单位圆与三角函数线

功 我
能
过Ｐ作ＰＭ垂直于X轴于Ｍ，作ＰＮ垂直于Y轴
成 功
于Ｎ，则点Ｍ，Ｎ分别是Ｐ点在X轴和Y轴上的
正射影（简称射影)
向量 ON的数量ON y
y P（x,y）
N
向量 OM的数量OM x
向量 MP的数量MP y
oM x
让我们一起思考
问题2
当终边在第一象限时，角α的
y
P
正余弦与Ｐ的纵、横坐标y、x之 N
6
6
例2：利用三角函数线比较三角函数值的大小
sin 5π 与sin 7π
4
6
cos5π 与cos 7π
4
6
tan 5π 与 tan 7π
4
6
y
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
P1
sin 5π < sin 7π
4
6
cos5π > cos 7π
4
6
tan 5π > tan 7π
4
6
1、如果 M和P OM 分别是角
y1 1
y1
· α的终边
y
T1（-1， y1 ）
能否找到一个以Ａ点为起点在 过A 的切线上的向量，使这一 A1
o
向量的数量为tanα ？
(Ⅱ)
tan AT '
A T’
问题6
同学们一起探讨
角α的终边在三、四象限时能否用 类似的方法找到一个向量，使其 数量为tanα？
若tan AT(AT '),则AT(AT ')叫做角的正切线
7 的8正弦线
和余弦线，那么下列结论中正确的是（ ）
D
A MP OM 0 B OM 0 MP
C OM MP 0 D MP 0 OM
2、若 则 下 列各式中正确的（ ）
4
2
C
A sin cos tan B cos tan sin
C tan sin cos D sin tan cos
问题4
同学们一起探讨
α是第一象限角，能否在坐标系中找到
一个垂直于x 轴向量，使它的数量为α
的正切？
Ｔ点是过单位圆与x轴正半轴交点Ａ 作圆的切线与α终边的交点．
y
T
P
o MA x
问题5
同学们一起探讨
角α是第二象限的角时能否找到一个垂 直于x轴向量，其数量为tanα？
T1的坐标为（-1，y1）则
tanα=
ＯＮ(ＭＰ），ＯＭ的数量的关系如何？
问题3
让我们一起思考 是二、三、四象限角时向量ＯＮ(ＭＰ），ＯＭ的数量与 角的正余弦值是否相等？
一般结论：角α的余弦和正弦值分别
等于角α的终边与单位圆交点的横坐 标，纵坐标，即
cos x OM sin y ON
把向量OM ,ON(MP)叫做角的余弦线，正弦线。
利用三角函数线解决不等式问题
已知 （0， ），试比较，sin , tan的大小
2
y
解：如图，设锐角 的终边交单位
P
的终边
T
圆于点P,由三角函数线的作法知： sin a MP, cosa OM.
又OA＝1， AP OA＝
o M A x 连接 AP
SOAP S扇O A P SOAT
即 1 | OA | | MP | 1 | OA |2 1 | OA | | AT |,即MP AT
A
B
(4) 从定义看出：角α 的三角函数是两个 变量的比值。为了简单地计算其正余弦、 正切我们可以使分母为1。
当r=1时，即p点到原点的距离为1。所有满足 条件的点构成什么图形？
让我们一起思考
问题1
我
行
我
当角α是第一象限角时，能否在坐标轴上
能 我
找两个以原点为起点的向量,使p点的坐标
要 成
分别是这两个向量的数量？
变式：若 5 则下3列 各式中正确的（ ）
C
4
2
A sin cos tan C tan cos sin
B cos tan sin D sin tan cos
1、三角函数线及其画法 2、三角函数线的应用
一种重要的数学思想
----数 形 结 合
（必做）课本17页 练习 第1、2题 （选做）课本34页 习题1－2A 第2、6题
2
2
2
sin tan
三角函数线的作法如下：
1.建立平面直角坐标系，画出单位圆。
余弦线由原点指向垂足；
正切线由切点指向与α终边的交点.
α终边在x轴上 在y轴上时，三角函数线有 何特点？数量值是什么？
（3）角α的终边在x轴上时,点P与点M 重合,点T与点A 重合,此时,正弦线和正切线变成了一点,它们的 数量为0,而余弦线OM=1或-1 当角α的终边落在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成了 一点.数量为零,正切线不存在.
2 3
OM , tan
2 3
AT
x A
2
3
的正弦线为MP,余弦线为OM,
正切线为AT
T
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦Βιβλιοθήκη Baidu、正切线.
(1) 2π 3
(2)- 3π 4
y
M2
o
P2
T2
Ax
y P
N
oM x
若角的正弦线为向量ON, 作出角的终边
若ON= 12，则
2k 或2k 5 ，k Z
观察:
善于观察善于总结
y
y
y
PT
P
o M A x Mo
T
A
M
x
o
P
Ax
(1)三角函数线位置: T
y
MA
o
x
PT
正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直的有向线段;
余弦线在x轴上;正切线在单位圆与x轴正方向的交点的切线上,
三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外.
(2)三角函数线的方向:
正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点,
间有何关系？
sin y y
1
cos
=
x 1
x
oM x
由问题１、２你得到角α的正余弦值与向
量的数量有什么关系？
结论： 第一象限角α的余正弦值分别等于终边
与单位圆交点的横、纵坐标，也分别等
于 ON
,
OM
的数量, 即
cos x OM sin y ON
问题3
让我们一起思考
是二、三、四象限角时,角的正余弦值与向量
单位圆与三角函数线
（1）角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
y
P(x,y)
cos x
r
α
ox
sin y
r
tan y
（2）角α 的正弦、余弦、正切值与终x边上
P点的位置是否有关？
(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？
数轴上的向量 AB 的坐标是一个实数，这个实 数的绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向 相同取正，反之取负。
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
(1) 2π 3
(2)- 3π 4
解：在直角坐标系中作单位圆如图示
y
以x轴的正半轴为始边作出2 的角，
其终边与单位圆交于P点，作3PM x轴，垂足为M，由
P
单位圆与x轴的正半轴的交点A作x轴的垂线,
与OP的反向延长线交于T点，则
M
o
sin
2 3
＝MP, cos