数理统计误差分析实例

1. 假设检验步骤
• 总体数目（单、双），总体均值/方差是否已知 • 均值/方差检验，单/双侧检验
假设检验类型 求解基础数据 计算统计量 结果分析
• 比较样本统计量和临界值 • 得出结论
例1-1: 某企业安装了一台新的质检仪器,期望元件尺寸的均值保持在
原有水平,已知原有仪器的元件尺寸的均值为3.278寸,标准差为0.002 寸,抽查测量了10个新元件,所得数据如下: 3.276 3.278 3.281 3.281 3.278 3.279 3.286 3.280 3.279 3.277
B 2
3. 选用正交表、进行 正交设计, 确定试验 方案 该试验设计为三因 素二水平试验,故选 L4(23)正交表。 根据试验安排，因 素顺序入列,水平对号 入座。 4．实施试验、收集数 据资料
1 2
3 4
K11 K12 R1j S1j K21 K22 R2j S2j
1(1.6 ) 2(2.7 1 ) 2(85) 1 2 2
B1
A1 A2 390 380 390 410
B2
440 420 450 430
B3
370 350 370 380
试在显著性水平α=0.05下分析因素A和因素B对指标的主效应及交互效 应是否显著?
差异源 因素A 因素B
平方 和
自由度
均方
误差 总计
差异源 原料 种类 用量
平方和
533.33
自由度
1
④ 比对样本统计量和临界值
即认为新元件的尺寸均值与原来的元件 尺寸均值存在显著的差异。
例1-2: 某厂生产的钢丝质量一贯比较稳定，今从产品中随机抽取10 根，
检查其折断力，得数据如下:
578 572 570 568 572 570 570 572 590 584
钢丝折断力服从X ～ N( μ, σ 2) 问：是否可接受钢丝折断力的方差为 64 总体数目 总体均值 单总体 未知 方差检验 双侧检验
试分析粮食原料及用量害虫的引诱率的影响是否显著.
差异源 平方和
自由度
均方
因素A
因素B 误差 总计
差异源 平方和
自由度
均方
原料 种类
用量 误差 总计
26
146 28 200
2
2 4 8
13
73 7
1.86
10.43
差异源 原料种类 用量
1.86
18
18
6.94 6.94
10.43
在检验水平α=0.05的情况下,根据现有的数据资料,我们可以95﹪的把握推 断不同的粮食原料对储粮害虫的引诱率没有显著的影响,但原料的用量对 储粮害虫的引诱率有显著的影响。 进一步分析可知:原料的用量对储粮害虫的引诱率产生显著的影响,并且 以水平2为最优，即用量以增加5﹪为好。
总体方差
已知 64
单正态总体方差的显著性假设检验
② 计算临界值
④ 比对样本统计量和临界值
例1-3: 从两处煤矿各抽样数次,分析其煤矿中的粉尘污染情况,为此测 得各矿的含灰率(％)数据如下: 甲矿: 乙矿: 24.3 18.2 20.8 16.9 23.7 20.2 21.3 16.7 17.4
误差分析实例 正交试验设计实例 我们毕业啦
其实是答辩的标题地方
ห้องสมุดไป่ตู้
作者
X
一．误差分析实例
单正态总体均值的显著性假设检验
单正态总体方差的显著性假设检验 假设检验 双正态总体均值的显著性假设检验 （正态总体） 双正态总体方差的显著性假设检验 单因素方差分析 方差分析 双因素方差分析 有重复试验 无重复实验 F检验 Z/T检验 F检验 Z/T检验
ii)最优的试验方案与条件 由K值比较可知：对大块率而言 相对于因素A有K(1)11> K(1)12,故按指标越小越好应取最 优水平A2; 相对因素B有K(2)11> K(2)12故应取最优水平B2; 相对因素C有K(3)12> K(3)11故应取最优水平C1, 从而最优的爆破参数为: A2B2C1 对炸药单耗而言， 相对于因素A有K(1)21> K(1)22,故按指标越小越好应取水平 A2; 对因素B有K(2)21> K(2)22故应取水平B2; 对因素C有K(3)21> K(3)22故应取水平C2, 从而最优的爆破参数为:A2B2C2
5.78
5.50 5.09 1.93 1.83 1.70 0.69 0.23
5.66
6.08 4.63 1.89 2.03 1.54 1.45 0.48
5.56
5.30 5.51 1.85 1.77 1.84 0.26 0.09
比较极差的大小，可知
RB > RA > RC 主-------------------------------------→次
895.4
223.85
3.776667
由此可知,不同的中小喉管结构的比油耗有着显著的 差异,并且从行平均的结果可以看出,改进方案1的比 油耗最小,故采用此结构有可能节省油耗
双因素方差分析 无重复试验
例2-2:为研究不同粮食和数量对储粮害虫的引诱率,现考察用三种不
同的粮食原料以及三种不同的用量对害虫的引诱情况,为此作试验并 测得相关数据如表所示（表中数据为引诱的害虫头数）: 用量 粮食原料 原料1 原料2 原料3 现用量 59 63 61 1 增加5﹪ 70 74 66 2 增加8﹪ 66 70 71 3
2 1
大块率(n %) 46.73 46.15 35.46 34.51 35.09 45.78 T1=81.24 6.1 5.53 5.16 ST=23.064125 9.302 7.645 6.6564 T2=5.725 5 23 ST=0.003156 总炸药单耗(q kg/m) 8 2.936 2.93 2.915 2.789 2.795 2.81 0.073 0.067 0.053 0.001 0.001 0.0007 33 12
因素 原结构比油耗 改进方案1 比油耗 改进方案2 比油耗 1 231 2 3 4 5 6 7 8
232.8 227.6 228.3 224.7 225.5 229.3 230.3
222.8 224.5 218.5 220.2 224.3 226.1 221.4 223.6
差异源 平方和 组间 组内 总计
假定各煤矿含灰率均都服从正态分布,且方差相同,试判断甲乙两煤 矿的含灰率是否存在显著差异?（取检验水平α=0.05）. 总体数目 总体方差 双总体
2 2 未知 1 2
均值检验
t检验
双正态总体均值的显著性假设检验
21.5 7.505 5
18 2.593 4
例1-3 ② 计算临界值
③ 计算样本统计量，t检验
B(温度℃)； A(NaOH浓度/%), C(时间/min)
7 6
5
膳 食 纤 维
4 3 2 1 0 6.00% 9.00% 12.00%
/g
结论 提取温度对大豆膳食纤维产率的影响非常显著，NaOH浓 度对其影响也比较显著。并且可确定最佳提取条件为6% NaOH，提取温度50℃，提取时间为40min。
观测数 求和 现用量 3 183
平均 61
方差 4
增加5﹪
增加8﹪
3
3
210
207
70
69
16
7
双因素方差分析 有重复试验
例2-3:．抗牵拉强度是硬橡胶的一项重要性能指标,现试验考察下列两
个因素对该指标的影响. A(硫化时间): A1(40秒) A2(60秒) B(催化剂种类): B1(甲种) B2(乙种) B3(丙种) 以上六种水平组合下,各重复做了两次试验,测得数据(单位:kg/cm2)如表:
④ 比对样本统计量和临界值
例1-4: 某物品在处理前与处理后,分别抽样检测其含脂率的数据资料
如下: 处理前: 0.19 处理后: 0.15 0.13 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.27
假设处理前后的含脂率服从正态分布,试判断处理前后的含脂率的标 准差是否有显著差异?(取显著水平0.01) 总体数目
总体均值
双总体
未知
方差检验
F检验
双正态总体方差的显著性假设检验
例1-4
0.24 0.0091
0.13 0.0039
7 6
② 计算临界值
8 7
③ 计算样本统计量，F检验
例1-4 ④ 比对样本统计量和临界值
2. 方差分析步骤
方差分析类 型
• 因素数目（单、双） • 双因素有无重复试验 • 建立方差分析表 • 填充方差分析表
因素 水平
孔径 A(mm) 56 85
炮孔密集系数 B 1.6 2.7
起爆方式 C 孔底 孔口
1 2
孔径 因素 试验序 号 A 1 1(56)
抛空密 集系数
起爆方式 C 3 1(孔底) 2(孔口) 试验结果 大块率(n %) 23.55 23.18 22.6 11.91 总炸药单耗 (q kg/m) 1.528 1.408 1.402 1.387
1
2 3 4 5
1（6.0）
1 1 2（9.0） 2
1
2 3 3 1
1（40）
2（50） 3（60） 1 2
1（30）
2（40） 3（50） 2 3
6
7 8 9
2
3（12.0） 3 3
2
2 3 1
3
1 2 3
1
3 1 2
1.38
NaOH 浓度/% A
温度/℃ B
时间/min C
K1
水平和 K2 K3 k1 水平 均值 k2 k3 极差 Rj
NaOH浓度（％）
制定因素水平表
因素 水平
6
--
12
处理温度 （℃）
40 50 60
处理时间 （min）
30 40 50
NaOH浓度 （％）
6 9 12
1 2 3
本实验三因素三水平，可采用L9(34)正交 表进行正交 实验（其中置空一列）。
实验号 NaOH 浓度/% 空列 温度/℃ 时间/min 膳食纤维/g 2.04 2.06 1.68 1.86 2.07 1.57 1.76 1.95
NaOH 浓度/%
40℃
50℃
60℃
30min 40min 50min
温度/℃
时间/min
例2-2爆破优化试验方案的正交设计 1．试验目的与考察指标 试验的目的是通过优化爆破方案以提高爆破质量， 从而降低采场炸药单耗(q)或爆破大块产出率(即大 块率n)，所以该试验设计的考察指标为:炸药单耗和 大块率，其值应尽可能小，或者说越小越好。 2. 制定因素水平表 根据试验条件,试验方案设计挑取三个因素,即孔径 、炮孔密集系数和起爆方式,每一个因素选两个水平。
计算统计量
结果分析
单因素方差分析
例2-1: 化油器改进方法的方差分析： 某种型号化油器的原中小喉管
的结构油耗较大,为节约能源,设想了两种改进方法以降低油耗指标---比油耗,现对用各种结构的中小喉管制造的化油器分别测得一批数据, 试判断中小喉管的结构对比油耗的影响是否显著,并提出改进方案.
试验数据表
（2）极差分析 i)因素主次 由极差比较可知：R11> R12> R13(R21> R22> R23) 或因素平方和的大小S11>S12>S13(S21> S22> S23)， 故因素的主次为:
即因素孔径的影响最大、炮孔密集系数次之， 而起爆方式的影响最小。 ii)最优的试验方案与条件 由K值比较可知：对大块率而言 相对于因素A有K(1)11> K(1)12,故按指标越小越好应 取最优水平A2; 相对因素B有K(2)11> K(2)12故应取最优水平B2; 相对因素C有K(3)12> K(3)11故应取最优水平C1,从而 最优的爆破参数为: A2B2C1
均方
533.33 3.556
9316.67
2
4658.33
31.06
交互作用
16.67
2
8.33
0.056
误差
900
6
150
总计
10766.67
11
差异源 因素A 3.556 5.99
因素B
31.06
0.056
5.14
5.14
显然，因素B（催化剂种类）对橡胶的抗牵拉强度有显著 影响，而因素A对这一指标没有显著影响。A和B的交互作 用也并不显著。
问新安装仪器的元件尺寸均值与原有仪器元件尺寸均值有无显著 差异?(显著水平α=0.05) 总体数目 总体均值 单总体 已知 3.278 均值检验 双侧检验
总体方差
已知 0.0022
U检验
若总体方差未知用T检验
单正态总体均值的显著性假设检验
例1-1：
② 计算临界值
例1-1： ③ 计算样本统计量，U检验
二．正交试验设计实例
实验设计
极差分析
简单正交试验 方差分析 趋势图绘制
单指标评价实例 多指标评价实例
例2-1 大豆膳食纤维是一种具有潜在应用价值的生 理活性物质。现以NaOH浓度，处理温度及时 间为考察因素，以膳食纤维产 率为指标，进 行正交 实验并找出最佳提取条件。 处理温度（℃） 处理时间（min） 40 -30 -60 50
自由度
均方
差异源 平方和 组间 组内 155.65 85.34
自由度 2 13
均方 77.82 6.56 11.86
总计
240.98
15
组 原结构比 油耗
观测数 8
求和 1829.5
平均
方差
228.6875 7.518393
改进方案1 比油耗
改进方案2 比油耗
4
886
221.5
7.126667
4