ( 4π )2 31.6m/s 2
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二、刚体定轴转动的描述
转动平面：与转轴 Oz 相垂直的平面 z
1. 角坐标

O
转动平面
Δ
规定：位矢沿参考轴逆时针转动时 为正。

参考方向
x
的单位：rad （弧度）
运动方程：
(t )
2. 角位移 θ
dθ 3. 角速度 ω dt θ dθ ω lim t 0 t dt
ˆ i ˆ j y Fy ˆ k z Fz
z
M
F

O
r

M r F x Fx
P
x
y
ˆ ( zFy xFz ) ˆ ˆ M r F ( yFz zFy )i j ( xFy yFx )k
力对各坐标轴的力矩 M x yFz zF y 一般地，力对 Oz 轴的力矩: M z M cos rF sin cos M y zFx xFz M xF yF y x z
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§5.2
一 力对点的力矩
力矩
M r F
大小： M rF sin 方向： 满足右旋定则 单位： Nm
z
支点
M
F

O
r
F

P
y
x
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二
在直角坐标系中
力对轴的力矩
ˆ yˆ ˆ j zk r xi ˆ ˆ ˆ F Fx i Fy j Fz k
第5章
刚体的定轴转动
Fra Baidu bibliotek
教材:自编教材《大学物理Ⅰ讲义》2013年春季学期开始 制作:红河学院理学院 Zhu Qiao Zhong
§5.1
刚体运动的描述
刚体：受力时不形变的物体。
1. 刚体是理想模型。 2. 在外力的作用下, 其上任意两点 均不发生相对位移。
一、刚体运动的基本形式： 平动和转动 1. 刚体的平动
第5章 刚体的定轴转动
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线量与角量的关系
s r v r a r t 2 a r n
v r at r 2 v v r
R
dr
r
dm σ 2πrdr
盘的质量分布均匀，盘的质量面密度为
R 2

m
R 2
R 0
圆盘对oz轴的转动惯量为
J z r dm
0
1 σ 2πr dr mR 2 2
3
思考： （1）飞轮的质量为什么大都分布于轮缘? （2）如果均质薄圆盘的转轴过圆心且与盘面平行，你能利用垂直轴定理 求得其转动惯量吗？
A M z d
1
2
dA d 力矩的瞬时功率可以表示为：P Mz M z dt dt
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§5.3
刚体的定轴转动
z ω
一、刚体定轴转动动能：
考虑 i 体元Δmi ，距轴 ri
vi ri
0
1 1 i 体元的动能： E ki m i v i2 m i ri2 i2 2 2
z
i dl dθ C ri
Fi
Fi 所作的元功为： dA Fi dl Fi dl cos
Fi ri d cos Fi ri sin i d
o
x
如果刚体在力矩 M z 的持续作用下绕 定轴从 1 2 ，力矩的所作的功为：
dA M z d
加速：β与ω同向 减速：β与ω反向
O
转动平面
v s r
参考方向
x
dv d ( rω) 切向加速度: at r dt dt 2 v 法向加速度: a rω 2 n r
2 a r e ˆt r e ˆn
a a a
2 t 2 n
第5章 刚体的定轴转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
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几种常见形状刚体的转动惯量
r
圆环 转轴通过中心 并与环面垂直
圆环 转轴沿环的直径
J mr 2
圆柱体 转轴沿几何轴
1 J mr 2 2
圆柱体 转轴通过中心 并与几何轴垂直
特点：
（1） 刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动； （2） 刚体上各点的
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Δ、、
均相同。 3
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3. 刚体的一般运动
随质心的平动 + 绕质心的转动
第5章 刚体的定轴转动
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第5章 刚体的定轴转动
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三
若:
合力的力矩
F F1 F2 Fn Fi
则: M r F r ( F1 F2 Fn ) r F1 r F2 r Fn M1 M 2 M n 即: M r Fi M i
比较
质点匀变速直线运动 刚体定轴匀变速转动 v t v0 at t 0 t 1 2 1 2 x v0 t at 0 t t 2 2 2 v t2 v0 2ax t2 02 2
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转轴沿着直径
1 J mr 2 2
球体
转轴通过球心
1 2 J mr 4
球体
转轴沿着切线
2r
2 2 J mr 5
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7 J mr 2 5
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第5章 刚体的定轴转动
计算刚体转动惯量的两个定理
1. 平行轴定理
J d J c md
d
2
x
1 E k J 2 6.8 102 ( J ) 2
第5章 刚体的定轴转动
也可运用“平行轴定理”求J
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例 5.3 求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘 对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。 解：如图所示，取半径为r、宽为 dr的圆环 面元dS，其质量为
2
（1）刚体的质量及其分布。 （2）转轴的位置。
结论：
同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量， 必须指明它是对哪个轴的才有意义。
4. J 的意义：刚体转动惯性大小的量度。
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飞轮的质量为什么大都分 布于外轮缘？
ω的单位：rad /s ω的方向：满足右旋法则
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0
z

z

0

刚体定轴转动的方向可以用ω 的正负表示。
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dω d 2θ 2 4. 角加速度 β dt dt
z


lim
方 向
ω dω t 0 t dt