高阶导数的求解技巧
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把要求导的函数写成两项相乘的形式， 然后直接应用 Ｌｅｉｂｎｉｚ 公式：
ｎ
!ｋ
（ｕ·ｖ）（ｎ）＝ Ｃｎ ｕ（ｋ）ｖ（ｎ－ ｋ）， 其中 ｕ（０）＝ｕ，ｖ（０）＝ｖ。
ｋ＝０
出版社， ２００４ ［ ２］ 裴礼文著． 数学分析中典型问题与方法（ 二 版） ［Ｍ］． 高
等教育出版社， ２００６（ ４） ［ ３］ 吴 良 森 等． 数 学 分 析 学 习 指 导 书［Ｍ］． 高 等 教 育 出 版
张鸿
（ 哈尔滨师范大学阿城学院数学系 黑龙江阿城 １５０３０１）
微积分是数学分析的重点内容之一， 而求导数是这一部 分的基础。求高阶导数是求导问题的一个重点及难点， 解决 这一问题的关键是找到合适的求解方法， 这样才会达到事半 功倍， 触类旁通的效果。下面就详细阐述求高阶导数的方法：
一、按定义逐阶求导， 找出规律， 最后求出 ｙ（ｎ）（ｎ∈Ｎ＋）
二 、循 环 结 构
五、用 Ｔａｙｌｏｒ 展式求导数
若 函 数 ｆ（ｘ）按（ｘ－ ａ）的 幂 展 开 的 幂 级 数，则 必 是 函 数 ｆ（ｘ）的
Ｔａｙｌｏｒ 展式：
∞
% ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｎ）（ａ） （ｘ－ ａ）ｎ ｎ ＝ ０ ｎ！ ∞
! 因此， 若得到展开式 ｆ（ｘ）＝ ａｎ（ｘ－ ａ）ｎ， 则知： ｆ（ｎ）（ａ）＝ａｎｎ！ ｎ＝０
故 ｆ（ｋ）（０）＝
２ｎ＋１
。
０
， ｋ＝２ｎ
本文对求高阶导数的方法作了系统的阐述与讲解， 愿对
这一问题的学习会有帮助。
参考文献：
［ １］ 华 东 师 范 大 学 数 学 系．数 学 分 析 （ 三 版 ） ［Ｍ］．高 等 教 育
循环结构， 又称重复结构， 即反复执行某一部分的操作， 循环结构是结构化程序设计的三种基本结构之一。以 Ｃ 语言 为例， 有以下几种构成循环的方法：
１／３ 的学生建议增加太极拳的教学课时以多学多练， 提高对太
极拳的熟练掌握水平。由此可见， 重视直观训练法在太极拳
教 学 中 的 应 用 是 可 行 的 。因 为 学 生 有 了 良 好 的 态 度 后 。势 必 产
生学习动机。又因为动机是行为的发端， 动机是在内在环境
刺 激— ——引 起 动 机 状 态 — ——产 生 动 机 行 为 — ——达 到 满 意 状
社， ２００４ ［责任编辑 莫海平］
四 、用 递 推 公 式 求 导
Ｃ 语言中循环的应用
当高阶导数无法直接求出时， 可考虑先求出导数的递推
公式。方法是先求出前几阶的导数关系， 然后设法将等式作
适当处理， 使两端同时求导便得到一般的递推关系。
例 ５．设 ｙ＝（ａｒｃｓｉｎｘ）２， （ １） 证明它满足方程：
当高阶导数不能一次求出时， 可先求出前几阶导数， 总结 归纳， 找出规律， 然后再用数学归纳法加以证明。
例 １．求 ｙ＝ｓｉｎｘ 与 ｙ＝ｃｏｓｘ 的各阶导数。
有些式子不易直接求高阶导数， 当拆项以后， 变成易于求
高阶导数的一些基本形式之和， 便立即可直接求导。在这里要
用到的基本形式主要有：
（ ｘｋ）（ｎ）＝ｋ（ｋ－ １）…（ｋ－ ｎ＋１）ｘｋ－ｎ（ｎ≤ｋ），
在许多问题中需要用到循环控制。例如， 要输入全校学生 成绩； 求若干个数之和； 迭代求根等， 几乎所有实用的程序都 包含循环。在循环算法中， 穷举和迭代是两类具有代表性的基 本应用。
（ 一） 穷举。穷举是一种重复型算法。它的基本思想是， 对 问题的所有可能状态一一测试， 直到找到解或将全部可能状 态都测试为止。
ｘｆ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎｆｎ（ｘ）－ （１－ ｘ２）ｆ（ｎ＋２）（ｘ）＋２ｎｘｙ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎ（ｎ－ １）ｆ（ｎ）（ｘ）＝０
（ ２） 求 ｆ（ｎ）（０）。
解： 由 ｆ′（ｘ）＝２ ａｒｃｓｉｎｘ ， 即（ １－ ｘ２） ｆ′２（ｘ）＝４ｆ（ｘ）
（ １）
"１－
２
ｘ
对（ １） 式两端同时求导， 并整理： － ｘｆ′（ｘ）＋（１－ ｘ２）ｆ″（ｘ）＝２ （ ２）
从而 ｆ（２ｋ＋１）（０）＝０（ｋ＝０，１，２，…），
ｋ－ １
# ｆ（２ｋ）（０）＝（ ２ｋ－ ２） ２（２ｋ－ ４）２…２２·２＝（ （２ｋ－ ２ｉ）２）·２ ｉ＝１
ｋ－ １
$ ＝２２ｋ－１（ （ｋ－ ｉ））２＝２２ｋ－１（（ｋ－ １）！ ）２ （ｋ＝１，２，…） ｉ＝１
类似于例 ５ 可解决： 若 ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ， 求 ｆ（ｎ）（０）。
态 — — — 不 满 意 可 再 引 起 新 动 机 。 直 观 教 学 法 的 最 大 特 点 就 是
生动和可控制的画面以及精练的语言。这样大大激发学生学
习兴趣 ， 可使学生的心情舒畅、精神振奋、课堂气氛活跃， 使学
生始终处在愉快的太极拳运动中， 从而较为精确掌握太极拳
这一美妙的运动。
三 、结 论 与 建 议
当 ｘ＝０ 时， 由左右导数定义可求得： ｆ′＋（ ０） ＝ｆ′－（ ０） ＝ｆ′（ ０） ＝
０， ｆ（ｎ）（ ０） （ ｎ≥２） 不存在， 故
$&２ｘ，ｘ＞０
ｆ′（ ｘ） ＝ %&&０，ｘ＝０ ，
&
－&&
’
２ｘ，
ｘ＜０
(&２，ｘ＞０
ｆ″（ ｘ）
＝
不 &&
%
存
在
，ｘ＝０
，
&
&
－&
’
２，
ｘ＜０
#０，ｘ≠０
应用 Ｌｅｉｂｎｉｚ 公式对（ ２） 式两端同时求 ｎ 阶导数， 并整理得：
ｘｆ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎｆ（ｎ）（ｘ）－ （１－ ｘ２）ｆ（ｎ＋２）（ｘ）＋２ｎｘｆ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎ（ｎ－ １）ｆ（ｎ）（ｘ）＝０ （ ３）
在（ １） （ ２） （ ３） 式中， 令 ｘ＝０ 得： ｆ′（０）＝０，ｆ″（０）＝０，ｆ（ｎ＋２）（０）＝ｎ２ｆ（ｎ）（０）．
［责任编辑 门彦阁］
提示： （ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ ｎ !）， （ ｃｏｓｘ） （ｎ）＝ｃｏｓ（ｘ＋ ｎ !）
２
２
#ｘ２，ｘ≥０
例 ２．研究函数 ｆ（ｘ）＝
的高阶导数。
－ ｘ２，ｘ＜０
解： 当 ｘ＞０ 时， ｆ′（ ｘ） ＝２ｘ， ｆ″（ ｘ） ＝２， ｆ（ｋ）ｘ＝０（ｋ≥３）；
当 ｘ＜０ 时， ｆ′（ ｘ） ＝－ ２ｘ， ｆ″（ ｘ） ＝－ ２， ｆ（ｋ）ｘ＝０（ｋ≥３）；
ｆ（ｎ）（ ｘ） ＝
（ ｎ≥３） 。
不 存 在 ，ｘ＝０
类 似 于 例 ２ 可 解 决 ： 研 究 函 数 ｆ（ ｘ） ＝｜ｘ３｜在 ｘ＝０ 处 的 各 阶
导数。
１
１
例Leabharlann Baidu
３．证明 ： （ ｘｎ－１ｅ ｘ
）
（ｎ）＝
（－ １）ｎ ｘｎ＋１
ｅｘ
（ｎ∈Ｎ＋）
证明： 当 ｎ＝１， ２ 时显然成立。
假设当 ｎ＝ｋ－ １ 时也成立， 下证 ｎ＝ｋ＋１ 时也成立：
（ ２） ｙ＝ｓｉｎａｘｓｉｂｘ，
（
３）
ｙ＝
ｘ２＋ｘ＋１ ｘ２－ ５ｘ＋６
提示： （ １） 先降次： ｙ＝（ １－ ｃｏｓ２ｘ ）３＋（ １－ ｃｏｓ２ｘ ）３＝ ５ ＋ ３ ｃｏｓ４ｘ
２
２
８８
（ ２） 先积化和差， 再利用公式即可。
（ ３） 先分项： ｙ＝１－
７ ｘ－ ２
＋
１３ ｘ－ ３
１９０
三 、直 接 使 用 公 式
１
１
（ ｘｋｅ ｘ ） （ｋ＋１）＝（（ ｘｋｅ ｘ ） ′）
１
１
＝（ ｋｘｋ－１ｅ ｘ － ｘｋ－２ｅ ｘ ） （ｋ）
１
１
＝（ ｋｘｋ－１ｅ ｘ ）（ｋ）－ （（ｘｋ－２ｅ ｘ ） ｋ－１）′
再利用 ｎ＝ｋ－ １ 与 ｎ＝ｋ 已有的结果代入整理即为所求。
二 、先 拆 项 再 求 导
高阶导数的求解技巧
吴亚明 孙晓霞
（ 绥化学院计算机科学与技术系 黑龙江绥化 １５２０６１）
一、引言
Ｃ 语言是近年来在国内外得到迅速推广应用的一种计算 机语言， 它功能丰富， 数据结构丰富， 表达能力强，使用灵活方 便， 目标程序效率高， 可移植性好应用面广， 集高级语言和低 级语言的优点于一身， 因此特别适合于编写系统软件。但由于 Ｃ 语言牵涉到的概念比较复杂， 规则繁多， 所以很多初学者感 到困难， 尤其在循环结构、函数递归调用、数组的理解与使用、 指针的定义和使用上更是一头雾水。下面我就结合在教学和 实践中切身体会和经验， 主要谈谈循环在 Ｃ 语言中的应用。
例 ６．求 ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ 在 ｘ＝０ 处的各阶导数。
∞
! 解
：
ｆ′＝
１ １＋ｘ２
＝ （－ １）ｎｘ２ｎ（｜ｘ｜＜１），
ｎ＝０
再将其两端从
０
到
ｘ 积分
可得：
∞
! ｆ（ ｘ） ＝ （－ １）ｎ ｘ２ｎ＋１ （｜ｘ｜＜１），
ｎ＝０
２ｎ＋１
&（－ １）ｎ （２ｎ＋１）！ ＝（－ １）ｎ（２ｎ）！ ，ｋ＝２ｎ＋１
（ １） 用 ｇｏｔｏ 语句和 ｉｆ 语句构成循环； （ ２） 用 ｗｈｉｌｅ 语句； （ ３） 用 ｄｏ－ ｗｈｉｌｅ 语句； （ ４） 用 ｆｏｒ 语句； 结构化 程序 设 计 方 法 主 张 限 制 使 用 ｇｏｔｏ 语 句 ， 因 为 滥 用 ｇｏｔｏ 语句将使程序流程无规律、可读性差。
三 、循 环 的 使 用
１． 直 观 教 学 法 在 高 校 太 极 拳 教 学 中 具 有 很 好 的 教 学 效 果。
２．高校要 重视 太极 拳直 观训 练运 用， 在 场地 、设施 诸方 面 给予倾斜， 以满足太极拳教学的需求， 为发展我国传统武术文 化尽一份力。
参考文献： ［１］王瑞元．运动生理学［Ｍ］．北京： 人民体育出版社， ２００２ ［２］田麦久．运动训练学［Ｍ］．北京： 人民体育出版社， ２００２
例： 搬砖问题 ３６ 快砖， ３６ 人搬； 男搬 ４， 女搬 ３， 两个小孩抬一砖。要求 一次全搬完， 问男、女、小孩各若干？
１９１
（ ａｘ）（ｎ）＝ａｘ（ｌｎａ）ｎ+（ｅｘ）（ｎ）＝ｅｘ，
（ｌｎｘ）（ｎ）＝（－ １）ｎ－１（ｎ－ １）！ ｘ－ｎ，
（ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ ｎ !）， （ｃｏｓｘ）（ｎ）＝ｃｏｓ（ｘ＋ ｎ !）
２
２
特别注意： , ｆ（ａｘ＋ｂ） - （ｎ）＝ａｎｆ（ｎ）（ａｘ＋ｂ）中不要丢掉因子 ａｎ。
例 ４．计算 ｙ（ｎ）： （ １） ｙ＝ｓｉｎ６ｘ＋ｃｏｓ６ｘ，
苦训练， 才能正确掌握太极拳的技术和动作要领。
组别 实验班
表 ２ 实验后常规调查结果
对太极拳 学习态度
对教学建议
６７％喜 欢
３０％增 课 时 多 学
课下经常 练习情况
３０％
对照班 ４５％喜欢
１５％增 课 时 多 学
１０％
从表 ２ 可以看出， 实验组和对照组学生对太极拳的学习 态度有明显不同。实验组学生对学习太极拳兴趣大， 有接近
ｎ
!ｋ
（ｕ·ｖ）（ｎ）＝ Ｃｎ ｕ（ｋ）ｖ（ｎ－ ｋ）， 其中 ｕ（０）＝ｕ，ｖ（０）＝ｖ。
ｋ＝０
出版社， ２００４ ［ ２］ 裴礼文著． 数学分析中典型问题与方法（ 二 版） ［Ｍ］． 高
等教育出版社， ２００６（ ４） ［ ３］ 吴 良 森 等． 数 学 分 析 学 习 指 导 书［Ｍ］． 高 等 教 育 出 版
张鸿
（ 哈尔滨师范大学阿城学院数学系 黑龙江阿城 １５０３０１）
微积分是数学分析的重点内容之一， 而求导数是这一部 分的基础。求高阶导数是求导问题的一个重点及难点， 解决 这一问题的关键是找到合适的求解方法， 这样才会达到事半 功倍， 触类旁通的效果。下面就详细阐述求高阶导数的方法：
一、按定义逐阶求导， 找出规律， 最后求出 ｙ（ｎ）（ｎ∈Ｎ＋）
二 、循 环 结 构
五、用 Ｔａｙｌｏｒ 展式求导数
若 函 数 ｆ（ｘ）按（ｘ－ ａ）的 幂 展 开 的 幂 级 数，则 必 是 函 数 ｆ（ｘ）的
Ｔａｙｌｏｒ 展式：
∞
% ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｎ）（ａ） （ｘ－ ａ）ｎ ｎ ＝ ０ ｎ！ ∞
! 因此， 若得到展开式 ｆ（ｘ）＝ ａｎ（ｘ－ ａ）ｎ， 则知： ｆ（ｎ）（ａ）＝ａｎｎ！ ｎ＝０
故 ｆ（ｋ）（０）＝
２ｎ＋１
。
０
， ｋ＝２ｎ
本文对求高阶导数的方法作了系统的阐述与讲解， 愿对
这一问题的学习会有帮助。
参考文献：
［ １］ 华 东 师 范 大 学 数 学 系．数 学 分 析 （ 三 版 ） ［Ｍ］．高 等 教 育
循环结构， 又称重复结构， 即反复执行某一部分的操作， 循环结构是结构化程序设计的三种基本结构之一。以 Ｃ 语言 为例， 有以下几种构成循环的方法：
１／３ 的学生建议增加太极拳的教学课时以多学多练， 提高对太
极拳的熟练掌握水平。由此可见， 重视直观训练法在太极拳
教 学 中 的 应 用 是 可 行 的 。因 为 学 生 有 了 良 好 的 态 度 后 。势 必 产
生学习动机。又因为动机是行为的发端， 动机是在内在环境
刺 激— ——引 起 动 机 状 态 — ——产 生 动 机 行 为 — ——达 到 满 意 状
社， ２００４ ［责任编辑 莫海平］
四 、用 递 推 公 式 求 导
Ｃ 语言中循环的应用
当高阶导数无法直接求出时， 可考虑先求出导数的递推
公式。方法是先求出前几阶的导数关系， 然后设法将等式作
适当处理， 使两端同时求导便得到一般的递推关系。
例 ５．设 ｙ＝（ａｒｃｓｉｎｘ）２， （ １） 证明它满足方程：
当高阶导数不能一次求出时， 可先求出前几阶导数， 总结 归纳， 找出规律， 然后再用数学归纳法加以证明。
例 １．求 ｙ＝ｓｉｎｘ 与 ｙ＝ｃｏｓｘ 的各阶导数。
有些式子不易直接求高阶导数， 当拆项以后， 变成易于求
高阶导数的一些基本形式之和， 便立即可直接求导。在这里要
用到的基本形式主要有：
（ ｘｋ）（ｎ）＝ｋ（ｋ－ １）…（ｋ－ ｎ＋１）ｘｋ－ｎ（ｎ≤ｋ），
在许多问题中需要用到循环控制。例如， 要输入全校学生 成绩； 求若干个数之和； 迭代求根等， 几乎所有实用的程序都 包含循环。在循环算法中， 穷举和迭代是两类具有代表性的基 本应用。
（ 一） 穷举。穷举是一种重复型算法。它的基本思想是， 对 问题的所有可能状态一一测试， 直到找到解或将全部可能状 态都测试为止。
ｘｆ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎｆｎ（ｘ）－ （１－ ｘ２）ｆ（ｎ＋２）（ｘ）＋２ｎｘｙ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎ（ｎ－ １）ｆ（ｎ）（ｘ）＝０
（ ２） 求 ｆ（ｎ）（０）。
解： 由 ｆ′（ｘ）＝２ ａｒｃｓｉｎｘ ， 即（ １－ ｘ２） ｆ′２（ｘ）＝４ｆ（ｘ）
（ １）
"１－
２
ｘ
对（ １） 式两端同时求导， 并整理： － ｘｆ′（ｘ）＋（１－ ｘ２）ｆ″（ｘ）＝２ （ ２）
从而 ｆ（２ｋ＋１）（０）＝０（ｋ＝０，１，２，…），
ｋ－ １
# ｆ（２ｋ）（０）＝（ ２ｋ－ ２） ２（２ｋ－ ４）２…２２·２＝（ （２ｋ－ ２ｉ）２）·２ ｉ＝１
ｋ－ １
$ ＝２２ｋ－１（ （ｋ－ ｉ））２＝２２ｋ－１（（ｋ－ １）！ ）２ （ｋ＝１，２，…） ｉ＝１
类似于例 ５ 可解决： 若 ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ， 求 ｆ（ｎ）（０）。
态 — — — 不 满 意 可 再 引 起 新 动 机 。 直 观 教 学 法 的 最 大 特 点 就 是
生动和可控制的画面以及精练的语言。这样大大激发学生学
习兴趣 ， 可使学生的心情舒畅、精神振奋、课堂气氛活跃， 使学
生始终处在愉快的太极拳运动中， 从而较为精确掌握太极拳
这一美妙的运动。
三 、结 论 与 建 议
当 ｘ＝０ 时， 由左右导数定义可求得： ｆ′＋（ ０） ＝ｆ′－（ ０） ＝ｆ′（ ０） ＝
０， ｆ（ｎ）（ ０） （ ｎ≥２） 不存在， 故
$&２ｘ，ｘ＞０
ｆ′（ ｘ） ＝ %&&０，ｘ＝０ ，
&
－&&
’
２ｘ，
ｘ＜０
(&２，ｘ＞０
ｆ″（ ｘ）
＝
不 &&
%
存
在
，ｘ＝０
，
&
&
－&
’
２，
ｘ＜０
#０，ｘ≠０
应用 Ｌｅｉｂｎｉｚ 公式对（ ２） 式两端同时求 ｎ 阶导数， 并整理得：
ｘｆ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎｆ（ｎ）（ｘ）－ （１－ ｘ２）ｆ（ｎ＋２）（ｘ）＋２ｎｘｆ（ｎ＋１）（ｘ）＋ｎ（ｎ－ １）ｆ（ｎ）（ｘ）＝０ （ ３）
在（ １） （ ２） （ ３） 式中， 令 ｘ＝０ 得： ｆ′（０）＝０，ｆ″（０）＝０，ｆ（ｎ＋２）（０）＝ｎ２ｆ（ｎ）（０）．
［责任编辑 门彦阁］
提示： （ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ ｎ !）， （ ｃｏｓｘ） （ｎ）＝ｃｏｓ（ｘ＋ ｎ !）
２
２
#ｘ２，ｘ≥０
例 ２．研究函数 ｆ（ｘ）＝
的高阶导数。
－ ｘ２，ｘ＜０
解： 当 ｘ＞０ 时， ｆ′（ ｘ） ＝２ｘ， ｆ″（ ｘ） ＝２， ｆ（ｋ）ｘ＝０（ｋ≥３）；
当 ｘ＜０ 时， ｆ′（ ｘ） ＝－ ２ｘ， ｆ″（ ｘ） ＝－ ２， ｆ（ｋ）ｘ＝０（ｋ≥３）；
ｆ（ｎ）（ ｘ） ＝
（ ｎ≥３） 。
不 存 在 ，ｘ＝０
类 似 于 例 ２ 可 解 决 ： 研 究 函 数 ｆ（ ｘ） ＝｜ｘ３｜在 ｘ＝０ 处 的 各 阶
导数。
１
１
例Leabharlann Baidu
３．证明 ： （ ｘｎ－１ｅ ｘ
）
（ｎ）＝
（－ １）ｎ ｘｎ＋１
ｅｘ
（ｎ∈Ｎ＋）
证明： 当 ｎ＝１， ２ 时显然成立。
假设当 ｎ＝ｋ－ １ 时也成立， 下证 ｎ＝ｋ＋１ 时也成立：
（ ２） ｙ＝ｓｉｎａｘｓｉｂｘ，
（
３）
ｙ＝
ｘ２＋ｘ＋１ ｘ２－ ５ｘ＋６
提示： （ １） 先降次： ｙ＝（ １－ ｃｏｓ２ｘ ）３＋（ １－ ｃｏｓ２ｘ ）３＝ ５ ＋ ３ ｃｏｓ４ｘ
２
２
８８
（ ２） 先积化和差， 再利用公式即可。
（ ３） 先分项： ｙ＝１－
７ ｘ－ ２
＋
１３ ｘ－ ３
１９０
三 、直 接 使 用 公 式
１
１
（ ｘｋｅ ｘ ） （ｋ＋１）＝（（ ｘｋｅ ｘ ） ′）
１
１
＝（ ｋｘｋ－１ｅ ｘ － ｘｋ－２ｅ ｘ ） （ｋ）
１
１
＝（ ｋｘｋ－１ｅ ｘ ）（ｋ）－ （（ｘｋ－２ｅ ｘ ） ｋ－１）′
再利用 ｎ＝ｋ－ １ 与 ｎ＝ｋ 已有的结果代入整理即为所求。
二 、先 拆 项 再 求 导
高阶导数的求解技巧
吴亚明 孙晓霞
（ 绥化学院计算机科学与技术系 黑龙江绥化 １５２０６１）
一、引言
Ｃ 语言是近年来在国内外得到迅速推广应用的一种计算 机语言， 它功能丰富， 数据结构丰富， 表达能力强，使用灵活方 便， 目标程序效率高， 可移植性好应用面广， 集高级语言和低 级语言的优点于一身， 因此特别适合于编写系统软件。但由于 Ｃ 语言牵涉到的概念比较复杂， 规则繁多， 所以很多初学者感 到困难， 尤其在循环结构、函数递归调用、数组的理解与使用、 指针的定义和使用上更是一头雾水。下面我就结合在教学和 实践中切身体会和经验， 主要谈谈循环在 Ｃ 语言中的应用。
例 ６．求 ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ 在 ｘ＝０ 处的各阶导数。
∞
! 解
：
ｆ′＝
１ １＋ｘ２
＝ （－ １）ｎｘ２ｎ（｜ｘ｜＜１），
ｎ＝０
再将其两端从
０
到
ｘ 积分
可得：
∞
! ｆ（ ｘ） ＝ （－ １）ｎ ｘ２ｎ＋１ （｜ｘ｜＜１），
ｎ＝０
２ｎ＋１
&（－ １）ｎ （２ｎ＋１）！ ＝（－ １）ｎ（２ｎ）！ ，ｋ＝２ｎ＋１
（ １） 用 ｇｏｔｏ 语句和 ｉｆ 语句构成循环； （ ２） 用 ｗｈｉｌｅ 语句； （ ３） 用 ｄｏ－ ｗｈｉｌｅ 语句； （ ４） 用 ｆｏｒ 语句； 结构化 程序 设 计 方 法 主 张 限 制 使 用 ｇｏｔｏ 语 句 ， 因 为 滥 用 ｇｏｔｏ 语句将使程序流程无规律、可读性差。
三 、循 环 的 使 用
１． 直 观 教 学 法 在 高 校 太 极 拳 教 学 中 具 有 很 好 的 教 学 效 果。
２．高校要 重视 太极 拳直 观训 练运 用， 在 场地 、设施 诸方 面 给予倾斜， 以满足太极拳教学的需求， 为发展我国传统武术文 化尽一份力。
参考文献： ［１］王瑞元．运动生理学［Ｍ］．北京： 人民体育出版社， ２００２ ［２］田麦久．运动训练学［Ｍ］．北京： 人民体育出版社， ２００２
例： 搬砖问题 ３６ 快砖， ３６ 人搬； 男搬 ４， 女搬 ３， 两个小孩抬一砖。要求 一次全搬完， 问男、女、小孩各若干？
１９１
（ ａｘ）（ｎ）＝ａｘ（ｌｎａ）ｎ+（ｅｘ）（ｎ）＝ｅｘ，
（ｌｎｘ）（ｎ）＝（－ １）ｎ－１（ｎ－ １）！ ｘ－ｎ，
（ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ ｎ !）， （ｃｏｓｘ）（ｎ）＝ｃｏｓ（ｘ＋ ｎ !）
２
２
特别注意： , ｆ（ａｘ＋ｂ） - （ｎ）＝ａｎｆ（ｎ）（ａｘ＋ｂ）中不要丢掉因子 ａｎ。
例 ４．计算 ｙ（ｎ）： （ １） ｙ＝ｓｉｎ６ｘ＋ｃｏｓ６ｘ，
苦训练， 才能正确掌握太极拳的技术和动作要领。
组别 实验班
表 ２ 实验后常规调查结果
对太极拳 学习态度
对教学建议
６７％喜 欢
３０％增 课 时 多 学
课下经常 练习情况
３０％
对照班 ４５％喜欢
１５％增 课 时 多 学
１０％
从表 ２ 可以看出， 实验组和对照组学生对太极拳的学习 态度有明显不同。实验组学生对学习太极拳兴趣大， 有接近