第4章 流体流动的守恒定律

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例题2 如图所示，初始时，槽内有100kg水，现分别以150kg/h和30kg/h注
入水和盐，并视槽内搅拌充分（密度均匀），溶液以120kg/h流出。试确定1h 后出口溶液的浓度。
解：去1-1,2-2截面内为控制体，题目条件仅告诉了质量流量，所以根据 质量守恒式：
系统质量变化=流出质量-流入质量+控制体内的质量变化
t
固定的控制体
•输运公式将系统与控制体联系起来，是拉格朗日观点 和欧拉观点的桥梁。
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4-2 质量守恒方程
4.2.1 控制面上的质量流量
•dA面上流体的法向速度：
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第四章 流体流动的守恒原理
4.1 概述
4.1.1 系统与控制体 4.1.2 输运公式
4.4 动量矩守恒方程 （重点）
4.4.1 动量矩定律 4.4.2 控制体动量矩守恒方程 4.5 能量守恒方程 （重点） 4.5.1 运动流体的能量 4.5.2 控制体能量守恒方程 4.5.3 化工流动系统的能量方程 4.5.4 伯努利方程及其应用说明
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z
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例题3
如图所示弯管，试确定稳态流体对弯头的作用力。
解：1-1,2-2截面间流体为控制体；动量的变化率即为力（动量定理）；稳态流动， 控制体内的动量无变化；所以 1
F v q
F v q
2 m2
v1qm1
2 m2
v1qm1
v1
p1
1
p2A2 A1 2 p1A1 A2 y G 2
v2 qm 2 cos v1qm1 F v2 qm 2 sin
控制体所受的力有流体压力、重力和管壁的 作用力，即
ห้องสมุดไป่ตู้
p2 v2
d qm (qm1 qm 2 ) m 0 dt m (qm1 qm 2 qm )t C
初始条件，t=0时，m=100kg，得C=100kg
设溶液浓度为x，则盐成分质量守恒有
150kg/h
qm1
水 1
30kg/h
qm 2
盐 1 2 120kg/h 溶液 2
d qm x qm 2 (mx) 0 dt
A2 A1 cs=A 0 +A1 +A 2

( v n)dA
控制体内的质量为
m dV ，从而控制体内的质量变化率为
V
dmCV d dV dt dt V
• 系统的质量守恒方程即为
dmCV qm 2 qm1 0 dt
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p1 A1 p2 A2 cos 0 Fx F 0 p2 A2 sin G Fy
流体压力 联立两式，即可求解Fx，Fy 重力 管壁对流体的作用力
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4-1 概述
4.1.2 输运公式
提示：流体作为特定形态的物质，其运动规律满足牛顿力学体系，但牛顿力学体 系的通常理解是针对“质点”（或刚体）的，应用于流体时，适用于流体“系 统”，而非“控制体”，故需要将通常的数学描述转换为适用于“控制体”，转 换过程使用的公式，即为输运公式。 控制体内所包含的流体系统的变化率=控制体内的变化率+流入量-流出量 输出控制体 输入控制体 控制体内的 dm ( )系统 + dt 的质量流量 的质量流量 质量变化率
d vx dV dt CV d v y dV dt CV d vz dV dt CV
y
z
•稳态流动系统的动量方程
F F F
x y
v2 x qm 2 v1x qm1 v2 y qm 2 v1 y qm1 v2 z qm 2 v1z qm1
流出
n2
qm1 ( v n)dA
•流出的质量流量：
A1
A2
v1
qm 2 ( v n)dA
A2
流入
n1
A1
A0
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4-1 概述
本章研究流体运动的宏观行为，其对象为流场内占据一定几何空间中的流 场（控制体），其方法是流动过程必然遵循物质运动的基本原理（质量守 恒、动量守恒、能量守恒等）。
v

dA
n
vn v | v | n | cos v cos n |
dqm vn dA ( v )dA n
定义
,
qm ( v n)dA
A
( v n) 为质量通量，表示单位面积上的质量流量。
v2
当控制体表面法向与流速夹角小于90°时，必有流量流出控制体， 反之，夹角大于90°时，必有流量流入控制体。 •流入的质量流量：
dx (qm1 qm 2 ) x qm 2 [(qm1 qm 2 qm )t C ] 0 dt dt dx [(qm1 qm 2 qm )t C ] [qm 2 (qm1 qm 2 ) x] qm 2 x qm1 qm 2
( qm1 qm 2 ) (qm1 qm 2 qm ) ( qm1 qm 2 qm ) t) 1 (1 C
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4-1 概述
4.1.1基本概念：系统与控制体
系统 t=0 控制体 t 流入控制体
简单的讲：系统考
察流体对象在流动中 的形态变化；控制体 考察某体积内的流入 流出情况！
控制体
流出控制体
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4-2 质量守恒方程
4.2.2 控制体质量守恒方程
输出控制体 输入控制体 控制体内的 dm dm ( )系统 + , ( )0 dt dt 的质量流量 的质量流量 质量变化率
从控制体内总流出的质量为
qm 2 qm1 ( v n)dA [ ( v n)dA]
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4-3 动量守恒方程
4.3.2 动量守恒方程的简化形式
•以平均速度表示的动量方程
F F F
x
v2 x qm 2 v1x qm1 v2 y qm 2 v1 y qm1 v2 z qm 2 v1z qm1
v dA v dA
1 2 A1 A2
v1 R 2 d
0
2
R
0
r2 2 vmax vmax (1 2 )rdr R vmax 2v1 R 2
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( ( 输出控制体 输入控制体 控制体内的 dmv )系统 + dt 的动量流量 的动量流量 动量变化率 输出控制体 输入控制体 控制体内的 dE )系统 + dt 的能量流量 的能量流量 能量变化率
t时刻的系统边界
t t 时刻的系统边界
I
II
III
•系统尺度量的变化包括两个方面: (1)流体输出输入控制 体引起的尺度量变化；(2)控制体内尺度量随时间的变化
4.1.1基本概念：系统与控制体
系统：确定不变的物质集合，其特点是质量不变但其边界形状可能在
不停的改变。
控制体：根据需要所选取的具有一定位置和形状的流场空间。
系统边界变化
控制体的边 界无变化
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4.2 质量守恒方程（重点）
4.2.1 控制面上的质量流量 4.2.2 控制体质量守恒方程 4.2.3 多组分系统的质量守恒方程
4.3 动量守恒方程 （重点，难点）
4.3.1 控制体动量守恒方程 4.3.2 动量守恒方程简化形式
4.6 守恒方程的综合应用
4.6.1 小孔流动问题 4.6.2 管流中的液体汽化问题 4.6.3 驻点压力与皮托管 4.6.4 管道局部阻力损失分析
A
对于稳态不可压缩系统
const ，则有：
v1 A1 v2 A2
•管道截面流体平均速度 qm 1 1 vm ( vn)dA m A vn dA m A m A A A
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dmv F dt 系统
(
输出控制体 输入控制体 控制体内的 dmv )系统 + dt 的动量流量 的动量流量 动量变化率
控制面上净输出的动量流量
控制微元面dA上的质量流量为： 则，控制微元面dA上的动量流量为：
dqm vn dA (v )dA n
vdqm v ( v )dA n
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4-2 质量守恒方程
4.2.2 控制体质量守恒方程
d dmCV qm 2 qm1 0 或 (v n)dA dt dV 0 dt A V dmCV 0，即有： 对于稳态系统， dt qm2 qm1 0 或 ( v n)dA 0
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《流体力学》
教材：工程流体力学（第2版）.黄卫星 化学工业出版社.2008.12 学时：40 学时 教师：杨 军
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qm
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设溶液浓度为x，则盐成分质量守恒有
d qm x qm 2 (mx) 0 dt
m (qm1 qm2 qm )t C
代入已知数据，得1h后出口溶液中盐的质量分率为： x=0.126
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4-3 动量守恒方程
4.3.1 控制体动量守恒方程
根据牛顿力学可知：系统动量的变化率=系统所受的作用力，即：
CS
定义
v( v n) 为动量通量，则从控制体内流出的动量为： v ( v n ) dA
vdV，从而控制体内的动量变化率为： d vdV dt V V
控制体内的动量为 •则动量守恒方程为
F v(v n)dA
CS
d vdV dt V
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例题1
如图所示，不可压流体在管内做层 流流动，已知进口截面1速度均匀 分布，截面2上的速度分布为
1 v1 1
2
v2 2
2r
r 2 v2 vmax [1 ( ) ] R
试确定vmax与v1的关系
系统质量变化=流出质量-流入质量+控制体内的质量变化
解：取两截面间的部分为控制体，对于不可压缩流，质量不随时间变化， 故有控制体的总流量为0，即