等腰三角形的判定定理
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有很多特性和性质，下面将对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行总结。
一、定义和性质等腰三角形的定义：拥有两条边相等的三角形被称为等腰三角形。
等腰三角形的性质：1. 两个底角（底边所对的两个角）是相等的。
2. 两条腰（与底边相等的两条边）相等。
3. 顶角（顶点所对的角）等于180度减去底角的一半。
二、等腰三角形的角度性质1. 顶角等于底角的两倍：在等腰三角形中，顶角是底角的两倍。
也就是说，当一个底角为x度时，顶角就是2x度。
2. 底角相等：在等腰三角形中，两个底角是相等的。
如果一个底角为x度，另一个底角也是x度。
3. 顶角对应的边相等：在等腰三角形中，顶角对应的两条边是相等的。
如果一个顶角对应的边长为a，另一个顶角对应的边长也是a。
三、等腰三角形的边长性质1. 两条腰相等：在等腰三角形中，两条腰是相等的。
如果一条腰的长度为a，另一条腰的长度也是a。
2. 底边对应的高相等：在等腰三角形中，底边对应的高是相等的。
如果一条底边的高为h1，另一条底边的高也是h1。
3. 高的长度：在等腰三角形中，可以通过勾股定理来计算高的长度。
如果底边的长度为b，腰的长度为a，则高的长度等于根号下(a^2 -b^2/4)。
四、等腰三角形的判定条件等腰三角形的判定条件：如果三角形的两边边长相等或两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。
五、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边垂直：在等腰三角形中，高线与底边垂直。
2. 角平分线等于高线：在等腰三角形中，底边上的角平分线等于高线。
3. 底边上的角平分线相等：在等腰三角形中，底边上的两条角平分线是相等的。
总结：等腰三角形是几何学中重要的概念，在很多问题中都有应用。
通过对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行了解和掌握，可以帮助我们解决等腰三角形相关的问题，并在数学和几何学中运用到其他各种应用中。
等腰三角形的判定定理
1、等腰三角形有什么性质定理？由这个定理可得到什么推
论?
2、已知：△ABC中，∠B= ∠C，求证：=∠2 ∠B=∠C AD = AD（公共边）
∵ △BAD≌ △CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应也相等）
二、知识的产生和定理
证明：∵AD ∥BC ∴∠ADB=∠DBC
又∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ADB=∠ABD ∴AB=AD（等角对等边）
四、小结： 1、等腰三角形的判定定理与性质定理是互逆定理， 它们揭示了同一个三角形中边与角之间的关系。
2、等腰三角形的判定定理由“等角”判定一个三角形 是
等腰三角形或证明两条线段相等的依据。
3、如图，已知∠A=36°，∠DBC=36 ° ∠C=72 ° 计算∠1和∠2的度数， 并说明图中有哪些等腰三角形。
解：∠1=180°－36 °－ 72°=72° ∠2=∠1—∠A=72°—36°=36° 图中有等腰三角形△ABC，△ABD，△DBC
4、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC 求证：AB=AD
作业：P81/2、3
坚信同学们一定能 养成良好的习惯！
2、已知：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F 过F做DE∥BC，交AB于D，交AC于E。 求证：BD+EC=DE
证明：∵BF、CF是角平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4
又∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠5，∠3=∠6（两直线平行，内错角相等） ∴∠2=∠5，∠4=∠6 BD=DF，EC=EF（等角对等边） BD+EC=DF+EF 即BD+EC=DE
三、举例与应用
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一 边，那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形；（斯坦纳—雷米欧斯定理）有两内角平分线到各自对边的长度相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形也属于等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）。
3.等腰三角形两个底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。
4.等腰三角形底边的中垂线到两腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰的高度和底边之间的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰的高度(用等面积法证明)。
7.等腰三角形是至少有一个对称轴的轴对称图形。
顶角平分线所在的线就是它的对称轴，等边三角形有三个对称轴。
等腰直角三角形
有一个直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
很明显，它是一个特殊的三角形，具有等腰三角形的所有性质，也具有直角三角形的所有性质。
等腰三角形的判定定理 最新浙教版
第二种情况：顶角是60°； 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
证明:∵AB=AC，∠A=60°(已知), A
60°
∴∠C=∠B=60°(等边对等角
和三角形内角和定理) ．
∴∠A=∠B=∠C =60°，
∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形)．
解： ∵ ∠ DAC= ∠ ACB+ ∠ ABC
B
（三角形外角的性质） ∴ ∠ ABC= ∠ DAC -∠ ACB
30 °
A
60 °
C D
=60 °- 30 ° =30 ° ∵ ∠ ABC= ∠ ACB ∴ AB=AC（在同一个三角形中， 等角 对等边） 即AC的长就是河宽。
想一想：还有其它测量河宽的方法吗？
∴ △ABD是等腰三角形 （等腰三角形的性质）
性质
等边对等角． “三线合一”,即等腰
判定的条件
等角对等边． 有一角是60°的等 腰三角形是等边三
等腰三角形
三角形顶角平分线，底
(含等边三角 边上的中线、高互相重 形) 合．
角形．
等边三角形三个角都相等， 三个角都相等的三 且每个角都是60°． 角形是等边三角形．
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC, 试判断△ABD的形状,并说明理由?
证明：
△ABD是等腰三角形
A
D
∵ AD∥BC ∴∠ADB=∠CBD (两直线平行，内错角相等)
B
C
又∵ BD平分∠ABC （角平分线的定义） ∴∠ABD=∠CBD ∴∠ADB= ∠ABD （等式的性质） ∴AB=AD （等角对等边）
∴AB=AC（等角对等边） ∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定）
等腰三角形的判定定理
∴ AC=AB(在同一个三角形中，等角对等边)
B
C
即△ABC为等腰三角形.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）
C 错，因为都不是在
D
同一个三角形中.
1 A2
B
判定定理的条件很重
要：在同一个三角形
∵∠1=∠2,
中，等角对等边
∴ DC=BC
（等角对等边）.
A
第一种情况：有一个底角是60° 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形．
60°
B
C
证明: ∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角).
∴∠A=60°(三角形的内角和定理)，
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
6.【中考·温州】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且 DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长． 解：（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形． ∴∠DEC＝60°，CE＝DC＝2. ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝90°－∠DEC＝30°，∠F＝90°－∠EDC＝30°. ∴∠CEF＝∠F，∴CF＝CE＝2. ∴DF＝4.
等腰三角形判定定理
等腰三角形判定定理在咱们数学的奇妙世界里，等腰三角形那可是个常客。
今天咱就来好好聊聊等腰三角形的判定定理，这可是个相当重要的知识点！还记得有一次，我带着一群小朋友在操场上玩耍。
阳光正好，微风不燥。
突然，有个机灵鬼指着不远处的一个风筝喊道：“老师，你看那个风筝的形状好像等腰三角形呀！”我顺着他指的方向看去，还真是！那风筝的骨架结构可不就和我们正在学的等腰三角形有几分相似。
咱们言归正传，说说这等腰三角形的判定定理。
首先，如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角也相等，这个三角形就是等腰三角形。
这就好比两个小伙伴手拉手，长度一样，那他们对应的“待遇”——角度也就一样啦。
再来说说另一个判定方法，如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形也是等腰三角形。
这就像两个小伙伴得到的糖果一样多，那他们付出的“劳动”——边的长度也就相同啦。
咱们通过几个例子来加深一下理解。
比如说，有一个三角形，其中两条边的长度分别是 5 厘米和 5 厘米，那不用想，这肯定是个等腰三角形，因为两条边相等嘛。
又比如说，一个三角形的两个角分别是 50 度和 50 度，那这两个角所对的边肯定也相等，它也是等腰三角形。
在实际生活中，等腰三角形的身影那可是无处不在。
就像我们常见的晾衣架，它的形状很多时候就是等腰三角形，这样能保证两边挂的衣物重量差不多，不容易倾斜。
还有一些建筑的屋顶，也会采用等腰三角形的结构，美观又稳固。
学习等腰三角形的判定定理，不仅能帮助我们解决数学问题，还能让我们更好地理解周围的世界。
就像那次在操场上看到的风筝，当我们明白了等腰三角形的判定定理，就能更清楚地知道为什么那个风筝能飞得那么稳，那么美。
总之，等腰三角形的判定定理虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多观察生活中的例子，就一定能轻松掌握。
相信大家在今后的学习和生活中，遇到等腰三角形的问题都能迎刃而解，就像解决一道简单的算术题一样轻松！加油哦，小伙伴们！。
等腰三角形的判定（课件ppt）
∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形． B
C
新知讲解
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的 延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.
证明： ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°． 求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵∠C=∠B =60°，
A
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
B
C
新知讲解
等边三角形的判定1
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
A 几何语言：在△ABC中，
相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= 1 ABC，∠ECB= 1 ACB
A
2
2
又∵ △ABC是等腰三角形，
E
D
∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB，
O
B
C
∴ △OBC是等腰三角形.
新知讲解
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
等的三角形是等腰三角形吗？
现了什么！
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么AB 与AC 相等.
新知讲解
等腰三角形的性质定理和判定定理
教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
精!等腰三角形的性质及其判定
等腰三角形的性质及其判定（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。
【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
3.等腰三角形的判定定理
1.如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90 °，AB 的垂直平分线DE 交于BE的延长线于F， 若∠ F=30 °，DE=1， 则EF的长是( ）
A3 B2 C5 D1
B
因为DF是AB的垂直平分线， 所以AF=BF. 因为FD ⊥ AB. ∠ AFD=∠BFD=30 °∠B=∠FAB=90°-30°=60 °因为 ∠ ACB=90 ° 所以∠ BAC=30 °. ∠ FAC= 60°-30°= 30 所以DE=1. 所以AE=2DE=2. 所以∠ FAE= ∠ AFD= 30 ° 所以EF=AE=2. 故选B.
要求△AMN的周长 ——需求出AM+MN+AN——需转化成与 AB,AC有关系的形成——角平分线和平行线——出现等 腰三角形——线段互换——得解
3.在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P O A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的P点共有几个
A2 B3 C4 D5
Y
A
O
X
•
了解等腰三角形的判定定理 掌握如何使用这个判定定理 运用本节课内容解题
等腰三角形判定பைடு நூலகம்理
（1）判定定理的内容：有两个角相等的三角形是等 腰三角，简称“等角对等边”。 （2）几何语言表述：如图，在△ABC中， ∠B=∠C,AB=AC。 (3)判定定理的作用：证明在同一个△中的边相等。
特别注意
①该定理应用的条件是在同一个三角形中②该定理不 能叙述为“有两个底角相等的三角形是等腰三角”因 为在没有判断出一个三角形是否为等腰三角形前，不 能用“底角”和“腰”这些名词，只有等腰三角形才 有“底角”和“腰”。
2.如图，BD平分∠CBA,CD平分 ∠ACB且MN∥BC,AB=12,AC=18求 △AMN的周长
专题：等腰三角形的性质与判定(答案)
专题：等腰三角形的性质与判定※题型讲练考点一等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”1．等腰三角形的性质定理：(1)性质定理1：等腰三角形的两个相等(该定理可以简写成“”)．注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是50°或80°．(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是108°．(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．变式训练1：1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是50°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．考点二等腰三角形的性质定理2：“三线合一”(2)性质定理2：等腰三角形的的角平分线、底边上的、底边上的互相重合，简写成“”．【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD ＝35°，则∠C的度数为___55°_____．(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．变式训练2：1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是___35°___．2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，作∠EAB ＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．试证明：BE＝CF．考点三等腰三角形的判定定理：“等角对等边”1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“”)．【例2】(1)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( D )A．3个B．4个C．5个D．6个(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．(3)如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F．求证：AF＝FB．变式训练3：1．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是____30____．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．考点四等腰三角形的综合问题【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB 、BC 、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．※课后练习1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )A．过顶点的直线B．腰上的高所在的直线C．顶角的角平分线D．底边的垂直平分线2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B) A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图所示，已知AB＝AC＝BD，那么∠1和∠2之间的关系是(D)A．∠1＝2∠2 B．2∠1－∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°4．已知等腰三角形中有一个内角为70°，则该等腰三角形的顶角度数为70°或40°．5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于____4 cm ___．6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．若AF=3，BF=5，则CE的长度为11．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2，4)，在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有8 个．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB．则∠A的度数为45°．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE 交AD于F，交AC于E．(1)若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由；(2)若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC．10．如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC+DC．求证：∠C=2∠B．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AB=AC+DC，AE=AC，∴BE=DC．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD( SAS )．∴DE=DC=BE，∠AED=∠C，∴∠B=∠EDB．∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，∴∠C=2∠B．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D 分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明．(2)过点C作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明．解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF．∵D为BC的中点，∴BD=CD．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∴△BED≌△CFD( AAS )，∴DE=DF．(2)CG=DE+DF．连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，AB×CG=AB×DE+AC×DF，又∵AB=AC，∴CG=DE+DF．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)以图2为例证明：PD=PE；(2)△PBE能否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．。
等腰三角形的判定-八年级数学上册课件(沪科版)
1、如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
① △ABC 中，AB=AC；
② △ABC 中，∠B=56°，∠BAC=68°；
③ △ABC 中，AD⊥BC，AD 平分 ∠BAC；
④ △ABC 中，AD⊥BC，AD 平分边 BC．
∴ △ABC 是等腰三角形 “角平分线+平行线 是一种常见的基本图形
等腰三角形”
探究新知
思考 1：如何判断一个三角形是不是等边三角形？
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC 中， ∠ A=∠B=∠C
A
求证：△ABC 是等边三角形
证明：∵ ∠A=∠B (已知)
∴ BC=AC (等角对等边)
请你判断 △ABC 的形状，并说明理由.
解：△ABC 是等腰三角形. 理由如下：
∵ AE是 ∠DAC 的平分线
∴ ∠DAE=∠EAC (角平分线的定义)
∵ AE∥ BC
∴ ∠DAE=∠B (两直线平行，同位角相等)
∠EAC=∠C (两直线平行，内错角相等)
∴ ∠B=∠C
知识拓展：
∴ AB=AC (等角对等边)
拓展练习 2、如图 1，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于 O 点，
过 O 点作 BC 平行线交 AB、AC 于 D、E． (1) 请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由 .
拓展练习 2、如图 1，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于 O 点，
过 O 点作 BC 平行线交 AB、AC 于 D、E． (2) 如图 2，△ABC 若 ∠ABC 的平分线与 △ABC 的外角平分线
等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析
等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析一、等腰三角形的基本概念等腰三角形是一种具有两条相等边长的三角形，其中相等两条边称为腰，另一边称为底。
等腰三角形的性质和判定是数学中的重要知识点。
二、等腰三角形的性质1.等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应的两个角也相等。
2.三角形的相似：如果两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形相似。
3.等腰直角三角形：如果一个等腰三角形的顶角为直角，那么它的两个底角相等，均为45度。
4.等边三角形：如果一个等腰三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。
三、等腰三角形的判定1.定义法：根据等腰三角形的定义，通过测量或证明两个角相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。
2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
3.垂直平分线：等腰三角形的垂直平分线上的任意一点到两个底角的距离相等。
4.底边上的中线：等腰三角形底边上的中线与两个腰的夹角相等。
5.两边相等：如果一个三角形其中两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
6.顶角平分线：等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合。
四、等腰三角形的应用1.几何图形：在几何问题中，等腰三角形经常出现，如在证明两个三角形全等、相似或者寻找角度之间的定量关系时。
2.代数计算：等腰三角形在代数计算中也得到广泛应用，如解方程、函数等问题。
3.实际应用：等腰三角形在实际生活中也有很多应用，如建筑设计、工程绘图等领域。
五、总结本文详细介绍了等腰三角形的性质和判定方法，重点讲解了等腰三角形的定义、性质以及常见的判定方法，并通过实例精析帮助读者更好地掌握相关知识点。
在学习过程中，建议读者首先熟练掌握基本概念和性质，然后深入理解判定方法，并在解题中加以实践。
同时，要注重知识点之间的联系与区别，以便更好地掌握和运用所学知识。
等腰三角形性质及判定
类型一、等腰三角形中有关度数的计算题
例1、如图,在△ABC中，D在BC上,且AB＝AC＝BD,∠1＝30°，求∠2的度数.
举一反三：
1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE,求∠B的度数．
2.如图,在△ABC中AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求三角形各角的度数。
等腰三角形性质及判定
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中,AB＝AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°。等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角（或直角）.
3.如图,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法
等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中,通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：
Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝ Ｄ．14㎝
7等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．过顶点的直线 B．底边的垂线［]C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线
8、在等腰三角形中,有一个角为40°，求其余各角．
9。已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组 ．
(1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．
10若x，y满足|x﹣3｜+ =0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（ )
等腰三角形的相关要点总结
等腰三角形的相关要点总结1．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．2．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC 中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵ ∠B ＝∠C ，∴ AB ＝AC又∵ ∠A ＝∠B ∴ AC ＝BC∴ AB ＝AC ＝BC ，∴ △ABC 是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ．又∵ ∠B ＝60°，∴ ∠B ＝∠C ＝60°．又∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴ ∠A ＝180°－（∠B ＋∠C ）＝60°．∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ，∴ AB ＝BC ＝AC ．∴ △ABC 为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC 为等边三角形，D 、E 为直线BC 上的两点，且BD ＝BC ＝CE ，求∠DAE 的度数．分析：要求∠DAE 的度数，需分开求，先求∠BAC ，再求∠DAB 和∠CAE ，由△ABC 为等边三角形知∠BAC ＝60°，又∵ BD ＝BC ，而BC ＝BA ，则BD ＝BA ，∴ △ABD 为等腰三角形，∴ ∠D ＝∠DAB ＝21∠ABC ＝30°．同理可知，∠CAE ＝30°．解：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．3．证明线段相等的方法到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．（2）等角对等边（在一个三角形中）．（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．（5）中点的概念（在一条直线上）．（6）利用第三条等量线段．（7）作辅助线、创造条件．例如：如图14-3-20，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．分析：因BD与CE在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明，也可用轴对称的性质进行证明．证法一：用全等三角形∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．证法二：用中线如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF（三线合一）．又∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF（三线合一）．∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．证法三：用轴对称过A作BC边上的垂线，垂足为F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴△ABC关于直线AF对称，∴BF＝CF．同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．即BD＝CE．【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．4．证明角相等的方法到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：（1）角平分线的定义及性质．（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．（3）等边对等角（在一个三角形中）．（4）轴对称的性质．（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，则∠A＝∠B）．（6）作辅助线，创造条件．例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：∠BAD＝∠CAD．分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进行证明．证法一：用全等三角形∵∠1＝∠2，∴DB＝DC在△ABD和△ACD中，AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴∠ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．证法二：用轴对称∵∠1＝∠2，∴DB＝DC∴点D在BC的垂直平分线上．又∵AB＝AC，∴A点也在BC的垂直平分线上．∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．∴∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．证法三：用角平分线∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，∴点A、D都在BC的垂直平分线上．∴AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．∴∠BAD＝∠CAD．例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD 于E，交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．证明：∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD．∴∠1＝∠3＋∠4．又∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．即∠B＝∠CAF．5．得到等腰三角形的方法（1）如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．（2）把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合部分是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．（6）36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．（7）90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理：1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。
再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。
将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。
化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得∠A=90°-∠B/2同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得∠A=90°-∠C/2将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。
2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是∠B和∠C的平分线。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。
再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。
假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。
根据∠BCD和∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。
而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。
代入已知条件，得到2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。
由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。
所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。
从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。
二、判定定理：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。
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A
D
B
C
练习5
2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，两底角的 平分线BE和CD相交于 点O，那么△OBC是什 D 么三角形？为什么？
B
A
E O
C
小结
名称 图 形
等
腰
三
角
A
形
概念
性质与边角关系
判定
有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形
1.两腰相等 1.两边相等 2.等边对等角 2.等角对等边 3. 三线合一
2.4等腰三角形的判定定理
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？ 1.等腰三角形的两腰相等.
2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）.
3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线和底边上的高互 B 相重合.（简称“三线合一”）
4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴 是底边的中垂线.
A C
1.如图:ΔABC中,已知AB=AC,
练习
如图, △ABC为等边三角形, ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3 (1)求BEC的度数. (2) △ DEF为等边三角形吗?为什么?
A 1F
D
B
2
E3 C
基本应用
例１．一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量Ａ，Ｂ之间的 距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发，沿着与 直线ＡＢ成６０ °角的ＡＣ方向前进至Ｃ，在Ｃ处测得Ｃ＝30° ．量出 ＡＣ的长，它就是河宽（即Ａ，Ｂ之间的距离）．这个方法正确吗？请说 明理由．
A
图中有哪些角相等?
∠ B= ∠ C． 在三角形中等边B对等角．C
２．反过来：
在ΔABC中， ∠ B= ∠ C， AB=AC成立吗？
探索思考
1，作一个三角形，有两个角 相等，这两个角所对的边是否
相等？
A
分析： 在ΔABC中，∠B=∠C作∠BAC
的平分线交BC于D，则
12
∠ 1=∠2，又∠B=∠C，由三角
N 北 ∴∠C=80°- 40°= 40°
C
80°
B ∴ BA=BC（等角对等边）
40°
∵AB=20（12-10）=40
A
∴BC=40
答：B处到达灯塔C40海里
基本应用
例２.如果三角形一个角的外的角平分线平行 于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰 三角形吗？为什么？
A1 2
解：因为AD∥BC， D 所以∠1=∠B,∠2=∠C.
因为∠1=∠2，
∠B=∠C.因此AB=AC，BC来自即ΔABC的是等腰三角形.
基本应用
例３．如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底边
ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点Ｅ．判断
△ＢＤＥ是不是等腰三角形，并说明理由．
（请你自已完成说理过程）
Ａ
EＥ ３ Ｄ
２１
Ｂ
Ｃ
练习4
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC, 试判断△ABD的形状,并说明理由?
解：小聪的测量方法正确．理由如下：
∵ ∠ＤＡＣ＝ ∠Ｂ＋ ∠Ｃ（三角形的外角的性质）
∴ ∠ＡＢＣ＝ ∠ＤＡＣ－ ∠Ｃ＝６０ ° －３０ ° ＝３０ Ｂ° ∴ ∠ＡＢＣ＝ ∠Ｃ
∴ＡＢ＝ＡＣ（在一个三角形中，等角对等边．）
Ａ
６０ °
ＣD
练习3
上午10 时，一条船从A处出发以20海 里每小时的速度向正北航行，中午12 时到达B处，从A、B望灯塔C，测得 ∠NAC=40°， ∠NBC=80°求从B处到 灯塔C的距离 解：∵∠NBC=∠A+∠C
A
A
A
E
D
N MQ
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
练习2
如图,已知∠A=36°,
∠DBC=36°, ∠C=72°,
则∠1= ,∠2= ,
图中的等腰三角形
有
.
1
B
A
D
2
C
等边三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况， 就是底边与腰相等，这时，三角形三边相 等。
我们把三条边都相等的三角形 叫做等边三角形（正三角形）。
等边三角形判定探索:
1.三个内角都等于60 °的三角形是等边三
B
C
4.是轴对称图形
开启 智慧
思考1:如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB， BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,请想想看,由以上 条件,你能推导出什么结论?并说明理由.
如果EG∥BC？
A
E
F
G
B
C
开启 智慧
下例各说法对吗？为什么？
思考
2:等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
当底角∠ B= 60时,
∠ C=60 °, ∠A=180 —(60° +60 °)=60. °
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.
等边三角形的判定方法:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边 三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是 等边三角形.
角形.
AA
∵∠A=∠B=∠C=60 °
∴AB=AC=BC (为什么)
∴三角形△ABC是等边三角形. B
CC
等边三角形性质探索:
2.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等
边三角形.
A
假若AB=AC，则∠ B= ∠ C
当顶角∠A=60 °时, ∠ B= ∠ C= 60 °
B
C
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.
等角对等到边．
定理的证明：
等腰三角形的判定
• 如果一个三角形有两个角相等，那么 这个三角形是等腰三角形．
已知: 如图,在△ABC中,∠B＝∠C. 求证: AB=AC.
分析:要证明AB=AC,只要能构造出AB， AC所在的两个三角形全等就可以了. Ａ
(同学们自已完成证明.)
Ｂ
Ｃ
练习1
在△ABC中, 已知∠A=40°,∠B=70°, 判断△ABC是什么三角形,为什么?
形内角和的性质得
B
DC
∠ADB=∠ADC，沿直线AD折叠∠ADB=∠ADC ，
∠1= ∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射
线AC重合，从而点B与点C重合，因此AB=AC
等腰三角形有以下的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三 角形．
简单地说；在同一个三角形中，