《复变函数》(西安交大)习题解答--第5章习题
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第五章习题
1．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1）
2
11
)(+z z ； 2）3z z sin ； 3）1123+--z z z ； 4）z z )ln(1+；
5）))((z e z z π++112； 6）1
1
-z e
； 7）)
(112-z e z 解 1）
211)(+z z =2
21
)()(i z i z z +-，所以0=z 为一级极点，i z ±=为二级极点．
2）显然0=z 是
3
z z
sin 的奇点，又在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式为 3
z z sin = -+-!!5312
2z z z
，+∞<<||z 0 所以0=z 为二级极点．
3）
11
23+--z z z =
2
111
)
)((-+z z 所以1-=z 为一级极点，2=z 为二级极点．
4）显然0=z 是
z
z )
ln(1+的孤立奇点． 又 110
=+→z
z z )
ln(lim
， 所以0=z 为可去奇点． 5）令0112
=++))((z
e z π，解之得),,,()( 21012±±=+=k i k z k ，
因为),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是z
e z z )
)((π++112的零点，所以
),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是
)
)((z
e z z
π++112的极点，又 10
0112≠'
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++=k
z z z z e z ))((π，),,,( 321±±=k
所以),,,()( 32112±±=+=k i k z k 为z
e z z )
)((π++112的一级零点，从而为
)
)((z
e z z
π++112的一级极点． 20
010
≠'
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++=z z z z e i z ))((π，所以i z =0是
z
e i z z )
)((π++1的一级零点，从而是 =++-z e i z i z z ))(()(π1z e z z ))((π++112的二级零点，故i z =0是)
)((z
e z z
π++112的二级极点．
同理，i z -=-1也是
)
)((z e z z
π++112的二级极点．
6）1=z 是函数1
1-z e 的孤立奇点，又1
1-z e
在1=z 的去心邻域内的洛朗展开式为
1
1-z e
=
∑∞
=-011
n n
z n )
(!，+∞<-<||10z 所以1=z 为1
1-z e
的本性奇点．
7） 因为),,,( 2102±±==k i k z k π是)(12
-z
e z 的零点，所以i k z k π2=
),,,( 210±±=k 是
)
(11
2-z e z 的极点，又
10
因为[]012
≠'
-=k
z z z
e z )
(，),,,( 321±±±=k ，所以i k z k π2=
),,,( 321±±±=k 是)(12-z e z 的一级零点，从而是
)
(11
2-z
e z 的一级极点． 2
因为[
]010
≠'
-=z z z
e )
(，所以00=z 是)(1-z e 的一级零点，从而是
)(12-z e z 的三级零点，故00=z 是
)
(11
2-z
e z 的三级极点．
6．设函数)(z ϕ与)(z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数 1）⋅)(z ϕ)(z ψ； 2）
)
()
(z z ψϕ； 3）+)(z ϕ)(z ψ
在a z =处各有什么性质．
解 若函数)(z ϕ与)(z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点，则
)(z ϕ=
)()(z a z m 1
1ϕ-，)(z ψ=)()(z a z n
11
ψ-，其中)(z 1ϕ、)(z 1ψ都在a z =的邻域内解析，且01≠)(a ϕ、01≠)(a ψ．
1）⋅)(z ϕ)(z ψ=
)()
(z a z n
m 11
ϕ+-)(z 1ψ 其中)()(z z 11ψϕ⋅在a z =的邻域内解析，且⋅)(a 1ϕ01≠)(a ψ,所以a z =为的)(z ϕ
)(z ψ⋅的n m +级极点.
2）
)()
(z z ψϕ=)
()()(z z a z n m 111ψϕ⋅
-- 其中
)
()
(z z 11ψϕ在a z =的邻域内解析，且011≠)()(a a ψϕ,所以
当 m n >时, a z =为m n -级零点.
m n <时, a z =为n m -级极点.
m n =时, a z =为可去奇点.
3）+)(z ϕ)(z ψ=
)()(z a z m 1
1ϕ-+)()(z a z n
11
ψ-)(z F ∆ 若n m >,)(z F =
m
n m a z z a z z )
()
()()(--+-11ψϕ其分子在a z =的邻域内解析，且在
a z =时不为零,所以a z =为m 级极点.
若n m <,讨论同上知a z =为n 级极点.
若n m =,)(z F =
m
a z z z )
()
()(-+11ψϕ
当011≠+)()(a a ψϕ时, a z =为m 级极点.
当011=+)()(a a ψϕ时,视具体情况而定,设a z =为k 级零点:
若m k <,则a z =为+)(z ϕ)(z ψ的k m -级极点;若m k =,则a z =为可去奇点.