第5讲 λ-矩阵与标准形

第5讲 λ-矩阵与标准形

内容：1. 矩阵的Jordan 标准形

2. 矩阵的最小多项式

3. λ-矩阵与Smith 标准型

4. 多项式矩阵的互质性与既约性

5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解

λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，

在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形.

§1 矩阵的Jordan 标准形

1.1 矩阵相似

定义 1.1 设A 和B 是矩阵，C 和D 是非奇异矩阵，若DAC B =,则称A 和B 相抵；若AC C B T =,则称A 和B 相合（或合同）；若AC C B 1-=,则称A 和B 相似，即若n n C B A ⨯∈,，存在n n n C P ⨯∈,使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别，当1-=P P H ,称A 与B 酉相似，当1-=P P T ,称A 与B 正交相似.

相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：

定理1.1 设n n C B C A ⨯∈,,, )(λf 是一个多项式，则

（1） 反身性：A 与A 相似；

（2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似；

（3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似；

（4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =；

（5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似；

（6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同.

对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？

定义1.2 设n n C A ⨯∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化.

定理 1.2 设n n C A ⨯∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.

证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中

),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量，

再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关.

必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有

),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==

),,,(),,,(),,,(212121n n n Pdiag diag p p p λλλλλλ ==, 即有),,,(211n diag AP P λλλ =-，故A 可对角化.

推论 1.1 若n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 可对角化.

推论1.2 设s λλλ,,,21 是n 阶方阵A 的所有互不相同的特

征值，其重数分别为s r r r ,,,21 .若对应i r 重特征值i λ有i r 个线性无关的特征向量),,2,1(s i =，则A 可对角化.

例1.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似：

1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A ， 2）⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1221212221A ，3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 解

1）因A 的特征多项式为)3)(2)(1(+++=-λλλλA I ，因而A 有三个不同的特征值：3,2,1321-=-=-=λλλ.由于A 的3个特征值互不相同，故A 能对角化. 又求得相应的三个特征向量为：T x )1,1,1(1-=,T x )4,2,1(2-=,T x )9,3,1(3-=,它们是线性无关的.取

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=941321111P ，则⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-3211AP P . 2）特征多项式为)5()1(2-+=-λλλA I .故特征值为121-==λλ（二重根），53=λ.特征值为1-的两个线性无关的特征向量为T x )1,0,1(1-=,T x )1,1,0(2-=，而特征值35λ=对应的一个特

征向量为：T x )1,1,1(3=，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111110101P ，则⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-5111AP P .

3）A 的特征多项式为，)2()1(2+-=-λλλA I ，特征值为121==λλ，2

3-=λ.而对应于特征值1的一切特征向量为T k x )20,6,3(-=，0≠k .又对应于特征值2-的一切特征向量为，T k y )1,0,0(1=，01≠k . 不存在三个线性无关的特征向量，所以A 不能与对角形矩阵相似.

例1.2 设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，求A 的相似对角矩阵及100A . 解 由)2()1(2+-=-λλλA I ，得21-=λ，12=λ（二重根）.则对应于21-=λ的一个特征向量T x )1,1,1(1-=及对应于二重根12=λ的两个线性无关特征向量为T x )0,1,2(2-=，T x )1,0,0(3=.取

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101011021P ，则⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1210110211P ，故 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1121AP P （1.1） 注意，若取⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0111012011P ，则⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=-112111AP P ，可见P 不是唯一的.

现在计算100A .由式（1.1）有1112-⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P A ，因此易知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-12101102111)2(1010110211121001100100P P A