质心运动定理(理论力学)PPT精品文档

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则质心作匀速直线运动；
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则vc cont
②若开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。
以上结论，称为质心运动守恒定律。
③注意：
只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动， 且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静 止。
式中 mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标，
m为质点系的质量。
质心是质点系中特定的一个点， 质点系运动，质心也在运动。 可见，如果把质点系的质量都集中于质 心做为一个质点，那么此质点的动量 就等于质点系的动量，可见质心运动 具有特殊意义。
x C m m ix i, y C m m iy i, z C m m iz i （12-13）
如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦力， 则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要有外力才 能使其运动。
有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用 在质点系上的外力而与内力无关。
例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的； 汽 车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是内 力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞，通过传动机 构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力， 而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。
⑤质心与重心的比较： 若将上列各式等号右端的分子与 分母同乘以重力加速度g，就得到 质点系的重心坐标公式。
可见物体在重力场中运动 时，重心与质心相重合。但 应当注意，质心与重心是两 个不同的概念。
重心仅在质点系受到重力作用（即在地球表面附近）时才存在， 而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存 在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。
2、质心速度
rC
miri m
(12.10)
质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：
vCddrtC
mivi p mm
（12.14）
或
mvc mivi
p=m vc m ivi
（12.15）
式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。
由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量 时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系 的质量和质心的速度就足够了。
m2g
Rx Ry
y
c1 cc2 e
t
x
式中：x1=y1=0，是外壳与定子的质心c1的坐标； x2、y2是转子c2的坐标。
形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程完全相 似，因此质心运动定理也可叙述如下：
质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质量 等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用于 整个质点系上的外力的矢量和。
m a c m ia i F ie （12.17）
实际应用时，可采用投影形式。
p = mvc
3、质心加速度
将式（12.14）对时间求导，得：
aC
dvC dt
dpd(mvC)d( mivi)
dt dt
dt
m a cm ia iF ie ( 1 2 .1 7 )
二、质心运动定理
m a C m ia iF ie F R e （12.17）
上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用 于质点系外力的矢量和。 同时指出：内力不能改变质心的运动。
例3 设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图， 电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为 c1，在转子 的轴线上，转子的质量为 m2 。
由于制造不够精确，因而其 质心与转子轴线相距为 e，
试求当电动机以匀角速度ω 转动时，螺旋栓所受的水平 剪力和地面的铅垂反力。
解：（1）研究整个电动机 看作一个整体，受力分析如图：
③ 质心的作用 由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况
有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，所 以质心的概念是动力学的重要概念之一。
④质心的坐标 rc m miri (12.10)
计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即
x C m m ix i,y C m m iy i,z C m m iz i ( 1 2 .1 3 )
质心运动定理在坐标轴上投影：
m m
&x&c &y&c
F
e x
F
e y
m
&z&c
F ze
（12.18）
——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积 等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式 称为投影形式的质心运动定理。
三、质心运动守恒
m a c m ia i F ie
F
e R
r1r2......rn
n
1 nri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
②若质点系中各质点的质量不相等。则有：
rc
mi m
ri
（12.12）
ri 的系数表示第 i 个质点的质量在质点系的质量所占 的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质点系质 量中所占的比例的平均位置。
§12.3 质心运动定理
rc
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（特别是刚体）动力学中
具有重要地位。
rc
2.质心的力学意义
mi ri m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rcmr1m m m r2........... .m mrn
例如绕定轴转动的刚体，
p=m vc m ivi
设其角速度为w，质心C至转轴 的 距 离 为 e ， 则 由 式 （ 12.15 ） 可 知 ， 此刚体动量的大小为
p=mvc me
显然，当刚体质心位于转轴上时， 则不论转动角速度多大，其动量恒 等于零。
vCd d rtC
m ivi p (12.14) mm
y
m1g
m2g
c1 cc2 e
t
x
作用于质心上的外力有：
Rx Ry
重力m1g、m2g； 螺栓的约束反力Rx、Ry。
（2）建立静坐标如图：电动机质心C的方程为：
xc
m1x1 m2 x2 m1 m2
m2 x2 m1 m2
（1）
yc
m1 y1 m2 y2 m1 m2
m2 y2 m1 m2
m1g