《实数》拔高题

n m
5． 求证： 若 a1 b1a a2 b2a a1, a2 , b1, b2为有理数, a 为无理数 ， 则 a1 a2 , b1 b2 ， 反之亦成立．
证明 : 移项得 b1 b2 a a2 a1, a a1 若b1 b2, 则a 2 b1 b2 a a1 a 为无理数, 则 2 也应为无理数 b1 b2 a a1 但a1, a2, b1, b2均为有理数, 2 必为有理数 b1 b2 矛盾 改变题设, 若b1 b2, 则 b1 b2 a a2 a1 a2 a1 得证.反之显然成立.
11．下面有四个命题： 1 有理数与无理数之和为无理数； 2 有理数与无理数之积为无理数； 3 无理数与无理数之和 ○ ○ ○ 4 无理数与无理数之积为无理数． 为无理数；○ 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由． 分析：本题可通过构造特殊值的方法证明命题的错误．
E A A E A A E A A E A
情况一 : 由①知, 若c 0, 则a 0,由②知, d 0, 这时s 情况二 : 由①知, 若c 0, 则s 把③代入②, 得 a ③ c
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ad b 0, 即ad bc,由比例的性质, c b a 这时s 为有理数. d c 综上所述, 当c a 0, d 0时, 或c 0, ad bc时, s 为有理数. 2 仿照上述证明过程,由①②不难得知, 当c 0, a 0, d 0时, 或c 0, ad bc 时, s 是无理数.
的方程组后求解即可． 3．已知实数 a 满足 2000 a
a 2001 a ，求 a 20002 的值．
分析： 由非负数的性质得 a 2001 0 ， 即 a 2001 ， 注意到 a 2001 时原式的值小于
a ，故 2000 a 0 ，之后化简代数式即可．
x x x
， 解 方 程 组
思路：由题意可知 x 是 x 的 整 数 部 分 ， x 是 x 的 小 数 部 分 ． ① ② ③ 得
2x 2y 2z 0.6 ，即 x y z 0.3④ ，用 ④ ① ，④ ② ，④ ③ 得到新
6．已知在等式
ax b s 中， a ， b ， c ， d 都是有理数， x 是无理数． cx d
⑴当 a ， b ， c ， d 满足什么条件时， s 是有理数？ ⑵当 a ， b ， c ， d 满足什么条件时， s 是无理数？
解 : 易知ax b s cx d cx d 0, c, d 不能同时为0 1 整理得 a cs x dx b 当s 为有理数时, a cs 应为0, 否则x a cs 0①, ds b 0② dx b , 左边为无理数, 右边为有理数, 显然不成立. a cs b 为有理数 d
解 : 设有理数为a, b, 无理数为, . ①假设有理数与无理数之和为有理数, 则有a b, 移项得 b a, 等式左边为无理数, 右边为有理数, 矛盾, 故假设错误, 命题①正确; ②当a 0时, a 0, 故命题②错误; ③当 -时, 0是有理数, 故命题③错误; ④构造特例, 当 12．求关于 m 的方程 2时, 2是有理数, 故命题④错误.
解 : 设这个分数为
由四舍五入的性质得0.915
n 0.925 m n 0.9252 0.856 两边平方得0.837 0.9152 m n m 1.837 1.856, n m 37 m 37 1.837 1.856 m 19.9 m 20.1, m 是整数, m 20, n 17.
a a 0, ① 则化简 b 9． 实数 a ， b 满足方程 ab ab, ② ， c c 0③
的值为 ．
O
–1
1
2
3
4
x
图2
a b
2

c b
2
a c
解 : 由①得a 0,由②得b 0,由③得c 0 a b 0, c b 0, a c 0 b
附 加 ： 设 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ，
x y z 0.9, x y z 0.2, x y z 1.3 ① ②． ③
A E A A E A A E A
4．证明两实数或代数式不相等：若其一可证是有理数，另一可证是无理数，那么这两 个代数式一定不相等．利用无理数不等于有理数的性质解题，是一种重要的数学思想方法． 5．反证法简介：反证法是一种论证方式，是和常用的正面证法相反的一种思路，亦即 逆向思维，一般过程是： 假设求证的命题不成立， 通过逻辑推理， 演绎推理等得到与题设不成立的结论， 即得证． 这种方法常用于正面证法较难或复杂的证明题中， 我们应当掌握， 但不建议在中考中使 用，有可能被扣分．
a b
2

c b
2
a c
b a b c b a c b a b c b a c b.
10．设 a 是整数，则使 1989a 为最小正有理数的 a 的值为 ．
解 : 1989 32 13 17, a 13 17 221.
实数 1
［基础知识］
1．实数的定义：有理数和无理数统称实数．实数一定能由数轴上的点表示． 2．平方根和立方根：如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根．算术平 方根是指 a 的平方根中非负的一个． 同理，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根．
1
实数 a 的平方根记作 a 或 a 2 ， n 次方根记作 a 或 a n ． 根号下的代数式应满足非负性． a 2 a a 为任意实数 ， a
2．设 x 表示不超过 x 的最大整数，如 3 ，求 1 2 3 ... 100
的值．
解 : 12 1,22 4, 32 9...102 100 1 2 3 1, 4 5 6 7 8 2, 9 10 ... 15 3, 16 17 ... 24 4, ...... 81 82 ... 99 9, 100 10, 原式 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 7 15 8 17 9 19 10 625.
7．如果 y
x2
x 1
2

x 1
2
，那么 y 的最小值是
．
解 : 原方程 y x x 1 x 1 解法① 函数图象法 : 如图2, 在平面直角坐标系上绘制出函数 y x x 1 x 1 的图象, 这是一个重要结论，请牢记． 显然x 0时y的值最小, 为2. 解法② : 根据 使到三点的距离和最短的点是数轴上三点的中点 , 可得x 0, y min 2.
2
n
1
a a 0 ．
有理数和无理数的性质： 两个有理数的和差积商都是有理数 （即有理数域的封闭性） ， 3． 一个无理数与非零有理数的积是无理数， 有理数具有严格定义： 若一个数能写作
p q 0 ， q
E A
1 证明它 且 p ，q 都是整数，那么这个数就是有理数．因此证明一个数是有理数的方法是：○ 2 证明它是循环小数，反之证明一个数是无理数的方法是： 1 可以写成两整数之商的形式；○ ○ 2 证明它不是循环小数．一般用到反证法． 证明它不能写成两整数之商的形式；○ ．．．
解 : 易证2000 a 0, a 2001 0. a 2000 a 2001 a, a 2001 20002 a 20002 2001.
4． 已知一个分数的分子与分母的和为 37 ， 这个分数的算术平方根精确到百分位的近似值是 0.92 ，求这个分数．
［例题］
1．⑴证明：腰长为 1 的等腰直角三角形的底边长为 2 ． ⑵证明： 2 为无理数．
2
D
A
C
B F
图1
E
注： “实数”部分专题分为有理数、无理数证明，代数式的最值问题等部分． 2 该命题即勾股定理的弱化形式．
1
证明 : 1 如图1, 作ABC 使AB BC 1, B 90, 即AC 为所求边. 将ABC 沿直线AC 作反射变换, 得到ACD, 将ABC 沿直线BC 作反射变换, 得到BCF , 将ABC 沿直线AB 作反射变换, 得到ABE , 连EF . 1 S ABC , S四边形ABCD 1, S四边形ACFE 2 2 AC 2. p 2 假设 2是有理数, 设 2 p, q 是互质的正整数 q 2 p 2 , 即p 2 2q 2, 因2q 2含因子2, p是偶数, 设p 2k k 是自然数 2 q 代入上式得4k 2 2q 2, q 2 2k 2, p q也是偶数, 不可能互质. q 2不是有理数, 亦即 2是无理数, 得证.
3x 5y 2 m 2x 3y m
x 199 y 199 x y 的实数解．
解 : 由二次根式的非负性得x 199 y 0,199 x y 0 x y 199且x y 199 x y 199① 由①, 原方程 3x 5y 2 m 2x 3y m 0 3x 5y 2 m 0, 又由二次根式的非负性得 2x 3y m 0 3x 5y 2 m, ② 故 2x 3y m ③ ② ③, 得x 2y 2④ ① ④, 得2x 3y 201 由③, 故m 2x 3y 201.
1 1 8．有理数 x ， y 满足方程 x y 4 0 ，那么 2 3 3 2
x y 的值为
．
y
6 5 4 3 2 1 –1
1 1 1 1 解 : 原方程 x y 4 x y 1 2 2 3 3 –4 –3 –2 1 1 x y 4 的值为0 代数式 3 2 2 3 1 1 1 1 x y 4的左右两边也应为0 等价变形 x y 1 2 2 3 3 1 1 x y 1 0, 2 由题意有 3 1 1 x y 4 0 2 3 x 12, 解得 , x y 18. y 6