非线性方程求根

实验七 非线性方程求根

实验7.1（迭代法、初始值与收敛性）

实验目的：初步认识非线性问题的迭代法与线性问题迭代法的差别，探讨迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。

问题提出：迭代法是求解非线性方程的基本思想方法，与线性方程的情况一样，其构造方法可以有多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。

实验内容：考虑一个简单的代数方程

012=--x x

针对上述方程，可以构造多种迭代法，如

)1.7(1

2

1-=+n n x x

)2.7(111n

n x x +

=+

)3.7(1

1+=+n n x x

在实轴上取初始值x 0，请分别用迭代（7.1）-（7.3）作实验，记录各算法的迭代过程。

实验要求：

（1）取定某个初始值，分别计算（7.1）-（7.3）迭代结果，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验。请自选设计一种比较形象的记录方式（如利用MATLAB 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系。

（2）对三个迭代法中的某个，取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析迭代法对不同的初值是否有差异？

（3）线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。

实验过程： 第一问： 针对迭代函数

11n n x x +=-

程序

disp(' 请输入初始迭代值为') x=[]; a=[];

b=[];

x(1)=input('');

for i=2:30

x(i)=x(i-1)^2-1;

end

for i=2:30

a(i-1)=x(i-1);

b(i)=x(i);

end

a

b

i=1:30;

plot(i,x)

title('x(n+1)=x(n)^2-1')

数值实验结果及分析：

选择初始值为1时，每次迭代的波动情况如下：

针对迭代函数

111n n

x x +=+

disp('请输入迭代的初始值') float x=[]; a=[]; b=[];

x(1)=input(''); for i=2:30

x(i)=1+1/x(i-1); end for i=2:30 a(i-1)=x(i-1); b(i)=x(i); end a b i=1:30; plot(i,x)

title('x(n+1)=x(n)^2-1')

数值实验结果及分析：

选择初始值为1时，每次迭代的波动情况如下：

每次的迭代函数值为：

针对迭代函数

1n x +=

disp('请输入迭代的初始值') double x=[]; a=[]; b=[];

x(1)=input(''); for i=2:30

x(i)=sqrt(x(i-1)+1); end for i=2:30 a(i-1)=x(i-1); b(i)=x(i); end a b i=1:30; plot(i,x)

title('x(n+1)=sqrt(x(n)+1)')

数值实验结果及分析：

选择初始值为1时，每次迭代的波动情况如下：

讨论

由上面的比较结果可以看到，无论取什么初始值，迭代法211n n x x +=-所得到的解是发散的，并且随着初始值选取的不同，发散的程度将会呈现指数型的增长，表明这种迭代法是没有意义的。

而后面两种迭代法111n n

x x +=+

和1n x +=说明

利用这两种方法来解此方程是可行的。并且可以看到，二者趋近于解的过程并不

相同， 111n n

x x +=+

的前期迭代过程中是很不稳定的，而迭代法1n x +=更平

缓地方式趋近于方程的解。为三种迭代方法中最优。

第二问：

程序

迭代法111n n

x x +=+

取初始值1——5，步长为0.5，迭代30次的图像：

for j=1:9

disp('请输入初始值：') x=[];

x(1)=input(''); for i=2:30

x(i)=1/x(i-1)+1; end

subplot(3,3,j) i=1:30; plot(i,x)

hold on end

数值实验结果及分析：

讨论

如上图所示，选取不同的初值，解随着迭代次数的增加会收敛到一个稳定值，说明运用此迭代法求解非线性方程组是可行的。选取初始值的不同，只会导致收敛速度的不同。这就提示我们在求解非线性方程的时候，需要选取合理的初始值，可以加快其收敛速度。

第三问：

线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题

综合课本上所学过的知识可以知道，线性方程组的迭代法和非线性方程的迭代法是有所差异的。线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。用迭代法求解线性方程组，收敛性取决于迭代系数矩阵的谱半径，若谱半径小于1，则无论从什么初始条件出发，线性方程组都是收敛的；若谱半径大于1，则方程组不收敛这些判断与初值的选取无关。

用迭代法求解线性方程的时候，迭代法的收敛性取决于迭代区间里面的迭代函数的一阶导数值。若在整个迭代区间里面对该迭代函数的一阶导数值小于一，这在这个区间里面任选一个初始迭代值，那么都可以最终收敛到函数的精确解。但是若在该区间里面该迭代函数的导数值不满足衡小于一的条件，则可能不收敛。但是这并不能保证从该区间的任何一个初始值开始迭代，都不能能到其收敛解。

实验总结：

通过本次试验的操作，针对同一个函数，运用了三种不同的方法进行迭代求解。通过具体的实践发现，针对方程的不同迭代格式，有的可以得到最终的收敛解，有的不能得到最后的收敛解。使得求线性方程的理论和技巧有了进一步的理解。求解非线性方程不仅与迭代格式有关，还与选取的初始值有关。实验提示我选择合适的初始值，可以加快迭代的过程。