风险管理42风险衡量解读
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Chapter4-2 风险衡量的数量方法
损失资料的收集与整理
本章 主要内容
损失资料的描述 风险衡量指标
损失频率与损失幅度的估算 获得损失分布的一般过程 年度总损失分布及随机模拟
1
四、损失频率与损失幅度的估测
（一）每年损失事故发生的次数 损失次数可使用二项分布、泊松分布等来估计。
1、用二项分布估测损失次数 假设n个风险单位均遭到同一风险的威胁。如果n 个风险单 位在一年中发生所述的风险事故的次数为X，且满足下列条 件：（1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，设 为p；（2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风 险单位发生同样风险事故（独立性）；（3）同一个风险单 位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为这 一概率为零。则X为一服从二项分布的随机变量，且分布律 为
（3）损失分布是N（81.19 ,32.95）， 损失值X大于100万的概率，即
P{X>100}=P{ X 81.19 >100 81.19}=P{ X 81.19 >0.57}
32.95
32.95
32.95
其中 x 是标准正态分布的分布函数，已编制成表可供查阅，经查，
0.57 0.7157
n大，p小，而乘积=np大小适中（0.1-10），二 项分布可用泊松分布来近似计算
Ckn pkqn-k
k e
k!
2、用泊松分布估测损失次数
设有众多风险单位，每一风险单位发生事故的概率相 同，每年估计平均发生λ次风险事故，则一年中发生致 损事故数X为一服从参数为λ的泊松分布，分布律为
PX k k e
例3；某地若干年间夏季出现暴雨共84次，每次暴雨以 一天计算，一个夏季（5~9月）共153天。表每次暴雨 造成的损失频率分布表，试估算下次暴雨的（1）期望 损失；（2）损失额落在什么区间的概率为95%；（3） 损失额大于100万的概率的多大？
（1）用损失资料的平均值去估计正态分布的数学期望
，因而下一次暴雨的期望损失是81.19万元。
7
10万份保单的观察结果
索赔次数 保单数
0 1 2 3 4 5 总保单数
88585 10577
779 54 4 1 100000
拟合频数
泊松分布 负二项分布
88411
88597
10890
10544
671
806
27
50
1
3
——
——
8
（二）每次事故的损失金额
风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能发生的 次数与其相应的概率都可以一一列举出来，但每次风险事 故所致的损失金额一般来说不能全部列举，它是连续型随 机变量，只可以在某一区间取值，只可以确定在某一区间 的概率，而不是某一特定值的概率。
k! k=0,1,2…
该分布的期望与标准差分别为和 。
e=2.71828，k可无限取值，不限制事故次数。
关键问题是通过损失资料获得λ的估值，例如一个车队 在过去的三年内共发生二次碰撞事故，即每年平均约 2/3次，则λ估值为2/3。
3、负二项分布
在事件A发生的概率为p的独立重复随机实验中，若 以X记A第k次出现时的试验次数，则X为随机变量，它可 能取的值为k,k+1,…，其X的概率分布为帕斯卡分布 （负二项分布）。
P{X
x}
C k 1 x+k 1
p
k
q
x
,
x
0,1, 2
Var( X
)
kq p2
6
负二项分布在保险业务中主要用来描述当承保风 险属于非同质时赔款的发生概率。
教材p156 例：观察10万份保单，按其在一年中的索赔次数
进行分组，见表。已知平均索赔次数为0.12318， 方差为0.125707，分别用泊松分布和负二项分布 来拟合索赔频数，看哪一种更适合。
n np(1 p)
2
意义:当n很大而p又不太小时,二项分布可用正态分布来近似.
关于二项分布的两个极限分布：
B.泊松定理
运用二项分布估测风险事故发生次数的概率时， 要求每个风险单位每年仅发生一次事故，而实际 上每一风险单位每年都有可能发生多次致损事故， 而且当发生风险事故的独立单位数n很大时，二 项分布的计算会很繁杂，因此：
估测每次事故的损失金额，我们主要利用正态分布、对 数正态分布等，计算出一次事故中损失金额可能取值的范 围及其概率。
1、用正态分布估测损失额
正态分布：指变量的频数或频率呈中间最多，两 端 逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。 从理论上说，若随机变量x的概率密度函数为：
f (x) 1 e(x)2 / 2 2
P{X
x}
C k 1 x 1
p
k
qБайду номын сангаас
x
k
,
x
k,k
1,
事实上，在第k次出现A的第x次贝努利试验中，最后 一次一定是A，而前x 1次中出现A的次数为k 1次，
由二项分布知其概率为Cxk11 p q k1 xk，再乘以最后一次
出现A的概率p，即得Nb(k, p)
令x k y,再用x替换y，可得：
E( X ) kq p
即P{x＞100}=1－0.7157=0.2843，所以损失值大于100万的概率为0.2843。
（2）由于标准差 S
故
n mi2 fi
n
mi
fi
2
i1
n
fi
i1
i1 n
i1
fi
n
mi2
i1 n
fi
2
x
fi
i1
S 644900 81.192 32.95 84
根据正态分布的特点 ，损失额落在（81.19－32.95×1.96，81.19+ 32.95×1.96 ）,即落在(16.61,145.78) 内的概率为95%。
PX k Cnk pkqnk , k 0,1, 2 n
其中q=1-p是标的一年中不发生事故的概率。
关于二项分布的两个极限分布：
A.棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量 (n 1,2,) ~ B(n, p)(0 p 1), n
则对任意x,有
lim P{ n np
x
x}
1
t2
e 2 dt (x).
2
则称x服从均数为μ，标准差为σ2的正态分布。
标准正态分布与正态分布的转换
标准正态分布：指均数为0，标准差为1的正 态分布。常称z 分布或u分布。
标准正态分布与正态分布的转换公式：
z X
即若x服从正态分布N（μ，σ2），则z就服 从均数为0，标准差为1的正态分布。
正态分布曲线下的面积
• μ±σ范围内的面积为68.27% • μ±1.96σ范围内的面积为95% • μ±2.58σ范围内的面积占99%
损失资料的收集与整理
本章 主要内容
损失资料的描述 风险衡量指标
损失频率与损失幅度的估算 获得损失分布的一般过程 年度总损失分布及随机模拟
1
四、损失频率与损失幅度的估测
（一）每年损失事故发生的次数 损失次数可使用二项分布、泊松分布等来估计。
1、用二项分布估测损失次数 假设n个风险单位均遭到同一风险的威胁。如果n 个风险单 位在一年中发生所述的风险事故的次数为X，且满足下列条 件：（1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，设 为p；（2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风 险单位发生同样风险事故（独立性）；（3）同一个风险单 位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为这 一概率为零。则X为一服从二项分布的随机变量，且分布律 为
（3）损失分布是N（81.19 ,32.95）， 损失值X大于100万的概率，即
P{X>100}=P{ X 81.19 >100 81.19}=P{ X 81.19 >0.57}
32.95
32.95
32.95
其中 x 是标准正态分布的分布函数，已编制成表可供查阅，经查，
0.57 0.7157
n大，p小，而乘积=np大小适中（0.1-10），二 项分布可用泊松分布来近似计算
Ckn pkqn-k
k e
k!
2、用泊松分布估测损失次数
设有众多风险单位，每一风险单位发生事故的概率相 同，每年估计平均发生λ次风险事故，则一年中发生致 损事故数X为一服从参数为λ的泊松分布，分布律为
PX k k e
例3；某地若干年间夏季出现暴雨共84次，每次暴雨以 一天计算，一个夏季（5~9月）共153天。表每次暴雨 造成的损失频率分布表，试估算下次暴雨的（1）期望 损失；（2）损失额落在什么区间的概率为95%；（3） 损失额大于100万的概率的多大？
（1）用损失资料的平均值去估计正态分布的数学期望
，因而下一次暴雨的期望损失是81.19万元。
7
10万份保单的观察结果
索赔次数 保单数
0 1 2 3 4 5 总保单数
88585 10577
779 54 4 1 100000
拟合频数
泊松分布 负二项分布
88411
88597
10890
10544
671
806
27
50
1
3
——
——
8
（二）每次事故的损失金额
风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能发生的 次数与其相应的概率都可以一一列举出来，但每次风险事 故所致的损失金额一般来说不能全部列举，它是连续型随 机变量，只可以在某一区间取值，只可以确定在某一区间 的概率，而不是某一特定值的概率。
k! k=0,1,2…
该分布的期望与标准差分别为和 。
e=2.71828，k可无限取值，不限制事故次数。
关键问题是通过损失资料获得λ的估值，例如一个车队 在过去的三年内共发生二次碰撞事故，即每年平均约 2/3次，则λ估值为2/3。
3、负二项分布
在事件A发生的概率为p的独立重复随机实验中，若 以X记A第k次出现时的试验次数，则X为随机变量，它可 能取的值为k,k+1,…，其X的概率分布为帕斯卡分布 （负二项分布）。
P{X
x}
C k 1 x+k 1
p
k
q
x
,
x
0,1, 2
Var( X
)
kq p2
6
负二项分布在保险业务中主要用来描述当承保风 险属于非同质时赔款的发生概率。
教材p156 例：观察10万份保单，按其在一年中的索赔次数
进行分组，见表。已知平均索赔次数为0.12318， 方差为0.125707，分别用泊松分布和负二项分布 来拟合索赔频数，看哪一种更适合。
n np(1 p)
2
意义:当n很大而p又不太小时,二项分布可用正态分布来近似.
关于二项分布的两个极限分布：
B.泊松定理
运用二项分布估测风险事故发生次数的概率时， 要求每个风险单位每年仅发生一次事故，而实际 上每一风险单位每年都有可能发生多次致损事故， 而且当发生风险事故的独立单位数n很大时，二 项分布的计算会很繁杂，因此：
估测每次事故的损失金额，我们主要利用正态分布、对 数正态分布等，计算出一次事故中损失金额可能取值的范 围及其概率。
1、用正态分布估测损失额
正态分布：指变量的频数或频率呈中间最多，两 端 逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。 从理论上说，若随机变量x的概率密度函数为：
f (x) 1 e(x)2 / 2 2
P{X
x}
C k 1 x 1
p
k
qБайду номын сангаас
x
k
,
x
k,k
1,
事实上，在第k次出现A的第x次贝努利试验中，最后 一次一定是A，而前x 1次中出现A的次数为k 1次，
由二项分布知其概率为Cxk11 p q k1 xk，再乘以最后一次
出现A的概率p，即得Nb(k, p)
令x k y,再用x替换y，可得：
E( X ) kq p
即P{x＞100}=1－0.7157=0.2843，所以损失值大于100万的概率为0.2843。
（2）由于标准差 S
故
n mi2 fi
n
mi
fi
2
i1
n
fi
i1
i1 n
i1
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n
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x
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S 644900 81.192 32.95 84
根据正态分布的特点 ，损失额落在（81.19－32.95×1.96，81.19+ 32.95×1.96 ）,即落在(16.61,145.78) 内的概率为95%。
PX k Cnk pkqnk , k 0,1, 2 n
其中q=1-p是标的一年中不发生事故的概率。
关于二项分布的两个极限分布：
A.棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量 (n 1,2,) ~ B(n, p)(0 p 1), n
则对任意x,有
lim P{ n np
x
x}
1
t2
e 2 dt (x).
2
则称x服从均数为μ，标准差为σ2的正态分布。
标准正态分布与正态分布的转换
标准正态分布：指均数为0，标准差为1的正 态分布。常称z 分布或u分布。
标准正态分布与正态分布的转换公式：
z X
即若x服从正态分布N（μ，σ2），则z就服 从均数为0，标准差为1的正态分布。
正态分布曲线下的面积
• μ±σ范围内的面积为68.27% • μ±1.96σ范围内的面积为95% • μ±2.58σ范围内的面积占99%