向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结
一、向量
1、定义
向量是给定空间中的有限长度和方向的量，用大写粗体字母表示，如$a$。
2、标量与向量
标量只有大小，没有方向，符号用小写粗体字母表示，如$a$；向量有大
小和方向，符号用大写粗体字母表示，如$A$。
3、分量的概念
向量可以分解为几个分量，每个分量都是标量，如三维空间中的向量
$A=(a_x,a_y,a_z)$，其中$a_x,a_y,a_z$分别是$A$的$x,y,z$坐标分量。
二、基本公式
1、单位向量：
单位向量是模长为1的向量，用$i,j,k$分别代表三维空间中的$x,y,z$坐
标轴上的单位向量。
2、向量加法：
对于两个向量$A(a_x,a_y,a_z)$、$B(b_x,b_y,b_z)$，其和为
$A+B=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$。
3、向量数乘：
对于向量$A(a_x,a_y,a_z)$与标量$k$，其乘积为$kA=(ka_x,ka_y,ka_z)$。
4、向量点积：
对于两个向量$A(a_x,a_y,a_z)$、$B(b_x,b_y,b_z)$，其点积为
$A·B=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$。
5、向量叉积：
对于两个向量$A(a_x,a_y,a_z)$、$B(b_x,b_y,b_z)$，其叉积为
$A×B=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$。
(完整版)平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法 一、平面向量两个定理 1。平面向量的基本定理 2.共线向量定理. 二、平面向量的数量积 1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0. 2。a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则 （1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。 （2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。 （3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终 点坐标减去起点坐标。 （4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。 四、向量平行(共线）的充要条件 221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=. 五、向量垂直的充要条件 12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。 六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +=== +七、向量中一些常用的结论 1.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。 2.三角形“三心"的向量表示 (1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。 (2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心. （3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心； 3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=． 4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+ 5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ± 七．向量问题中常用的方法 (一）基本结论的应用 1。设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外,2 16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣= （A )8 (B ）4 （C ） 2 （D ）1
向量知识点大全
向量的各个知识点及对应分析 向量的基本概念与运算 一、基本理论 1、向量概念 （1）向 量：既有方向，又有大小的量叫做向量 （2）向量的模：向量的大小称为向量的模，向量的大小即，记作|AB |或｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量：长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的，记为0 。 （4）单位向量：长度等于单位1的向量叫单位向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 2、共线向量 （1）基 线：通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线 （2）共线向量第一定义：如果向量的基线平行或重合，则称这些向量共线或平行。 共线向量第二定义：方向相同或相反的向量 （3）零向量与任何向量共线。 （4）共线向量可以分为以下四种： ()A 方向相同，模相等 ()B 方向相同，模不等 ()C 方向相反，模相等 ()D 方向相反，模不等 注意：向量的共线与平行是等价的，要注意与直线的平行与共线相区别。 3、向量的表示 （1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB 。 （2）整体法：用一个小写的英文字母来表示，如a 。 （3）坐标法：用坐标来表示向量。 4、向量的向量加法 （1）平行四边形法则：使两个已知向量始点重合，和向量就是两向量所夹的对角线，而差 向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则：其特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 的有向线段就表示这些向量的和；当两个向量的起点公共时，用平行 四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量知识点与公式总结
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移. 举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r 按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r ，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r 共线 的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫 做平行向量，记作：a r ∥b r ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0r )； ④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r 、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r 的相反向量记作a -r . 举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r r . （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =u u u r u u u u r ，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r . （5）若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r . （6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后；
向量知识点归纳与常见题型总结
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞ 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||b a ||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AC BC AB =+;CB AC AB =-
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全 向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。 本文将介绍数学向量的基本概念、运算规则以及常见应用，帮助读者全面了解数学向量。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，常用有向线 段表示。向量通常用字母加上一个箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。 2. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0→，它没有方向，但是可以指向任意点。 3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。若AB→=(x1, y1)，则|AB→|=√(x1²+y1²)。 4. 单位向量：单位向量是模长为 1的向量，常用e表示，如e→=(1, 0)和e→=(0, 1)。 二、向量的运算规则 1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即 AB→+BC→=AC→和AB→+BC→=AC→+CD→。 2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法 是将向量的每个分量乘以一个实数，得到新的向量。若k为实数，向量AB→的数 量乘法为kAB→，即kAB→=(kx1, ky1)。 3. 向量的点乘法：向量的点乘法是将两个 向量的对应分量相乘后相加。向量AB→和CD→的点乘法为AB→·CD→=x1x2+y1y2。 4. 向量的叉乘法：向量的叉乘法是将两个向量的长度和夹角通过向量积公式得到新的向量。向量AB→和CD→的叉乘法为AB→×CD→=(y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2- x2y1)。 三、向量的常见应用 1. 几何应用：向量在几何中常用于表示线段、直线、面、 多边形等几何图形的性质和关系。 2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形 学中常用于表示点、方向、颜色等图像元素，用于实现图像的渲染和处理。 4. 数 据分析：向量在数据分析中常用于表示数据集合，通过向量的运算和变换，可以进行数据的统计和分析。 通过以上的介绍，相信读者对数学向量有了更清晰的认识。数学向量作为数学 的基础概念之一，在数学及其应用领域都有着重要作用。希望本文对读者理解和掌握数学向量有所帮助。
向量的知识点归纳总结
向量的知识点归纳总结 一、向量的定义和表示 向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为 a=
若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得 k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。其中，n表示向量的个数。 四、向量的投影和正交分解 1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。公式为projba=(a·b/|b|^2)b。 2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba， a⊥=a−projba。 五、平面几何中的应用 1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。 2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。 3. 平面内角度：两个非零平面内角度为θ的向量a和b， cosθ=a·b/|a||b|。 4. 平面内点到直线距离：设P为平面内一点，L为平面内一条直线，则P到L的距离为|projL P⃗ |。 5. 平面内两直线夹角：设L1和L2为平面内两条直线，它们的夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a、b分别为L1和L2的方向向量。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结 第一篇：向量基础知识与向量积 一、向量的定义 向量是由大小和方向两个量描述的，常用箭头表示，箭 头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。 二、向量的表示 向量a可以表示成a = (a1, a2, ……, an)，其中ai是向量a在第i个坐标轴上的分量。向量的长度表示为|a|。 三、向量的基本运算 1. 向量加法 向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，a + (b + c) = (a + b) + c。 2. 向量数乘 向量数乘就是一个向量与一个标量的积，用一个实数k 乘以一个向量a得到新向量，记作ka。若k > 0，则ka和a 同向；若k < 0，则ka和a反向；若k = 0，则ka是零向量。 3. 向量减法 向量减法指的是在向量加法的基础上，可看作是a减去 向量b。a - b = a + (-b)，即把向量b取反加到向量a上。 4. 点积 向量a和向量b的点积表示为a·b = a1b1 + a2b2 + …… + anbn。如果a·b = 0，则称向量a、b垂直或正交。点积具有交换律和分配律，且a·a = |a|^2。 5. 叉积
只有三维向量才可以进行叉积运算，叉积的结果是一个 向量。向量a和向量b的叉积表示为a×b，其大小为|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ是向量a、b构成的平面的夹角。向 量a×b的方向沿着a、b所在平面的法线方向，满足右手法则。 四、向量的应用 向量的应用广泛，如计算物体的速度、加速度、位移、 位移速率等。在计算机图形学中，向量被广泛应用于三维建模、平面计算、灯光计算等领域。 向量积 向量积也称叉积，是一个向量与另一个向量在垂直于这 两个向量所张成平面上的向量积。叉积运算只适用于三维向量。 1. 向量积的定义 向量a和向量b的向量积表示为a×b，其大小为|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ是向量a、b构成的平面的夹角。向 量a×b的方向沿着a、b所在平面的法线方向，满足右手法则。 2. 向量积的运算 两个向量的叉积结果是一个向量，其大小等于两个向量 围成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成的平面。叉积运算具有反对称性，即a×b = -b×a。 3. 向量积在求解几何问题中的应用 (1) 求三角形面积 三角形的面积等于任意两边所构成的平行四边形面积的 一半，所以可以用一个向量a、b的叉积来求解三角形面积。S = 1/2|a×b|。 (2) 求四面体体积 四面体的体积等于其中任意三个不在同一平面上的棱所 构成的四面体的体积的一半。所以可以用三角形面积公式以及
向量知识点总结
向量知识点总结 向量是在数学中非常重要的概念，它在各个学科和领域中都有广泛的应用。本文将总结向量的基本概念、性质以及相关的运算法则。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示，常表示为字母加上一个箭头，例如a →。向量可以位于空间中的任何位置，也可以表示为起点和终点之间的有向线段。 2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，在二维平面上用(x, y) 表示，在三维空间中用(x, y, z)表示。也可以用点表示，表示 为起点和终点的坐标差。 二、向量的性质 1. 向量的长度：向量的长度又称为模，在二维平面上可以用勾股定理计算，即向量a的长度是√(x^2 + y^2)。在三维空间中，向量a的长度是√(x^2 + y^2 + z^2)。 2. 零向量：长度为0的向量称为零向量，记为0 → 或者O →。零向量的方向是任意的，但是没有特定的起点和终点。 3. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过除以向量的长度得到。常用的单位向量有i →、j →和k →，它们分 别沿着x轴、y轴和z轴的正方向。 4. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们称为平行向量。平行向量可以用数乘表示，即一个向量乘以一个实数，结果是一个平行于原向量且长度变化的新向量。 5. 直角向量：如果两个向量的内积为0，那么它们称为直角向量。直角向量垂直于彼此，可以用点乘表示。
三、向量的运算法则 1. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即a → + b → = b → + a →，(a → + b →) + c → = a → + (b → + c →)。 2. 向量减法：向量减法可以通过向量加法和反向量来实现，即 a → - b → = a → + (-b →)。 3. 数乘：向量与实数相乘，即将每个分量都乘以实数，得到一个新的向量。 4. 内积：内积也叫点积，表示为a → · b →。内积满足交换律 和分配律，即a → · b → = b → · a →，(a → + b →) · c → = a → · c → + b → · c →。 5. 外积：外积也叫叉积，表示为a → × b →。外积满足反交换 律和结合律，即a → × b → = -b → × a →。 四、应用领域 1. 物理学：向量在物理学中广泛应用，用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 2. 几何学：向量在几何学中用于描述平行、垂直、共线等关系，还用于计算向量的模和夹角。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形学中用于描述物体的位置和旋转，也用于计算光照和颜色。 4. 金融学：向量在金融学中用于风险分析、投资组合管理等方面的模型构建和分析。 综上所述，向量是一种有大小和方向的量，它具有长度、零向量、单位向量、平行向量和直角向量等性质。向量的运算法则包括加法、减法、数乘、内积和外积。向量在物理学、几何学、
高中数学平面向量知识点与典型例题总结
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos |||| a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 （7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （8）若ma mb =，则a b =。
向量知识点汇总
向量知识点汇总 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向 2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量， ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ 5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8．向量加法的交换律：+=+ 9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 13．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb 14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 15．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 16．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 17．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=
数学必背向量知识点
数学必背向量知识点 数学必背向量知识点 在日常的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺收集整理的数学必背向量知识点，欢迎阅读与收藏。 数学必背向量知识点1 1、向量的基本概念 （1）向量 既有大小又有方向的量叫做向量。物理学中又叫做矢量。如力、速度、加速度、位移就是向量。 向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点） （5）平行向量 方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。平行向量也叫做共线向量。 若向量a、b平行，记作a∥b。 规定：0与任一向量平行。 （6）相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 ①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可。 ②向量a，b相等记作a=b。 ③零向量都相等。 ④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关。 2、对于向量概念需注意
（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小。 （2）向量共线与表示它们的有向线段共线不同。向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上。 （3）由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。 3、向量的运算律 （1）交换律：α+β=β+α （2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ） （3）数量加法的分配律：（λ+μ）α=λα+μα （4）向量加法的分配律：γ（α+β）=γα+γβ 高中数学学习方法 掌握数学学习实践阶段：在高中数学学习过程中，我们需要使用正确的学习方法，以及科学合理的学习规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法，曾经说过，尤其是高阶段的数学学习数学，必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始，一周后的头几天，在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步，最好不要去追求所谓的“困难”除了（感兴趣），不利于解决问题方法掌握连续性。同时，根据时间和课程安排的长度适当的审查，只有这样才能记住和使用在长期学习数学知识，不要忘记前面的学习。 高中数学学习技巧 不乱买辅导书。 关于数学，我一本辅导书都没买（高三），从高三发的第一张卷子起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的因为高三复习的时候都
向量的知识点归纳总结
向量的知识点总结 1. 概述 向量是数学中一种重要的概念，用于表示具有大小和方向的量。在物理、几何、线性代数等领域有广泛的应用。本文将对向量的定义、性质、运算、线性相关性、内积、向量空间等知识点进行总结。 2. 定义 向量可以看作一个有序的数字列表或坐标。一般表示为一个小写的字母带上一个箭头，如a⃗。向量有大小和方向两个重要属性。 3. 向量的表示 向量可以用不同的方式进行表示： - 笛卡尔坐标：用 n 个实数表示一个 n 维向量。 - 列向量：将向量的分量按列排列成一个列向量。 - 行向量：将向量的分量按行排列成一个行向量。 4. 向量的性质 向量有以下基本性质： - 零向量：大小为 0 的向量，表示为0⃗⃗。 - 单位向量：大小为 1 的向量，长度为 1。 - 相等性：两个向量相等当且仅当它们对应的分量相等。 - 加法交换律：a⃗+b⃗⃗=b⃗⃗+a⃗。 - 加法结合律：(a⃗+b⃗⃗)+c⃗=a⃗+ (b⃗⃗+c⃗)。 5. 向量的运算 向量的运算包括加法、减法和数乘： - 向量加法：将两个向量对应的分量相加得到的新向量。 - 向量减法：将两个向量对应的分量相减得到的新向量。 - 数乘：将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到的新向量。
6. 线性相关性 向量的线性相关性描述了向量之间是否存在线性关系： - 线性相关：存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 - 线性无关：不存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 线性相关性可以通过计算行列式或者高斯消元法进行判断。 7. 内积 向量的内积（点积）是两个向量相乘得到的标量值。内积有以下性质： - 结合律： (a ⃗⋅b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅(b ⃗⃗⋅c ⃗) - 分配律：(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗ - 交换律：a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗⋅a ⃗ 内积的计算公式为：a ⃗⋅b ⃗⃗=a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n 8. 向量的模长 向量的模长（长度）是指向量的大小。对于一个 n 维向量 a ⃗，其模长的计算公式 为：|a ⃗|=√a 12+a 22+⋯+a n 2 9. 单位向量和方向向量 单位向量是模长为 1 的向量，方向向量是指向特定方向的向量。单位向量可以通过将向量除以其模长得到。 10. 向量的投影 向量的投影可以将一个向量投影到另一个向量上，得到的投影向量与目标向量垂直。投影的计算公式为：proj b ⃗⃗a ⃗=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗| 11. 向量的夹角 向量的夹角是指两个向量之间的夹角。夹角的计算公式为：cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇） 第一篇：高中数学有关平面向量的公式的知识点总结 定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是a•b=0。 a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则
高中数字必修二(平面向量)知识点及定理公式
高中数学必修二（平面向量）知识点及定理公式 一、向量的概念：既有大小，又有方向的量。 二、特殊向量 1.长度为0的向量叫做零向量，记作0. 2.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。 三、向量间的关系 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，记作a//b 。 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b 。 四、向量的加法 五、|a|,|b|与|a+b|的关系 一般地，||||||b a b a +≤+，当且仅当a,b 方向相同时等号成立。 六、向量加法的运算律 1.交换律：a+b=b+a 2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 七、向量的减法 )()(b a b a a a -+=-=-- 八、向量的数乘 1.||||||a a λλ=：当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同。当λ<0时，与a 的方向相反。 2.运算律：b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)()3())(2()()()1( 向量a b b a a λ=≠共线的充要条件：与)0(。 B C A a+b a b A B C D a b a+b O b a a-b
九、向量的数量积 θcos ||||b a b a =• 当0=θ时，a 与b 同向，||||b a b a =• 当πθ=时，a 与b 反向，||||b a b a -=• 当2π θ=时，a 与b 垂直，0=•b a 特别的：a a a a a a •==•||||2或，||||||b a b a ≤• 数量积的运算律： c b a c b a b a b a a b b a •+•=•+•=••=• c ))(3() ())(2()1(λλ 十、平面向量坐标基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2。 2211e e a λλ+= 十一、向量的坐标表示 向量a 坐标:),(y x a = 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 A （x1,y1)，B(x2,y2) )12,12()1,1()2,2(y y x x y x y x A B --=-=→ 十二、平面向量的加、减运算的坐标表示 ) 21,21()21,21(y y x x b a y y x x b a --=-++=+ 十三、平面向量数乘运算的坐标表示 1221) 2,2()1,1) ,(=-===y x y x y x y x b a y x a λλλλλ（表示： 向量共线充要条件坐标
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结 一、基础概念 向量是由大小和方向两个方面表示的量，可以用有向线段表示。 向量的模(长度)是一个标量，用||a||表示，其中a为向量。模为0的向量称为零向量。 向量的方向由其符号决定，同方向向量与相反方向向量称为“对向向量”。 二、向量的加法 向量加法：向量加上另一个向量就是在另一个向量的末端从起点开始画一个同样大小的向量。 可加性：若a、b、c为向量，那么a+b=c，即a+b=c-b。 交换律：一个向量加上另一个向量等于另一个向量加上第一个向量。 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 三、向量的减法 向量减法：一个向量减上另一个向量等于另一个向量的相反数加上第一个向量。 四、向量的数量积 向量的数量积：向量 a 与标量 k 的积乘积表示为 ka 。 向量 a 与向量 b 的数量积表示为a·b 。 夹角公式：a·b=|a||b|cosθ。 五、向量的叉积
向量的叉积可以得到一个新的向量，叉积符号为叉乘号-×。 向量的叉积表示为a×b，结果垂直于a和b所在的平面，方向通过右手定则判断。 六、平面向量 平面向量：一个平面向量的模表示这个向量所代表的有向线段的长度，而朝向的方向则由向量的起点指向终点。 标准单位向量i、j 满足|i|=|j|=1，同时是相互垂直的。 平面向量加减的公式与三维向量相同。 七、空间向量 空间向量：空间向量是三维向量，定义为一个向量的起点和终点可以在三维空间中的任意两个点之间往返移动。 空间向量加减的公式与平面向量相同。 空间向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ。 八、向量的应用 平移变换：平移是向量应用最广泛的变换之一，在2D空间或3D空间中使用相同的基础技巧。 投影：当我们需要在三维空间中绘制3D图像时，我们经常需要计算平行于某个坐标轴的投影。
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结 空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。以下是一些知识点和公式的总结: 一、向量的数量积与向量积 1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或 点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向 遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。 2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积) 定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右 手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。 二、向量的混合积 1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个 新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。 2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。 三、空间平面及其方程 1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为 Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点， C 和 D 为已知常数。 2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，
n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。 四、空间直线及其方程 1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。 2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为 x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。 五、空间曲面及其方程 1. 空间曲面的方程：空间中一个 n 维曲面的方程通常表示为f(x,y,z)=0，其中 f 是一个 n-1 阶多项式。 2. 曲面的参数方程：空间中一个 n 维曲面的参数方程通常表示为 (x(t),y(t),z(t)),其中 t 是一个参数，x、y、z 分别为曲面上的点的 x、y、z 坐标。
向量的计算知识点与公式总结
向量的计算知识点与公式总结 ，文本结构清晰 向量是一种物理方面的重要概念，它在各种科学问题的研究中被广泛使用，其 中最重要的是向量计算，它是对两个向量进行算术运算，例如加减乘除、求模和叉乘，以表示两个向量在空间中的特性和相互关系。 向量的计算主要分为点积 (Dot product) 与叉乘 (Cross Product) 两个计算 方式。点积是两个向量的数量乘积，叉乘是两个向量的向量积，两者的计算公式分别为： 点积： $A \cdot B =|A||B|cos(\theta) =AxBx+AyBy+AzBz$ (其中$A = (Ax,Ay,Az)$和 $B = (Bx,By,Bz)$ ） 叉乘：$A \times B =(AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx)$ 从点积的计算公式可以看出，点积是一个数量乘积，它等于两个向量平行时的 数量积，它可以表明两个向量的夹角。叉乘的计算公式可以看出，它是两个向量的向量积，它可以衡量两者之间的相对方位，可以求出两个向量的法向量，从而确定法线方程。 此外，还有两个重要的运算方式——欧几里德距离 (Euclidean Distance)和 曼哈顿距离 (Manhattan Distance)。欧几里德距离是最短距离的定义，计算公式 如下：$D = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$（其中$A = (x_1,y_1,z_1)$和 $B = (x_2,y_2,z_2)$ ），用于表示两点之间的距离，它可以 用来衡量两点之间的相对距离。曼哈顿距离是一种比较简单的距离度量，计算公式如下：$D = |x_2-x_1|+|y_2-y_1|+|z_2-z_1|$（其中$A = (x_1,y_1,z_1)$和 $B = (x_2,y_2,z_2)$），它可以表示两点之间的绝对距离，可以用来比较两点之间的距离大小。 总的来说，向量的计算是研究向量在空间中的几何特征和相互关系的重要工具，有点积、叉乘、欧几里德距离和曼哈顿距离等多种运算方式。这些计算方式的公式为：点积：$A \cdot B =|A||B|cos(\theta) =AxBx+AyBy+AzBz$，叉乘：$A \times B =(AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx)$，欧几里德距离：$D = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$，曼哈顿距离：$D = |x_2- x_1|+|y_2-y_1|+|z_2-z_1|$。这些公式可以帮助我们解决各种物理和数学问题， 为他们的研究提供重要参考。
高一向量所有知识点公式
高一向量所有知识点公式 在高中数学中，向量是一个重要的概念。它不仅可以用来描述 物理力学中的力和位移，还可以应用于几何、代数、微积分等领域。本文将就高一阶段学习的向量相关知识点和公式进行总结， 帮助学生更好地理解和掌握这一概念。 一、向量的定义和表示 向量是有大小和方向的，它与线段有着相似的性质。向量通常 用一个有向线段来表示，记作AB→，其中A是起点，B是终点。向量的大小通常用向量的模来表示，记作|AB→|。向量的方向可以用与其同向的单位向量来表示，或者使用与之相等的向量来代替。 二、向量的加法和减法 向量的加法和减法是向量运算中的基本操作。向量加法即将两 个向量的起点重合，然后将它们的终点连接起来，得到一个新的 向量。向量减法则是将减去向量的相反向量。 向量的加法和减法遵循以下规律：
1. 交换律：A + B = B + A 2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) 3. 零向量：A + 0 = 0 + A = A 4. 相反向量：A + (-A) = (-A) + A = 0 三、数量积和向量积 数量积又称点积或内积，它是两个向量的数量乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。数量积的计算公式如下： A·B = |A||B|cosθ 其中A、B分别为向量的模，θ为两个向量之间的夹角。 向量积又称叉积或外积，它是两个向量的数量乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积。向量积的计算公式如下： |A×B| = |A||B|sinθ 四、向量的投影
向量的投影指的是一个向量在某个方向上的投影长度。通过投影操作，我们可以将一个向量分解为与另一个向量垂直和平行的两个部分。 向量的投影可以用下列公式计算： 投影长度= |A|cosθ 其中|A|为待投影向量的模，θ为待投影向量与投影方向之间的夹角。 五、平面向量的共线和垂直 当两个向量的数量积等于0时，它们互相垂直；当两个向量的向量积等于0时，它们共线。 六、向量的坐标表示 在直角坐标系中，向量可以用坐标表示。一个二维向量A可以表示为(Ax, Ay)，其中Ax为在x轴上的投影长度，Ay为在y轴上的投影长度。一个三维空间中的向量A可以表示为(Ax, Ay, Az)。