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第三讲数列的概念与表示方法
【知识要点】
1.数列的概念
按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做个数列的. 数列一般形式可以写成
a1 ,a 2 ,a 3，⋯， a n , ⋯，数列{a n } ，其中数列的第1a1也称首； a n是数列的第n ，也叫数列的通
.
2.数列的表示方法
（ 1）列法（ 2）象法（3）解析法（4）推法
3.数列的分
4.数列与函数的关系
从函数点看，数列可以看作定域正整数集N*（或它的有限子集）的函数，当自量从小到大依次取
，函数的一列函数就是个数列.
5. 数列的通公式
如果数列{a n} 的第n a n与 n 之的函数关系可以用一个式子表示成a n =f(n) ，那么个式子就叫做个数
列的通公式. 不是每个数列都有通，如果数列有通公式, 但其通公式在形式上不一定惟一.
6. 求数列通公式的常型与方法
（1）已知数列的前 n ，求其通公式①据所数列的前几求其通公式，需仔察分析，
抓住以下几方面的特征：
分式中分子、分母的特征；相的化特征；拆后的特征；各符号特征等. 并此行、想.
②根据数列的前几写出数列的一个通公式是不完全法，它着“从特殊到一般”的思想，由不完全
得出的果是不可靠的，要注意代，于正符号化，可用（-1 ）n或（ -1 ）n+1来整 .
③ 察、分析的特点是最重要的，察要有目的，察出与数之的关系、律，利用我熟知
的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）而使得到解决.
题型一由数列的前n 项求其通项公式
例 1 写出下列各数列的一个通公式：
(1)4,6,8,10，⋯
(2)1
,
3
,
7
,
15
, 31
, 2 4 8 16 32
(3) 2 , 1, 10,17,26,37,
379 11 13
(4)3,33,333,3333，
题型二已知数列的前n 项和，求通项公式
例 2 已知下列数列a n 的前 n 项和S n，分别求它们的通项公式a n.
⑴ S n 2n 2 3n ；⑵ S n 3n 1.
题型三已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项
例 3 数列a 中，
a n n 2
5n 4
.
n
⑴ 18 是数列中的第几项？
⑵
n 为何值时，a n有最小值？并求最小值.
题型四数列的单调性及其应用
例 4 设 f (x) log 2 x log x 4(0 x1) ，设数列a n 的通项满 f ( 2a n ) 2n ( n N ), 问 a n 有没有最小的项？若有求出最小项，若没有请说明理由.
【课堂练习】
1. 已知数列
a n 的 前 n 和 S n
n 1 , a 5
a 6 =（
）
n 2
A.
1
B.
1 C. 1 D. 1
20
24
28
32
2. 已知数列 { n } 的通 公式是
n =
an , 其中 a , b 均 正常数 , 那么 n 与 n +1 的大小关系是（ ）
a
a
bn 1
a
a
A.
a n
＞
n +1
B. a n
＜
n +1
C. n = n +1
D. 不确定
a
a
a a 3. 数列 { a n } 足 a =
1 , a +a +⋯+a n =n 2
a n = .
· a n ,
1
2 1
2
4. 将奇数分 如下 : (1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), ⋯ , 使得第 n 中含有 n 个数 ,
那
么第 n 中的 n 个奇数的和是
5. 在数列 { a n } 中, 已知 n =3+2 n , 求 a n .
S a
6. 数列 { a n } 中, 前 n 和 S n =an 2 +b n , 其中 a , b 是常数 , 且 a ＞ 0, a +b ＞1, n N * . (1) 求{ a n } 的通 公式 a n , 并 明 a n +1＞a n ＞1( n N * ); (2) 令 c n =log a n a n +1, 判断数列 { a n } 中任意相 两 大小
.
【思维拓展】
例 1 在数列 {a n } 中， a 1 =1, a
n 1
(1
1)a n
,
n
1
(1) 求数列｛ an ｝的通 公式；
(2)
若 于一切 n>1 的自然数，不等式
a n 1 a n 2 ... a 2 n
1
log a (a 1)
2
恒成立，
12
3
求 数 a 的取 范 ．
【课外作业】
1. 已知数列 {a n } 的前 n 和 S n =n 3 ， a 5+a 6 的 (
)
A.91
B.152
C.218
D.279
2. 已知数列 1，
1 2 1 2 3 1 2 3 4 ，⋯，
5
是数列中的 (
)
2 ， ，， ，， ，， ，
6
1 3
2 1 4
3 2 1
A. 第 48
B. 第 49
C.第 50
D. 第 51
3. 已知数列 {a n } 的通 a n =
na c (a 、b 、c 都是正 数 ) ， a n
与 a n
+1 的大小关系是 ( )
nb
A.a n ＞ a n +1
B.a n ＜a n +1
C.a n =a n +1
D. 不能确定
4. 在数列 {a n } 中， a n =4n-
5
,a 1+a 2+⋯+a n =an 2+bn,n ∈N * ，其中 a,b
常数， ab 等于 ( )
2
A.1
B.-1
C.2
D.-2
5. 在数列 {a n } 中， a
1
2, a n
1
a n ln( 1
1
) ， a n =(
)
n
A.2+ ln n
B.2+(n-1)
ln n
C.2+n ln n
D.1+n ln n
6. 已 知 数列 {a n } 是 增 数列， 且 于任 意的 n ∈ N * ， a n =n 2 + λ n 恒成 立 ，数 λ 的取 范 是
________________.
7. 已知数列 2 008 ， 2 009 ， 1，-2 008 ，-2 009 ，⋯ 个数列的特点是从第二 起，每一 都等于它的前后两 之和， 个数列的前 2 009 之和 S 2 009 等于 _____________.
8. 已知
S n 等差数列 a n 的前 n 和， S n
12n n 2 .
⑴求 a 1 a 2
a 3 ；
⑵求
a 1 a 2 a 3 a 10 ； ⑶求
a 1 a 2
a 3
a n
.
9.
已知函数
f ( x) 2 x 2 x , 数列 a n 足 f (lo
g 2 a n )
2n .
(1) 求数列
a n 的通 公式；
(2)
求 ：数列
a n 是 减数列．。