第10章静电场的导体与电解质

第10章 静电场中的 导体与电介质
第一节 静电场中的导体
一、静电感应现象：
把一个不带电的 导体放入静电场
导体内的自由电子在外电场的作用下
中
重新分布，结果使导体的一端带正电荷，
E0
另一端带负电荷，这种现象称导体的静电 感应现象。
E'
1、导体的静电平衡：
E
导体内部无宏观电荷的定向移动，导 体处在静电平衡状态。
置另一块金属板时，求其电荷分布及电场分布。
1
2
Q S
3 4 0
高斯面S
Q
S
2 3 0
σ1
σ2
σ3
σ4
Ep
1 2 o
2 2 o
3 2 o
4 2 o
0
.P
电荷分布
1
Q 2S
,
2
Q 2S
,
Q/2 Q/2
-Q/2 Q/2
3
Q 2S
,
4
Q 2S
,
EⅠ
EⅡ
EⅢ
电场分布
E
2 o
en
根据叠加原理可得：
1
单位：法拉（F），1F=1C/V
3、电容器电容的计算
方法：先假定两极板分别带 电量±Q，然后由电场分布 求出两极板间的电势差，再根据电容定义求出电容值 。
设 ±Q E U C=Q / U
几种常见电容器
(1)平行板电容器的电容:
平行板电容器的极板面积为S，两板间距为d
设一极板带电荷面密度为σ
U A B
E0
E
-+
3、电介质的极化机制
E0 E'
电介质在外电场作用下,表面出
现束缚 电荷的现象称极化现象。
E
E E0 E E E0
二、电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
E
E'
E0
E
r r
' E0
1 r E0
'
r
r
1
0
Q'
r
r
1
Q0
d
- - - - - + + + + + + + + + + +
)R2
R1
q2
4 o (VB VA
R2 R1
)R2 R1
q1 q2 0
q3 4 oVB R3
电场分布：
E1 0
E2
q1 4or 2
(VA VB )R2R1 ( R2 R1 )r 2
E3 0
E4
q1 q2 q3
4 or 2
VB R3 r2
( r R1 )
q3 q2 q1
( R1 r R2 ) B
S
3. 利用 D dS q0 (不出现 q)，可求介质中场强。
S
求法： q0 D E （对称分布的电场）
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介质
球中心，求：I 区、II区的 D、E 及 V。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的高斯球面。
SD dS q0
球面上各点D大小相等， D 4r 2 q0
o r ——绝对介电常数
真空 εr=1, ε= ε0
介质内的场强比真空中的小。
因为电介质内部产生了与外 电场相反的电场——极化电场。
2.电介质结构 两类电介质 无极分子：分子正负电荷重心重合；
（如：氢、、石蜡等）
有极分子：分子正负电荷重心不重合。 (如：水、有机玻璃等） -----可等效为电偶极子
++++
三、静电屏蔽
1 屏蔽外电场 E
空腔导体可以屏蔽
E 外电场, 使空腔内物体
不受外电场影响.这时,
整个空腔导体和腔内的
电势也必处处相等.
外电场
空腔导体屏蔽外电场
2 屏蔽腔内电场
接地空腔导体将使外部空间不受 空腔内的电场影响.
使导体空腔内不受外界电场的影响 或利用接地的空腔导体隔绝腔内带电体 对外界的影响的现象,称为静电屏蔽。
1 Q 4 o R
1q
4 o r
Q
R
rq
R
Q
4R2
,
r
q
4r 2
结论:
R r r R
孤立导体球表面电荷面 密度与曲率半径成反比。
3.导体表面附近场强
E ds
s
Es
s o
E
E
o
o en
导体表面一点的场强与
该点电荷面密度成正比。
即与曲率半径成反比
尖端放电现象、避雷针
高斯面S
++
+ ++
40 RA RB
C Q 40RARB
U RB RA
（3）圆柱形电容器的电容 :
柱形电容器的内、外半径分别为RA 、RB,高度为l
极板间的电势差
B A
U E dr
dr ln RB
20r
20 RA
C q l 20l
U U ln RB RA
l o
RB RA
三、电容器的联接 1.电容器的串联
外力作正功，相应电势能增加.
电容器的能量
W Q 2 1 QU 1 CU 2
2C 2
2
二、静电场的能量
电容器充电后具有能量，有电荷就伴生电场，电荷与 电场是不可分的，电容器的能量可以说是电场的能量。
Qq
q
S2 q
结论:处于静电平衡的导体，其内部各处 净电荷为零，电荷只能分布在表面。
(3)孤立的导体
++
静电平衡时，孤立导体表面各处的面电荷 + 密度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地 + +
++++
方，面电荷密度也越大。
例.两个半径分别为R和 r的球形导体（R>r ),用一根很长的细导线 连接起来,使这个导体组带电,电势为φ,求两球表面电荷密度与曲率 半径的关系。(忽略导线上的电荷）
e.g.1：孤立导体球
球半径为R，带电量Q
Q
Solution： C Q
R
V
先求孤立导体球电势
V Q
4 0 R
C Q Q V
Q 40R
40R
如果把地球当成孤立导体，其电容为多大？
R=6.4106 m
C 1109 6.4 106 7.1104(F)
9
二、电容器和它的电容
1.电容器
极板
由两个靠近的形状相同彼此绝缘的金属导体 所组成。
介质中:
S 包围的
D dS qi 自由电荷
S
通过电介质中任一闭合曲面内的电位移通量等于该 曲面内所包围的自由电荷量的代数和。
---介质中的高斯定理
注意: 1. D 为辅助物理量
D 线从自由正电荷出发，终止于自由负电荷。
E
线
D
线
2.
对真空
D
0 E
回到真空中的高斯定理
D dS q0 ----------具有普遍适意义.
2
dr
r
qR I
q
4 0 r
1r
1 R
q
40
R
II区：
V2 r E2dr
r
q
4 0r
2
dr
q
4 0r
r II
第四节 电容
一、孤立导体的电容 1、孤立导体 导体周围无其它带电体或导体。
2.电容
CQ
V
说明：
① C 与 Q 无关；
Q V
② C 只与导体的大小、形状有关；
③ U:法拉 F (Farad) 1F=1C/V 1F= 106 F (microfarad)= 1012pF(pico farad)
q2
4 o R2
q3
4 o R3
q3
q2
q1
VB
q1 q2 q3
4 o R3
E dS S
qint
o 0
B
Ao R1
高斯面S
R3 R2
q1 q2 0
VA
q1 4 o R1
q2 4 o R2
q3 4 o R3
VB
q1 q2 q3
4 o R3
电荷分布q1 ：4
o
(
VA R2
VB R1
R
q
r
r
I r
II
D
q0
4r 2
q
I区： D1 4r 2
II区： D2
q
4r 2
高斯面
由 D 0 r E
I区：
E1
D1
0 r
q
4 0 r r 2
II区：
E2
D2
0 r
q
4 0r 2
由
Va
a
E
dr
aEdr
I区： V1 rR E1dr R E2dr
rR
q
40
r
r
2
dr
R
q
40r
σ3
σ4
.P
1 0
2
Q S
EⅡ
3
Q S
例 2:一个金属球A，半径为R1。它的外面套有一个同心 的金属球壳B，其内外半径分别为R2 和R3。 二者带电后 电势分别为VA 和VB。求此系统的电荷和电场分布。
设q1 、 q2 、q3 分别表示半径为R1 、R2
和R3的金属球面上的电荷的电量。
VA
q1
4 o R1
外电场 E0
感应电场 E '
2、导体静电平衡条件：
导体内部的电场 E
（1）导体内部任意一点的场强为零；
E E0 E' 0
(2) 导体表面上任意一点的场强垂直于该点表面。
（3）导体是等势体，其表面是等势面。
二、 静电平衡时导体上电荷的分布
1.实心导体:
E 0 q 0
实心导体内没有电荷，电荷
(1). 电容器的作用 储存电荷和电能的容器，
在电路中起着隔直流 通交流的作用。
(2)电容器的符号 C
各种电容器、电阻器和电位器
2.电容器的电容:
C Q Q
A B U
一个极板上 带的电量
两极板间的 电势差
电容是反映电容器容纳电荷本领大小的物理量。其大小， 与两导体的几何形状尺寸和两极板的相对位置有关，还与两极 板之间所填充的电介质材料有关，而与两极板带电量无关。
一、电容器的能量
实验现象： 电容器能储存能量
K ab
设电容器原不带电，充电过程相当
于将电荷元 dq 从一个极板向另一个 极板用外力不断搬移，累积形成 Q。
q
当充电到 q 时，相应电势差为 u， u dq
再迁移 dq，外力做功为：
q
q
dA udq dq C
C 是不变的固有属性。
1Q
Q2
充电过程的总功为： A udq C 0 qdq 2C
Q 2S
,
2
Q 2S
,
3
Q 2S
,
4
Q 2S
,
Q S
σ1 σ2
σ3 σ4
Q
E 2 o s 向左
Q
E 2 o s
向右
Q
E 2 o s 向右
EⅠ
EⅡ
EⅢ
两板间的电势差：
U Ed
当将一块导体接地时：
1
2
Q S
4 0
Q
S 高斯面S
2 3 0
σ1
σ2
Ep
1 2 o
2 2 o
3 2 o
0
电荷分布
++ + +
+ +
S+
+
++
2.空腔导体: 只能分布在导体的表面。
(1) 空腔内没有带电体: 则导体内没有电荷，内表面也没有电 荷，电荷只能分布在外表面上。
+
+
A
+S ++
+
B-- + +
(2) 空腔内有电荷 +q时,
+
+
++
内表面因静电感应出现等值异号的
电荷 -q ，外表面有感应电荷 +q
（电荷守恒）。
(A) C1 和 C2 极板上电量都不变. (B) C1极板上电量增大，C2极板上的电量不变. (C) C1极板上电量增大，C2极板上的电量减少. (D) C1极板上的电量减少,C2极板上电量增大.
分析：
C1
C2
C1↑
Q不变
பைடு நூலகம்
C=C1+C2 ↑
UQ C
↑ ↑
Q2 C2U1 C2U
Q1 Q Q2 ↑
+
+
+
q
+
+
q
q +
+
+
接地导体电势为零
e.g. 高压带电作业人 员穿的导电纤维编织 的工作服。
腔内电荷变化会引起腔外电场的变化。接 地可屏蔽内部电场变化对外部的电场影响。
e.g. 如家电的接地 保护； 半导体中的中 周外壳是金属的。
四、有导体存在时静电场的分析与计算
例1: 一金属平板带电量Q，面积S，当在其附近平行放
……
C1
Ci
Cn
2.电容器的并联
C1 C2 Ci Cn
1 1
C i Ci
C Ci
i
3.充满电解质的电容器
实验现象:
充电后，断开电源，当带电板 之间充满入电介质时:
E Eo / r
CQ U
U Uo /r
C rC0
电量不变
电介质对电容器的作用为： (1) 增大电容； (2) 增大耐压本领。
例1. C1 和 C2 两空气电容器并联起来接上电源充电.然后 将电源断开，再把一电介质插入 C1 中，则 [ C ]
B
E
dl
d
A
o
σ E=0
-σ
E
E=0
o
C s 0s
Ud
C与所带电量无关，与 电容器结构及形状有关
（2）球形电容器的电容
球形电容器的内、外半径分别为RA 、RB,
设带电量为Q
Q
E 40r 2 (RA r RB )
U A B
B
E dr
A
ε RA
RB
RB
Q
dr
RA 40r 2
Q (1 1)
例2 C1 和 C2 两空气电容器串联起来接上电源充电, 保持电源联接,再把一电介质板插入 C1 中,则
(A) C1上电势差减小,C2上电量增大； (B) C1上电势差减小,C2上电量不变； (C) C1上电势差增大,C2上电量减小； (D) C1上电势差增大,C2上电量不变。
C1
C2
[A]
第五节 静电场的能量
真空中 介质中
E0 dS S E dS
S
1
0
1
0
(q0
q0 自由电荷 q) 束缚电荷
变换：
真空中
各向同性均 匀介质中
E0 dS
S
E
E0
r
1
0
qi
r E dS
S
r 0 E dS
自由电荷
1
0 qi
qi
S
定义: D 0 r E E ------电位移矢量
Ao
R3
R1 R2
( R2 r R3 )
( r R3 )
第二节 静电场中的电解质
电介质就是绝缘物质。
一、电介质极化 1.实验现象: 充电后，断开电源，当带电板
之间充满入电介质时:
U Uo 定义：
U Uo / r E Eo / r
εr -----相对介电常数
或相对电容率
电量不变
εr随电介质的种类和状态的不同而不同，是电介 质的一种特性常数。
E - r
E0
E'
-+- -+- -+- -+- -+- -+
E0 0 / 0 E E0 / r
第三节电位移 介质中的高斯定理
一、电介质中的电场 E E0 E
极化电荷的场
(束缚电荷)
介质中的场 自由电荷的场
各向同性均匀电介质中 E E0
r
E0 E
E
二、电介质中的高斯定理 电位移矢量