线性规划及其对偶问题线性规划及其对偶问题

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（3）有一组约束条件，可用一组线性等式 或不等式来表示。 线性规划问题的一般形式为
max(min) f ( x1， x2， ， xn ) c1 x1 c2 x2 cn xn， )b1， a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ， )b2， a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( ， s. t. a x a x a x ( ， )bm， m1 1 m2 2 mn n ，xn 0． x1，x2，
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第三章 线性规划及其对偶问题

线性规划是最优化问题的一种特殊情形， 也是运筹学的一个重要分支，它的实质是 从多个变量中选取一组适当的变量作为Leabharlann Baidu， 使这组变量满足一组确定的线性式，而且 使一个线性目标函数达到最优（最大或最 小）。


任意的线性规划模型都可以转化为标准形 式： （1）若目标函数是求最大值的问题，这时 只需将所有目标函数系数乘以－1，求最大 值的问题就变成了求最小值的问题，即
max f ( X ) min[ f ( X )]
求其最优解后，把最优目标函数值反号即 得原问题的目标函数值。
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三、线性规划的解的概念和基本定理 考虑线性规划标准形式的约束条件 AX b，X 0

b 是 m维 其中，A 为 m n 矩阵，n m ， 向量。
min f ( X ) CX ， AX b， s. t. X 0，
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T C [ c ， c ， ， c ] X [ x1， x2， ， xn ] 其 1 2 n 中， ， ，

不失一般性，设
a11 a12 a1m B ［ P , P , , P ］ 1 2 m am1 am2 amm
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例3.1 将下列线性规划问题化为标准形式
max f ( X ) x1 2 x2 3x3， x1 x2 x3 7， x1 x2 x3 2， s. t 3x1 x2 2 x3 5， x ， x3为无约束． 1 x2 0，
问题丗 1、对于上述的矩阵A可以挑选出多少个基丠 2、统计这个量有什么用丠
答案丗1、乮n-m+1•j 2、我们如果知道这个量的情况下丆在编程 实现单纯形的过程中丆可以提前设定迭代次数 乮算法的力量就体现在这里乯
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线性规划的应用极为广泛，自1949年美国 数学家G. B. Dantzing提出一般线性规划问 题求解的方法——单纯形法之后，线性规 划无论在理论上、计算方法和开拓新的应 用领域中，都获得了长足的进步，线性规 划从解决技术问题的最优化设计到工业、 农业、商业、交通运输业、军事、经济计 划和管理决策等领域都有广泛的发展和应 用。本章主要从线性规划的基本概念、数 学模型、单纯形法、对偶理论、灵敏度分 析及运输问题等方面进行介绍。
min f ( x1， x2， ，xn ) c1 x1 c2 x2 cn xn， a11 x1 a12 x2 a1n xn b1， a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2， s. t. a x a x a x b ， m2 2 mn n m m1 1 x2， ， xn 0， x1，
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假定增广矩阵 ［ A, b］ 的秩=矩阵 A 的秩 m 把矩阵 A 的列进行可能的重新排列， 使 A 。这里B为 m m 矩阵，且 ［B, N］ 有逆矩阵存在，即 | B | 0 ，称B为该线性 规划问题的一个基。
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或简写为
n
min f ( X ) c j x j，
j 1
n 2 ， m， aij x j bi ， i 1，， s. t. j 1 x 0 ， 2， ，n． j 1， j
a11 a 21 A am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n ［P P2， ， Pn］ 1， amn
T
b [b1， b2， ， bn ]
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（2）若约束条件为不等式，这里有两种情 况：一种是“ 况：一种是 “≤”不等式，则可在“ 不等式，则可在“≤”不 等式的左端加入一个非负的新变量（叫松 驰变量），把不等式变为等式；另一种是 “≥”不等式，则可在 不等式，则可在“ “≥”不等式的左端 减去一个非负松驰变量（也叫剩余变量）， 把不等式变为等式。松驰变量在目标函数 中对应的系数为零。 （3）若存在取值无约束的变量 x k，可令 x ，其中 x 0 。 xk xk xk k k ，
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满足非负约束条件 X 0（基解的非零分量 都 0 ）的基解称为基可行解。对应于基可 行解的基称为可行基。基可行解的非零分 量个数小于 m 时，称为退化解。

2 ，m) 为基向量，与基向量 称 Pj ( j 1，， 2 ， m) 称为基变量， 对应的变量 x j ( j 1，， T 记为 X B ，其余的变量称为 ［x1， x2， ， xm］ T X ［ x ， x ， ， x ］ 非基变量，记为 N 。 m 1 m 2 n 令 n m 个非基变量均为0，并用高斯消元 x2 ， xm， 0， ， 0]T 法，可得一个解 X [XBT，XNT ]T [x1，， 称 X 为该约束方程组的基解。其中，X B B 1b
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解 将目标函数变为 min[ f ( X )] ，令 x3 x4 x5 x5 0，在第一个约束不等一个不 其中 x4， 等式中加入松驰变量 x 6 ，在第二个约束不 等式中减去剩余变量 x 7 ，则可得标准形式
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这里，目标函数中的系数 c1 , c 2 , , c n 叫做 目标函数系数或价值系数，约束条件中的 常数 b1， b2， ， bm 叫做资源系数，约束条件 2 ， m； j 1，， 2 ， n) 叫 中的系数 aij (i 1，， 做约束系数或技术系数。
min[ f ( X )] x1 2 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7， x1 x2 ( x4 x5 ) x6 7， x1 x2 ( x4 x5 ) x7 2， s. t 3 x1 x2 2( x4 x5 ) 5， x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0．
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§3.1 线性规划数学模型基本理论 一、线性规划的数学模型 满足以下三个条件的数学模型称为线性规 划的数学模型： T [ x , x , , x ] （1）每一个问题都用一组决策变量 1 2 n 表示某一方案；每一组值就代表一个具体 方案。 （2）有一个目标函数，可用决策变量的线 性函数来表示，按问题的不同，要求目标 函数实现最大化或最小化。
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二、线性规划问题的标准形式 所谓线性规划问题的标准形式，是指目标 函数要求，所有约束条件都是等式约束， 且所有决策定量都是非负的，即
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可以规定各约束条件中的资源系数 ， bi 0(i 1 ， 2， n) 否则等式两端乘以“ 否则等式两端乘以“－1”。 线性规划问题的矩阵表示为