离散数学习题评讲3
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k =1 k =1
∑
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k =1
y k )＝ 0
习题7 习题7-5 （2）证明：小于30条边的平面简单图有一个结 点度数小于等于4。 证明：假设该平面简单图中没有结点度数小于等 于4，则所有结点度数大于等于5，设顶点数为v, 边数为e,面数为r,有 2e≥5v ，即v≤(2/5)e 又每面次数不低于3，有2e≥3r, 即r≤(2/3)e 根据欧拉公式 v+r-e=2,得 (2/5)e+(2/3)e-e≥2,得e≥30，与e小于30矛盾， 故假设不成立，一定存在顶点度数小于等于4。
证明：由拉格朗日定理及其推论可知，pm阶群中 除幺元外其余元素的阶次只能为p,p2,…,pm, 设某元素a的阶次为pk(1<=k<=m),取 H={apk-1,a2.pk-1,a3.pk-1,…,ap.pk-1=e},显然，H中 的元素相运算满足封闭性，故H可构成群。 因为|H|=p，故必有p阶子群。 习题5-8 (1)证明：如果f是由<A,★>到<B,*>的同态映射， g是由<B,*>到<C,△>的同态映射，那么g°f是 <A, ★>到<C, △>的同态映射。
n
− 出度平方和
n
2 2 2 2 = x 12 + x 2 + L + x n − ( y 12 + y 2 + L + y n )
=
∑
k =1 n
x k2 − y k2 =
∑
k =1
( x k + y k )( x k − y k )
n n
= n ∑ ( xk − yk ) = n (∑ xk −
代数系统/图论部分习题讲评 代数系统 图论部分习题讲评
习题5－ 习题 －3 （2）设＜S,*>是一个半群，a∈S,在S上定义一个 二元运算□，使得对于S中的任意元素x和y,都有 x□y=x*a*y,证明二元运算□是可结合的。 证明：S中任取元素x,y,z,则 x□(y□z)=x□(y*a*z)=x*a*(y*a*z) =(x*a*y)*a*z =(x□y)*a*z=(x□y)□z 习题5 习题5－4 (5)设<A,*>是群，且｜A｜＝2n,n∈I+。证明： 在A中至少存在a≠e,使得a*a=e。其中e为幺元。
证明：任取a,b∈A,则 g ° f(a★b)=g(f(a)*f(b))=g(f(a)) △g(f(b)) =g ° f(a) △g ° f(b)，故g ° f是g ° f是<A, ★> 到<C, △>的同态映射。 (6)证明：循环群的同态象必定是循环群。 证明：设f是循环群<A,*>到代数系统<B,×>是 同态映射，若<A,*>的生成元为a,设f(a)=r，设 f(ak)=rk,k∈I+且k≠0,则 f(ak+1)=f(ak)×f(a)= rk×r= rk+1,故 f(ak)= rk,k∈I+且k≠0成立。 同 态 象 f(A) 中 任 取 元 素 b ， 则 存 在 x∈A, 使 得 f(x)=b,设x=am,有b=rm,即f(A)中任一元素b都可 由r生成。
习题7 习题7-1 （1）证明在任何有向完全图中，所有结点入度 的平方之和等于所有结点的出度平方之和。 证明：设有向完全图中有n个顶点，顶点记为 v1,v2,…,vn,设第k个（k=1,2,..,n）顶点vk的出度 为xk,入度为yk,因为有向完全图，故有xk+yk=n, x, y, x
入度平方和
证明：a*a=e即表明存在元素a≠e以自身为逆元， 除去幺元e之外，余下任一元素都不以自身为逆 元，则余下的元素数目必须为偶数才能互相配对， 因为|A|=2n,除去幺元外，还有2n-1个元素，不 可能互相配对，故其中至少有一个元素必须以自 身为逆元。 习题5-5 习题5 (1)设<G,*>是一个独异点，并且对于G中的每一 个元素x都有x*x=e,其中e是幺元，证明<G,*> 是一个阿贝尔群。 证明：G中任取元素x,y,令x*y=a,y*x=b,则 a*b=(x*y)*(y*x)=e,两边左*a, a*(a*b)=a*e, 得 b=a, 故 x*y=y*x,<G,*> 为 阿 贝 尔群。
习题5 习题5-7 (7) 设aH和bH是H在G中的两个左陪集，证明： 要么aH∩bH=φ,要么aH=bH。 证明：根据拉格郎日定理，H的所有左陪集形成 等价类并决定了一个等价关系R，因此，当且仅 当aRb时，aH=bH,aRb时，a，b分属不同的等 价类，有aH∩bH= φ，故要么aH∩bH=φ,要么 aH∩bH= φ aH∩bH=φ, aH=bH。 (8)设p是质数，证明：pm阶群中一定包含着一个 p阶子群。
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习题7 习题7-5 （2）证明：小于30条边的平面简单图有一个结 点度数小于等于4。 证明：假设该平面简单图中没有结点度数小于等 于4，则所有结点度数大于等于5，设顶点数为v, 边数为e,面数为r,有 2e≥5v ，即v≤(2/5)e 又每面次数不低于3，有2e≥3r, 即r≤(2/3)e 根据欧拉公式 v+r-e=2,得 (2/5)e+(2/3)e-e≥2,得e≥30，与e小于30矛盾， 故假设不成立，一定存在顶点度数小于等于4。
证明：由拉格朗日定理及其推论可知，pm阶群中 除幺元外其余元素的阶次只能为p,p2,…,pm, 设某元素a的阶次为pk(1<=k<=m),取 H={apk-1,a2.pk-1,a3.pk-1,…,ap.pk-1=e},显然，H中 的元素相运算满足封闭性，故H可构成群。 因为|H|=p，故必有p阶子群。 习题5-8 (1)证明：如果f是由<A,★>到<B,*>的同态映射， g是由<B,*>到<C,△>的同态映射，那么g°f是 <A, ★>到<C, △>的同态映射。
n
− 出度平方和
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2 2 2 2 = x 12 + x 2 + L + x n − ( y 12 + y 2 + L + y n )
=
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k =1 n
x k2 − y k2 =
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k =1
( x k + y k )( x k − y k )
n n
= n ∑ ( xk − yk ) = n (∑ xk −
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习题5－ 习题 －3 （2）设＜S,*>是一个半群，a∈S,在S上定义一个 二元运算□，使得对于S中的任意元素x和y,都有 x□y=x*a*y,证明二元运算□是可结合的。 证明：S中任取元素x,y,z,则 x□(y□z)=x□(y*a*z)=x*a*(y*a*z) =(x*a*y)*a*z =(x□y)*a*z=(x□y)□z 习题5 习题5－4 (5)设<A,*>是群，且｜A｜＝2n,n∈I+。证明： 在A中至少存在a≠e,使得a*a=e。其中e为幺元。
证明：任取a,b∈A,则 g ° f(a★b)=g(f(a)*f(b))=g(f(a)) △g(f(b)) =g ° f(a) △g ° f(b)，故g ° f是g ° f是<A, ★> 到<C, △>的同态映射。 (6)证明：循环群的同态象必定是循环群。 证明：设f是循环群<A,*>到代数系统<B,×>是 同态映射，若<A,*>的生成元为a,设f(a)=r，设 f(ak)=rk,k∈I+且k≠0,则 f(ak+1)=f(ak)×f(a)= rk×r= rk+1,故 f(ak)= rk,k∈I+且k≠0成立。 同 态 象 f(A) 中 任 取 元 素 b ， 则 存 在 x∈A, 使 得 f(x)=b,设x=am,有b=rm,即f(A)中任一元素b都可 由r生成。
习题7 习题7-1 （1）证明在任何有向完全图中，所有结点入度 的平方之和等于所有结点的出度平方之和。 证明：设有向完全图中有n个顶点，顶点记为 v1,v2,…,vn,设第k个（k=1,2,..,n）顶点vk的出度 为xk,入度为yk,因为有向完全图，故有xk+yk=n, x, y, x
入度平方和
证明：a*a=e即表明存在元素a≠e以自身为逆元， 除去幺元e之外，余下任一元素都不以自身为逆 元，则余下的元素数目必须为偶数才能互相配对， 因为|A|=2n,除去幺元外，还有2n-1个元素，不 可能互相配对，故其中至少有一个元素必须以自 身为逆元。 习题5-5 习题5 (1)设<G,*>是一个独异点，并且对于G中的每一 个元素x都有x*x=e,其中e是幺元，证明<G,*> 是一个阿贝尔群。 证明：G中任取元素x,y,令x*y=a,y*x=b,则 a*b=(x*y)*(y*x)=e,两边左*a, a*(a*b)=a*e, 得 b=a, 故 x*y=y*x,<G,*> 为 阿 贝 尔群。
习题5 习题5-7 (7) 设aH和bH是H在G中的两个左陪集，证明： 要么aH∩bH=φ,要么aH=bH。 证明：根据拉格郎日定理，H的所有左陪集形成 等价类并决定了一个等价关系R，因此，当且仅 当aRb时，aH=bH,aRb时，a，b分属不同的等 价类，有aH∩bH= φ，故要么aH∩bH=φ,要么 aH∩bH= φ aH∩bH=φ, aH=bH。 (8)设p是质数，证明：pm阶群中一定包含着一个 p阶子群。