[数学]第3单元第18讲导数的综合应用PPT课件

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4
可知S
x0
0在(
6
，
4
)有根，即为其最大值点，故选B.
1．利用导数解决生活中的优化问题可归结为求 函数的最值问题 其解题的程序：读题(文字语言) 建模(数学语言) 求解(数学应用) 反馈(检验作答) 注意事项：
1函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们
的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确 定自变量的取值范围；
2 用导数方法证明不等式．其步骤一般是：构造可
导函数 — —研究单调性或最值 — —得出不等关系 — — 整理得出结论．
3与几何图形相关的最值问题．根据几何知识建立
函数关系，然后用导数方法求最值．
题型一 利用导数证明不等式
例1.(2010 全国卷)设函数f x 1 ex. 证明：当x 1时，f x x .
加值y万元与投入x万元之间满足：
y 51 x ax2 ln x ， x [t， )，其中t为大于 1
50
10 2x 12
2
的常数．当x 10时，y 9.2.
1求y f x的解析式和投入x的取值范围；
2 求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．
解析： 1因为当x 10时，y 9.2，
x0
2
)，
欲使矩形面积最大，则x0的取值范围是
A．(0， )
6
C．( ， )
43
B．( ， )
64
D．( ， )
32
解析： 因为D x0, 0，又ABCD为矩形，
由对称性可知C( x0, 0)，A(x0，sin x0 )，
所以 CD 2x0， AD sin x0，
所以矩形的面积S
x0
2 问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合 问题的实际意义； 3 在函数定义域内只有一个极值，
则该极值就是所求的最大(小)值．
2．近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类
1 求参数的取值范围．多数给出单调性，利用导数
研究函数单调性的逆向思维问题，灵活运用等价转 化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字 母参数的不等关系．
3
3
当x ( 3 ， 3 )时，f x 0；当x ( 3 ，1]时，f x 0.
33
3
又f 1 f 1 0，f x f ( 3 ) 2 3 ，
max
39
f x f ( 3) 2 3.
min
3
9
又x1，x2 1,1，
所以
f
x1
f
x2
f
x max
f
x min
43 9
5 1 x3 24000x 50000.
5 令y 3 x2 24000 0，得x 200.
5 所以当每月生产200吨产品时，利润达到最大， 最大利润是315万元．
4.设矩形ABCD的A、B两点在y sin x(0 x )的图
象上，C、D两点在x轴上，且D
x0, 0
(0
x 1
评析： 有关“超越型不等式”的证明，构造 函数，应用导数是常用证明方法．
素材1：已知函数f x x3 x.若x1、x2 1,1，
求证：f x1 f x2 1.
证明：求函数f x的导数，f x 3x2 1.
令f x 0，得x 3 ，当x [1， 3 )时，f x 0；
(
2 x0
) sin
x0 (0
x0
2
)，
则S x0 cos x0 2sin x0 2x0 cos x0
2sin x0 ( 2x0 ) cos x0.
由S( ) 2sin 2 cos 1 3 0，
6
63 6
3
S( ) 2sin cos 2 2 0.
4
3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量
x(吨)与每吨产品的价格P(吨 / 元)之间的函数关
系为P 24200 1 x2，且生产x吨的成本为 5
R 50000 200x元，则该厂每月生产
吨
产品才能使利润达到最大，最大利润是 万元．
解析： 设生产x吨产品，利润为y元，
则y Px R (24200 1 x2 ) x 50000 200x
1，
故原不等式成立．
评析： 本题主要考查函数、导数、不等式等 基础知识及综合运用所学知识分析问题和解决 问题的能力和化归与转化思想的灵活运用． 解此题的关键是将原问题等价转化．
题型二 利润最大问题
例2.受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益 出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改
造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增
1．掌握利用导数解决实际生活中的优化 问题的方法和步骤，如用料最少、费用 最低、消耗最省、利润最大、效率最高等． 2．掌握导数与不等式、几何等综合问题 的解题方法．
1 .一个物体的运动方程为S t 1 t t2 (t 0)，
其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在
3秒末的瞬时速度是
A．7米/秒
B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒
解析： St 2t 1，S3 5，则物体在3秒末
的瞬时速度为5米 / 秒．故选C.
2.某箱子的容积与底面边长x的关系为
V x x2 60 x 0 x 60，则当箱子
2
的容积最大时，箱子底面边长是
A．30
B．40
C．50
D．其他
解析： V x 1 x3 30x2，
x 1
证明： 当x 1时，f x x ，当且仅当ex 1 x.
x 1
令g x ex x 1，则g x ex 1. 当x 0时g x 0，g x在[0， )上是增函数； 当x 0时g x 0，g x在(，0]上是减函数． 于是g x在x 0处达到最小值，因而当x R时， g x g 0，即ex 1 x. 所以当x 1时，f x x .
即 51 10 a 102 ln1 9.2，解得a 1 ，
50
100
所以f x 51 x x2 ln x .
50 100 10
因为 x t且t 1，所以6 x 12t .
2
V x 3 x2 60x 3 x2 40x
பைடு நூலகம்
2
2
3 x x 400 x 60．
2
由V x 0，得x 40.
而当0 x 40时，V x 0；
当40 x 60时，V x 0，
所以V x V 40 16000，所以当x 40时， max
V x取最大值．故选B.