几种特殊类型函数的积分

x 2 tan 2
2u 1 u
2 du dx 1 u
2
2
1 u 1 u
2
2
2
2 tan

万能代换
sin x dx. 例7. 求(1) 1 sin x
1 dx. (2) 3 cos x
利用万能公式处理比较复杂，更多地是利 用三角恒等式化简被积函数
1 dx. 例8. 求 2 sec x sin x tan x
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
2
1 arctan(x 1) 2 C x 2x 2



( m n)
例9. 求
和差化积公式
解:
1 1 ∴原式 = sin 4 x dx sin 2 x d x 2 2 1 1 sin 4 x d(4 x) sin 2 x d(2 x) 4 8
1 sin x cos3x (sin 4 x sin 2 x) 2
解: (1)用赋值法
1 A B C 1 1 1 2 2 x( x 1) x x 1 ( x 1) x x 1 ( x 1) 2
右端通分后比较两端分子得
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx 令 x=0 得 A=1 令 x=1 得 C=1 令 x=2 得 B=-1
例2. 求 解: 原式 1
4 1 2x 1 dx dx 2 5 1 2x 5 1 x 2 d(1 2 x) 1 2 x dx 1 dx 1 x2 1 x2 5 5 5 1 2x 2 2 1 d ( 1 x ) 1 arctan x ln 1 2 x 5 5 5 1 x2
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(2) 用待定系数法
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
右端通分后比较两端分子得
x 3 A( x 3) B( x 2)
1 A B 3 (3 A 2 B)
有理函数
分解
万能代换
三角函数有理式
多项式及部分分式之和
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
P( x) 则 可以分解成如下部分分 式的形式 : Q( x )
P( x) A A A Q( x) x a ( x a) ( x a )
1 2 2
B B B x b ( x b) ( x b)
1 2 2
M xN M xN M x N x px q ( x px q ) ( x px q )
例6. 求
二、三角函数有理式的积分
由 经过有限次四则运算得到的函数叫 三角函数有理式，记为 R(sin x , cos x) dx 令 u tan

x 2
x 2 arctan u
u 的有理函数的积分
sin x
cos x
2u tan x 2 x 1 u 1 tan
2
2x 1 tan 2 2x 1 tan 2 2x 1 tan 2 x
令 x=2 得 A=-5
令 x=3 得 B=6
解得 A 5,
B6
故
5 6 原式 x2 x 3
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(3)用赋值法 1
Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
1 A(1 x ) ( Bx C )(1 2 x)
第四节
第四章
特殊函数的积分
一、有理函数的积分
二、三角函数有理式的积分
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一、有理函数的积分
1. 有理函数 定义 两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
n n 1 P ( x ) a x a x a n 1 x a n 0 1 形如 Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
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3. 有理真分式化为最简真分式 根据代数学基本原理
P( x) 设 为有理真分式,且Q( x )在实数范围内 Q( x ) 能分解成一次因式和二 次质因式的乘积
Q( x ) b0 ( x a ) ( x b) ( x 2 px q ) ( x 2 rx s )
1 1 2 2 2 2 2 2
R x S RxS R xS x rx s ( x rx s ) ( x rx s )
1 1 2 2 2 2 2 2
其中 Ai , Bi , M i , N i , Ri , Si 都是待定常数 .
例1. 将下列真分式分解为最简真分式 :
其中m 、n 都是非负整数；a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
假定P ( x )和Q( x )之间没有公因式 x 3x 1 1 P( x) x 4 当n m时，称 为 有理真分式, x 2 x x 51 Q( x ) P( x) 当n m时，称 为 有理假分式. x 3 x 5 Q( x ) x 1
2 ln 1 2 x 1 ln (1 x 2 ) 1 arctan x C 5 5 5
例3. 求(1)
(2)
例4. 求 先利用配方(或多项式除法)的方法将它写成多项式与 真分式之和。 注意
在具体演算这类积分时，因为确定待定 系数解方程组的计算量较大，只在不得 已时才用这种方法.如能有其它简便方法 则更好.
2 3 2
2
有理假分式
相除
多项式 + 既约真分 式
分解
四种最简真分式之和 其中最简真分式的形式为
A A MxN MxN ; ; ; 2 k 2 k x a ( x a) ( x p x q) ( x p x q)
( k N , p 2 4q 0 )
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2. 四种典型最简真分式的积分:
1 A d( x a ) A ln x a C 1. dx A xa xa
A A n 1 n 2. d x A ( x a ) d( x a ) ( x a) C n ( x a) 1 n (n 1) Mx N M (2 x p) N M p 变分子为 2 3. 2 dx 2 x px q 再分项积分 Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
解 原式=
1 1 sin x 2 cos x cos x
2
dx


1 cos x cos x 1 2 dx dx 2 2 2 sin x 2 sin x 1 2 sin x d 1 2 1 arctan sin x C 2 2 2 2 sin x 1 2
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一切初等函数在其定义区间上都有原函数。
问题： 是否所有初等函数的不定积分都是
初等函数. 答
否
1 sin x 如： dx, dx, ln x x
e dx, sin x dx
2
x2
注意
这并不意味着这些被积函数没有原函数 只是它们未能用初等函数表示
内容小结
可积函数的特殊类型 1. 可积函数的特殊类型一般求解方法
三、形如
sin
2
m
x cos xdx （m, n为正整数）
n
（1）m,n至少一个为奇数时，提一次方凑微分
sin sin
x cos xdx.
3
（2）m,n均为偶数时，用三角公式增角降次
2
x cos xdx.
4
四、 sin mx cos nxdx, sin mx sin nxdx, cos mx cos nxdx
2
令 x=-1/2 得 A=4/5
4 1 C 5 1 4 BC 6 15 2
1 4 2x 1 原式 = 5 1 2 x 1 x2
1 C 52 B 5
1 1 4 2x 1 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 2