现代控制理论 4-3 线性定常系统的结构分解(上)

⎪⎩y1 = [1 2]xc
⎩⎨⎧x&yc2
= =
xc −xc
4
MMAATTLLAABB相相关关函函数数
e⎡1 2 −1⎤
⎡0 ⎤
aA = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥, b = ⎢⎢0⎥⎥, c = [1 1 −1]
⎢⎣1 − 4 3 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
c tcy 可控性分解
A = [1 2 -1; 0 1 0; 1 -4 3]; b = [0; 0; 1]; c = [1 1 -1]; [Ac, bc, cc] = ctrbf(A, b, c)
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎢1 ⎢⎣0
4 0
− 2⎥⎥ 1 ⎥⎦
⎡1⎤
cb
= Pb
=
⎢⎣⎡b01
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦
[ c = cP−1 = c1 c2 ] = [1 2 −1]
可控子系统
不可控子系统
tcy ⎪⎨⎧x&c
=
⎡0 ⎢⎣1
− 4⎤
4
⎥xc ⎦
+
⎡2⎤ ⎢⎣− 2⎥⎦xc
+
⎡1⎤ ⎢⎣0⎥⎦u
第四章 线性定常系统的线性变换
ae §1 状态空间表达式的线性变换 c§2 非奇异线性变换的不变特性 tcy §3 线性定常系统的结构分解
ae 系统 c tcy 状态变量
可观 可控
不可观
可控可观 xco 可控不可观 xco
不可控 可观
不可控可观 xco
不可观 不可控不可观 xco
1
结结构构分分解解
tc 2，分别将两个子系统分解成可观与不可观子系统。
一一、、系系统统按按可可控控性性的的结结构构分分解解
返回
P-1变换
e 不可控系统
⎧x& = Ax + Bu ⎩⎨y = Cx
设 rank(S) = r < dim(A) = n
a[ ] 可控性矩阵 S = B
AB
A2B
L
A n-1B n×np
能求出 逆吗？
au
可控子系统
B1
c⎧x&
⎨
c
⎩y1
= =
A11xc C1xc
+
A12xc
+
B1u
y 不可控子系统
tc ⎧x&
⎨
c
⎩y 2
= =
A 22 x c C2xc
x& c ∫
xc
C1
A11
x& c
A12
∫ xc
C2
A 22
前页
y1 y
y2
返回
3
例1：对以下系统进行可控性分解。
⎡1 2 −1⎤
⎡0 ⎤
e A = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥, b = ⎢⎢0⎥⎥, c = [1 1 −1]
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎣⎡A011
[ ] e ⎪⎪⎩y = y = C1
A12 A 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡xc ⎢⎣xc
⎤ ⎥ ⎦
+
⎢⎣⎡B01
⎤ ⎥u ⎦
⇒
⎧x& ⎪⎨x&
c c
= A11xc + A12xc = A22xc
+ B1u
C2
⎡xc ⎢⎣xc
⎤ ⎥ ⎦
⎪⎩y = C1xc + C2xc = y1 + y2
⎢⎣1 − 4 3 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
a ⎡0 −1 −4⎤
[ ] 解： 可控性矩阵 S = b Ab A2b = ⎢⎢0 0
0
⎥ ⎥
c ⎢⎣1 3 8 ⎥⎦
rank(S) = 2 < dim(A) = n = 3 系统不可控
y n = 3
⎡0 −1 0⎤
tc r = 2 构造变换阵 P−1 = ⎢⎢0 0 1⎥⎥
⎤ ⎥ ⎦
+
PBu
返回
cA
=
PAP −1
=
⎡ ⎢ ⎣
A11 0
A12 A 22
⎤ ⎥ ⎦
r行 n-r行
y r 列 n-r列
B
=
PB
=
⎡ ⎢ ⎣
B1 0
⎤ ⎥ ⎦
r行 n-r行
p列
[ ] tc C = CP−1 = C1 C2 q行 A, B 的特殊形式是由P-1
r 列 n-r列
的结构决定的。
⎪⎪⎨⎧⎢⎣⎡xx&& cc
x = P−1x
x=
⎡xc ⎤
⎢⎣xc
⎥ ⎦
r 维可控状态子向量 n-r 维不可控状态子向量
e ⎧x& a ⎩⎨y
= =
Ax Cx
+
Bu
⇒
⎧x& ⎩⎨y
= =
Ax y=
+ Bu Cx
⇒
⎪⎪⎨⎧⎢⎣⎡xx&& cc ⎪⎪⎩y =
⎤ ⎥ ⎦
=
PAP
−1
⎡xc ⎢⎣xc
⎤ ⎥ ⎦
y
=
CP −1
⎡xc ⎢⎣xc
c1，从S中选出r个线性无关的列向量 s1, s2,L, sr ；
2，另外任选(n-r)个n维列向量sr+1, sr+2 ,L, sn ；
y 3，构成 (n× n)非奇异变换矩阵
9与 前 r 个 列 向
tc [ ] 量线性无关；
P−1 = s1 s2 L sr sr+1 L sn 9尽可能简单。
2
P-1变换
u
co
y
co
依据可控可观性，
e 将系统分解为
co
四个子系统
co
a ⎧x& = Ax + Bu c⎩⎨y = Cx + Du y 分解步骤：
特殊的线性变换
[ x ⇒ xTco xTco xTco
⎡xco ⎤
]xTco
T
=
⎢ ⎢
x
co
⎥ ⎥
⎢⎢⎣xxccoo
⎥ ⎥ ⎦
1，将系统分解成可控与不可控子系统；
p =1
⎢⎣1 3 0⎥⎦
9 与前2个列向量 线性无关；
9 尽可能简单。
n =3
⎡0 −1 0⎤
⎡ 3 0 1⎤
r = 2 P−1 = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ ∴ P = ⎢⎢−1 0 0⎥⎥
p =1
⎢⎣1 3 0⎥⎦
⎢⎣ 0 1 0⎥⎦
e ⎡0 −4 2 ⎤
aA
=
PAP −1
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=
⎡ ⎢ ⎣
A11 0
A12 A 22
5