流体静力学
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d( p
) f x dx f y dy f z dz
全微分？
全微分
右边为某一函数全微分的充分和必要条件是： f y f z f x f y f z f x 0 0 0 y z z y x z
rot f 0 即：
2-2 流体平衡微分方程 用－π (x,y,z)表示此函数：则
压强水头：压强作用下在完全真空的测压管中测得 的高度 位置水头与压强水头的和称静水头
2-3 流体静力学基本方程
在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，静水头线和 计示静水头线均为水平线。
2-3 流体静力学基本方程 重力场中静止流体的压力分布
对淹深为h的某点a和自由液面 上的某点列静力学基本方程式
1. 取微元体 dA
o
h
2. 取坐标系 oxy
3. 受力分析
y
x
dFp pe dA ghdA
y
dA
gy sin dA
A
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 沿面积A积分
Fp dFp g sin ydA
A A
整个平面面积A对ox轴的面积矩
ydA y
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计
解：
2-5 液体的相对平衡 等加速水平运动容器中液体的相对平衡
已知：a, p0
求：①压强分布规律 ②等压面方程 ③倾斜角α
2-5 液体的相对平衡
(一) 理论分析
1. 选坐标系—罐车上, 非惯性坐标系oxyz 原点—液面不变点 取隔离体—液体质点m 受力分析
y
dy
a
dx
dz
x
z
2-2 流体平衡微分方程 受力分析： X方向： 表面力：
p dx ( p )dydz x 2 p dx ( p )dydz x 2
y
p dx p x 2 p dx p x 2
fx
aБайду номын сангаас
dy
dx
dz
质量力：
x
注意：约定 标量 — 增量为正 矢量 — 沿坐标方向为正
一簇平行斜面
p (ax gz ) C
x 0, z 0 时 p p0 C p0
p p0 (ax gz )
2-5 液体的相对平衡 （四）分析解 对自由液面
ax gz s 0 a zs x g
g x zs a
代入压强分布公式：得
同理:
fx
fy
1 p 0 x
1 p 0 y
流体平衡微分方程式 （ Euler平衡微分方程式 ）
1 p fz 0 z
矢量形式： 其中：
f
1
p 0
i j k x y x
哈密顿算子
2-2 流体平衡微分方程 4. 分析解 在静止的流体中，作用在单位质量流体上的质量力与静 压强的合力相平衡。 适用范围：不可压缩流体、可压缩流体的静止和相对静 止状态 5. 推论
z f x dxdydz
2-2 流体平衡微分方程 2. 列平衡方程
F 0
p dx p dx ( p )dydz ( p )dydz f x d x d y d z 0 x 2 x 2
3. 解方程
1 p fx 0 x
2-2 流体平衡微分方程
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • 测压管
pe gh pv gh
优：简单、准确 缺：量程小，不能自动测量
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • U型管测压计
测小于大气压强的真空
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • U型管差压计
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • 倾斜式微压计
p p p dp dx dy dz x y z
( f x dx f y dy f z dz )
压强差公式 在静止流体中,压强的增量决定于质量力
2-2 流体平衡微分方程 力的势函数和等势力
对不可压缩流体
const
dp ( f x dx f y dy f z dz )
1.取坐标系: 非惯性参考坐标系oxyz 2. 取隔离体: 流体质点m
2-5 液体的相对平衡 3. 受力分析：
(二）列方程，解方程 1. 流体静压强分布规律
2-5 液体的相对平衡
当 x 0, z 0 时 p p0 可得 : C p0
等角速旋转容器中液 体的静压强分布公式 2. 等压面方程
第二章 流体静力学
1 2 3 4 5 6 7
• 流体静压强及其特性 • 流体平衡微分方程 • 流体静力学基本方程
• 绝对压强 计示压强 液柱式测压计 • 液体的相对平衡 • 静止液体作用在平面上的总压力 • 静止液体作用在曲面上的总压力
第二章 流体静力学
流体静力学研究在外力作用下流体处于平衡的力 学规律及其在工程技术中的应用。
2-5 静止液体作用在平面上的总压力 作用在水平壁面上的总压力
Fp pe A ghA
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 作用在倾斜壁面上的总压力
已知: 静止液体中平面
倾角α,任意形状
面积A,液面压强pa 平面外侧 pa 求：总压力大小、方向、 作用点位置
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 • 总压力的大小
2-1 流体静压强及其特性 流体静压强的两个特性
• 流体静压强的方向指向作用面的内法线方向
pn
pn
流体定义
p n 0
运动
pnn
pnn
拉力 压力
推论：静止流体对固体壁面的压强恒垂直于壁面。
2-1 流体静压强及其特性
• 静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在 空间的方位无关，只是点的坐标的函数。
绝对压强总是正的，而计示压强则可正可负
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计
真空度：绝对压强小于当地大气压强的负计示压强
p v p a p pe
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 液柱式测压计 液柱式测压计的测压原理是以流体静力学基本方程式为依据的。
液柱式 测压计
测压管 U型管压力计 U型管差压计 倾斜式微压计 补偿式微压计
合力矩定理
当平面力系具有合力时， 合力对力系作用面内任一 点的矩，等于各分力对同 一点之矩的代数和
hC
h
y
FD
y
yD
yC
x
dA
DC
A
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 由合力矩定理：总压力Fp对ox轴之 矩等于各微元面积上压强的合力对 ox轴之矩的代数和。
hC
h
yD
o
y
F p y D dF p y
py
A
o
pz
dy
B
y
4. 列方程
x
1 1 p x dydz pn A cos( pn , x ) f x d x d y d z 0 2 6
2-1 流体静压强及其特性
5. 解方程
1 1 p x dydz pn A cos( pn , x ) f x d x d y d z 0 2 6
fy fz fx y z x
f grad
要使不可压缩流体处于平衡状态，则作用在它上面 的质量力必须有势。 有势函数存在的质量力称为有势力
2-2 流体平衡微分方程
如果质量力有势，则：
d( p
) f x dx f y dy f z dz
( dx dy dz ) d x y z
p
const
单位质量流体的压力能
单位质量流体的质量力势能
单位质量不可压缩静止流体的总势能守恒。
2-2 流体平衡微分方程 等压面
流场中压强相等的点组成的面，称为等压面。
在等压面上
dp 0
π=常数
静止、相对静止
流体微团无 相对运动
平衡
dv x 0 dy
dv x dy
0
粘性作用表现不出来 本章得出的结论对粘性流体和理想流体均适用
2-1 流体静压强及其特性 流体静压强
单位面积流体受到的法向力
pnn
Fn d Fn lim pn A dA
单位：Pa，N/m2
p p0 g( z s z ) p0 gh
液体内任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、密 度为ρ的液体所产生的压强。
2-5 液体的相对平衡 等角速旋转容器中液体的相对平衡 已知: 盛有液体容器以ω旋转 液体对容器相对静止 求: 压力分布? 等压面方程? (一) 理论分析:
p0 p z ( z h) g g
p p0 gh
在重力作用下有自由表面的均质不可压缩静止流体中 的压强计算公式
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 压强的计量
绝对压强：
以完全真空为基准计量的压强。
p pa gh
计示压强：
以当地大气压强为基准计量的压强
pe p pa gh
f dr 0
f x dx f y dy f z dz 0
1、等压面就是等势面 2、质量力沿等压面作功为零。而质量力不为零， 则质量力与等压面垂直。
2-3 流体静力学基本方程 流体静力学基本方程 当作用在流体上的质量力只有重力时
f x 0, f y 0, f z g
A
Fp
y
2
yC
x
dA
g sin yC A y D g sin y dA
A
DC
A
yD
Ix yC A
面积A对ox轴的惯性矩 I x
p f ( x , y , z ,n )
p f ( x, y,z )
即：静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。
2-1 流体静压强及其特性
证明： 1. 取坐标系 2. 取隔离体 3. 分析受力
oxyz
OABC
z
C
dz dx
pn
px
表面力： p x , p y , p z , pn
质量力： f x , f y , f z
代入压强差公式
dp ( f x dx f y dy f z dz )
dp gdz
对均质不可压缩流体
p z C g
流体静力学基本方程式
2-3 流体静力学基本方程
适用条件:均质、不可压缩流体只受重力,处于静止 状态。
p1 p2 z1 z2 g g
2-3 流体静力学基本方程 • 物理意义 单位重力流体的位势能
p z C g
单位重力流体的压强势能 压强所做的功 位势能
在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点的单位 重力流体的总势能（位势能＋压强势能）保持不变。
2-3 流体静力学基本方程 • 几何意义
单位重力流体所具有的能量可以用液柱高度来表示，称为 水头。
位置水头：某点所在位置到基准面的高度。
1 dydz 2 1 p x pn f x dx 0 3
0
则： p x pn
同理： p x pn p y p z
即：静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。
2-2 流体平衡微分方程 流体平衡微分方程
用数学方程式来描写静止流体所遵循的力学规律。
1. 问题分析 选定研究对象: 静止流体中边长dx,dy,dz的 平行六面体 取坐标系： 中心 a(x,y,z)
2. 3.
f x a
fy 0
fz g
2-5 液体的相对平衡 (二）列方程 根据压强差公式 根据等压面方程
dp ( f x dx f y dy f z dz )
adx gdz 0
( adx gdz )
(三）解方程
ax gz C
a arctan g
一簇绕z轴的旋转抛物面
2-5 液体的相对平衡
自由液面
把 r 代入压强分布公式
液体内任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、 密度为ρ的液体所产生的压强。
2-5 液体的相对平衡
2-5 液体的相对平衡
提示：
旋转抛物体的体积等于与其同底等 高的圆柱体体积之半。
2-5 液体的相对平衡
2-6 液体的相对平衡
A
C
A
hC
y
h
o
y
x
yC
dA
形心到ox轴的距离
Fp g sin yC A ghC A
形心C点的淹深
C
A
液体作用在平面上的总压力为一假想体积的液体重力。该假想体 积是以平面面积为底，以平面形心的淹深为高的柱体
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 • 总压力的作用点 总压力的作用线与平面的交点为总压力的作用点，也叫压 力中心。 o
) f x dx f y dy f z dz
全微分？
全微分
右边为某一函数全微分的充分和必要条件是： f y f z f x f y f z f x 0 0 0 y z z y x z
rot f 0 即：
2-2 流体平衡微分方程 用－π (x,y,z)表示此函数：则
压强水头：压强作用下在完全真空的测压管中测得 的高度 位置水头与压强水头的和称静水头
2-3 流体静力学基本方程
在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，静水头线和 计示静水头线均为水平线。
2-3 流体静力学基本方程 重力场中静止流体的压力分布
对淹深为h的某点a和自由液面 上的某点列静力学基本方程式
1. 取微元体 dA
o
h
2. 取坐标系 oxy
3. 受力分析
y
x
dFp pe dA ghdA
y
dA
gy sin dA
A
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 沿面积A积分
Fp dFp g sin ydA
A A
整个平面面积A对ox轴的面积矩
ydA y
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计
解：
2-5 液体的相对平衡 等加速水平运动容器中液体的相对平衡
已知：a, p0
求：①压强分布规律 ②等压面方程 ③倾斜角α
2-5 液体的相对平衡
(一) 理论分析
1. 选坐标系—罐车上, 非惯性坐标系oxyz 原点—液面不变点 取隔离体—液体质点m 受力分析
y
dy
a
dx
dz
x
z
2-2 流体平衡微分方程 受力分析： X方向： 表面力：
p dx ( p )dydz x 2 p dx ( p )dydz x 2
y
p dx p x 2 p dx p x 2
fx
aБайду номын сангаас
dy
dx
dz
质量力：
x
注意：约定 标量 — 增量为正 矢量 — 沿坐标方向为正
一簇平行斜面
p (ax gz ) C
x 0, z 0 时 p p0 C p0
p p0 (ax gz )
2-5 液体的相对平衡 （四）分析解 对自由液面
ax gz s 0 a zs x g
g x zs a
代入压强分布公式：得
同理:
fx
fy
1 p 0 x
1 p 0 y
流体平衡微分方程式 （ Euler平衡微分方程式 ）
1 p fz 0 z
矢量形式： 其中：
f
1
p 0
i j k x y x
哈密顿算子
2-2 流体平衡微分方程 4. 分析解 在静止的流体中，作用在单位质量流体上的质量力与静 压强的合力相平衡。 适用范围：不可压缩流体、可压缩流体的静止和相对静 止状态 5. 推论
z f x dxdydz
2-2 流体平衡微分方程 2. 列平衡方程
F 0
p dx p dx ( p )dydz ( p )dydz f x d x d y d z 0 x 2 x 2
3. 解方程
1 p fx 0 x
2-2 流体平衡微分方程
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • 测压管
pe gh pv gh
优：简单、准确 缺：量程小，不能自动测量
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • U型管测压计
测小于大气压强的真空
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • U型管差压计
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 • 倾斜式微压计
p p p dp dx dy dz x y z
( f x dx f y dy f z dz )
压强差公式 在静止流体中,压强的增量决定于质量力
2-2 流体平衡微分方程 力的势函数和等势力
对不可压缩流体
const
dp ( f x dx f y dy f z dz )
1.取坐标系: 非惯性参考坐标系oxyz 2. 取隔离体: 流体质点m
2-5 液体的相对平衡 3. 受力分析：
(二）列方程，解方程 1. 流体静压强分布规律
2-5 液体的相对平衡
当 x 0, z 0 时 p p0 可得 : C p0
等角速旋转容器中液 体的静压强分布公式 2. 等压面方程
第二章 流体静力学
1 2 3 4 5 6 7
• 流体静压强及其特性 • 流体平衡微分方程 • 流体静力学基本方程
• 绝对压强 计示压强 液柱式测压计 • 液体的相对平衡 • 静止液体作用在平面上的总压力 • 静止液体作用在曲面上的总压力
第二章 流体静力学
流体静力学研究在外力作用下流体处于平衡的力 学规律及其在工程技术中的应用。
2-5 静止液体作用在平面上的总压力 作用在水平壁面上的总压力
Fp pe A ghA
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 作用在倾斜壁面上的总压力
已知: 静止液体中平面
倾角α,任意形状
面积A,液面压强pa 平面外侧 pa 求：总压力大小、方向、 作用点位置
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 • 总压力的大小
2-1 流体静压强及其特性 流体静压强的两个特性
• 流体静压强的方向指向作用面的内法线方向
pn
pn
流体定义
p n 0
运动
pnn
pnn
拉力 压力
推论：静止流体对固体壁面的压强恒垂直于壁面。
2-1 流体静压强及其特性
• 静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在 空间的方位无关，只是点的坐标的函数。
绝对压强总是正的，而计示压强则可正可负
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计
真空度：绝对压强小于当地大气压强的负计示压强
p v p a p pe
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 液柱式测压计 液柱式测压计的测压原理是以流体静力学基本方程式为依据的。
液柱式 测压计
测压管 U型管压力计 U型管差压计 倾斜式微压计 补偿式微压计
合力矩定理
当平面力系具有合力时， 合力对力系作用面内任一 点的矩，等于各分力对同 一点之矩的代数和
hC
h
y
FD
y
yD
yC
x
dA
DC
A
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 由合力矩定理：总压力Fp对ox轴之 矩等于各微元面积上压强的合力对 ox轴之矩的代数和。
hC
h
yD
o
y
F p y D dF p y
py
A
o
pz
dy
B
y
4. 列方程
x
1 1 p x dydz pn A cos( pn , x ) f x d x d y d z 0 2 6
2-1 流体静压强及其特性
5. 解方程
1 1 p x dydz pn A cos( pn , x ) f x d x d y d z 0 2 6
fy fz fx y z x
f grad
要使不可压缩流体处于平衡状态，则作用在它上面 的质量力必须有势。 有势函数存在的质量力称为有势力
2-2 流体平衡微分方程
如果质量力有势，则：
d( p
) f x dx f y dy f z dz
( dx dy dz ) d x y z
p
const
单位质量流体的压力能
单位质量流体的质量力势能
单位质量不可压缩静止流体的总势能守恒。
2-2 流体平衡微分方程 等压面
流场中压强相等的点组成的面，称为等压面。
在等压面上
dp 0
π=常数
静止、相对静止
流体微团无 相对运动
平衡
dv x 0 dy
dv x dy
0
粘性作用表现不出来 本章得出的结论对粘性流体和理想流体均适用
2-1 流体静压强及其特性 流体静压强
单位面积流体受到的法向力
pnn
Fn d Fn lim pn A dA
单位：Pa，N/m2
p p0 g( z s z ) p0 gh
液体内任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、密 度为ρ的液体所产生的压强。
2-5 液体的相对平衡 等角速旋转容器中液体的相对平衡 已知: 盛有液体容器以ω旋转 液体对容器相对静止 求: 压力分布? 等压面方程? (一) 理论分析:
p0 p z ( z h) g g
p p0 gh
在重力作用下有自由表面的均质不可压缩静止流体中 的压强计算公式
2-4 绝对压强、计示压强、液柱测压计 压强的计量
绝对压强：
以完全真空为基准计量的压强。
p pa gh
计示压强：
以当地大气压强为基准计量的压强
pe p pa gh
f dr 0
f x dx f y dy f z dz 0
1、等压面就是等势面 2、质量力沿等压面作功为零。而质量力不为零， 则质量力与等压面垂直。
2-3 流体静力学基本方程 流体静力学基本方程 当作用在流体上的质量力只有重力时
f x 0, f y 0, f z g
A
Fp
y
2
yC
x
dA
g sin yC A y D g sin y dA
A
DC
A
yD
Ix yC A
面积A对ox轴的惯性矩 I x
p f ( x , y , z ,n )
p f ( x, y,z )
即：静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。
2-1 流体静压强及其特性
证明： 1. 取坐标系 2. 取隔离体 3. 分析受力
oxyz
OABC
z
C
dz dx
pn
px
表面力： p x , p y , p z , pn
质量力： f x , f y , f z
代入压强差公式
dp ( f x dx f y dy f z dz )
dp gdz
对均质不可压缩流体
p z C g
流体静力学基本方程式
2-3 流体静力学基本方程
适用条件:均质、不可压缩流体只受重力,处于静止 状态。
p1 p2 z1 z2 g g
2-3 流体静力学基本方程 • 物理意义 单位重力流体的位势能
p z C g
单位重力流体的压强势能 压强所做的功 位势能
在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点的单位 重力流体的总势能（位势能＋压强势能）保持不变。
2-3 流体静力学基本方程 • 几何意义
单位重力流体所具有的能量可以用液柱高度来表示，称为 水头。
位置水头：某点所在位置到基准面的高度。
1 dydz 2 1 p x pn f x dx 0 3
0
则： p x pn
同理： p x pn p y p z
即：静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。
2-2 流体平衡微分方程 流体平衡微分方程
用数学方程式来描写静止流体所遵循的力学规律。
1. 问题分析 选定研究对象: 静止流体中边长dx,dy,dz的 平行六面体 取坐标系： 中心 a(x,y,z)
2. 3.
f x a
fy 0
fz g
2-5 液体的相对平衡 (二）列方程 根据压强差公式 根据等压面方程
dp ( f x dx f y dy f z dz )
adx gdz 0
( adx gdz )
(三）解方程
ax gz C
a arctan g
一簇绕z轴的旋转抛物面
2-5 液体的相对平衡
自由液面
把 r 代入压强分布公式
液体内任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、 密度为ρ的液体所产生的压强。
2-5 液体的相对平衡
2-5 液体的相对平衡
提示：
旋转抛物体的体积等于与其同底等 高的圆柱体体积之半。
2-5 液体的相对平衡
2-6 液体的相对平衡
A
C
A
hC
y
h
o
y
x
yC
dA
形心到ox轴的距离
Fp g sin yC A ghC A
形心C点的淹深
C
A
液体作用在平面上的总压力为一假想体积的液体重力。该假想体 积是以平面面积为底，以平面形心的淹深为高的柱体
2-6 静止液体作用在平面上的总压力 • 总压力的作用点 总压力的作用线与平面的交点为总压力的作用点，也叫压 力中心。 o