椭圆的标准方程
椭圆定义及其标准方程
椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。
椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。
椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。
在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。
首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。
在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。
另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。
例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。
这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。
总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。
通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求椭圆是平面上一个点到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在解析几何中，椭圆是一种常见的曲线，它具有许多重要的性质和应用。
要求椭圆的标准方程，我们需要了解椭圆的定义和性质，并通过推导来得到其标准方程。
首先，我们来看一下椭圆的定义。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义可知，对于椭圆上任意一点P(x, y)，它到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的中心为原点O(0, 0)，根据椭圆的定义可知，两个焦点的横坐标分别为c和-c，纵坐标均为0。
设椭圆上一点P(x, y)，则根据点到焦点的距离公式可得：√((x-c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a。
整理得：√((x-c)² + y²) = 2a √((x+c)² + y²)。
两边平方得：(x-c)² + y² = (2a √((x+c)² + y²))²。
展开得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) +(x+c)² + y²。
化简得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) + x² + 2cx + c² + y²。
消去相同的项得：4cx = 4a² 4a√((x+c)² + y²)。
整理得：cx = a² a√((x+c)² + y²)。
椭圆的标准方程
试一试
椭圆的标准方程
焦点在 x Байду номын сангаас点在 y
2 x2 y 轴上椭圆的标准方程： 轴上椭圆的标准方程： + b2 = 1(a> b > 0) a2 y2 x2 轴上椭圆的标准方程： 轴上椭圆的标准方程： + b2 = 1(a> b > 0) a2
（1）椭圆上的点的坐标是方程的解. 椭圆上的点的坐标是方程的解. （2）以方程的解为坐标的点在椭圆上. 以方程的解为坐标的点在椭圆上.
探究拓展
F(1,0) 设动点 P到点 的距离是到直线x = 9 的 1 距离的 3，求点P的轨迹方程，并判断 的轨迹方程， 此轨迹是什么图形？ 此轨迹是什么图形？ 2 2 2 a −cx= a (x−c) + y 你还有其它方法得到椭圆吗？ 你还有其它方法得到椭圆吗？
课堂小结
这节课你有哪些收获？
例1：判断下列椭圆的焦点在哪个轴上， 判断下列椭圆的焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标. 并写出焦点坐标. 2 x2 x2 y 2 (1) + y =1 (2) + =1 3 12 9
2 + 2 (3)25x 16y = 400
2
y x2 (4) 2 + 2 =1 m m +1
练一练
求适合下列条件的椭圆的标准方程. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
椭圆标准方程推导过程
椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0),F2(c,0)（c＜a),点P(x,y),则PF1＋PF2=2a，即√((x＋c)²＋y²)＋√((x－c)²＋y²)=2a，整理得(x＋c)²＋y²＋(x－c)²＋y²＋2√((x＋c)²＋y²)√((x－c)²＋y²)=4a ²，即2x²＋2y²＋2√((x²＋2cx＋c²)＋y²)√((x²－2cx＋c²)＋2y²)=4a²，整理得x²＋y²＋√((x²＋y²)＋2cx＋c²)√((x²＋y²)－2cx＋c²)=2a²，整理得(x²＋y²)²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，即x²＋y²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，整理得x²(a²－c²)＋y²a ²＝a²(x²＋y²)，即(x²/a²)＋(y²/b²)＝1，其中b²=a²－c²。
椭圆的标准方程为(x²/a²)＋(y²/b²)＝1。
其中，a为椭圆长半轴长，b为椭圆短半轴长，c为椭圆的焦点之间的距离。
推导过程如上所示，通过数学推导可以得到椭圆的标准方程。
这个标准方程的形式简洁明了，能够直观地反映出椭圆的形状特征。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是一个非常重要的几何形状，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍椭圆的定义及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a则是椭圆的长轴的长度。
椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这就是椭圆的基本定义。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴是x 轴，短轴是y轴，那么标准方程可以简化为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1；如果椭圆的长轴是y轴，短轴是x轴，那么标准方程可以简化为(y-k)²/a² + (x-h)²/b² = 1。
通过标准方程，我们可以方便地确定椭圆的中心、长短轴长度以及椭圆的形状。
椭圆是一种非常特殊的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
在日常生活中，椭圆的形状可以看到在椭圆形的湖泊、操场、椭圆形的建筑物等地方。
在数学上，椭圆也是椭圆积分、椭圆曲线等重要概念的基础。
在物理学中，行星的轨道、原子的轨道等也可以用椭圆来描述。
在工程领域，椭圆的形状也被广泛应用于天线设计、光学器件设计等方面。
总之，椭圆是一个非常重要的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
通过学习椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和掌握这一概念，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
怎么求椭圆的标准方程
怎么求椭圆的标准方程
首先，我们需要了解椭圆的基本定义和性质。
椭圆的定义是一个固定点F到平面上任意一点P到两个定点A、B的距离之和等于常数2a，这个常数2a就是椭圆的长轴长度。
而椭圆的短轴长度则是2b，满足a>b。
椭圆的中心是定点A、B连线的中点O，长轴和短轴的交点是椭圆的焦点。
接下来，我们来求解椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程一般是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b。
确定椭圆的中心坐标(h,k)，如果椭圆的中心不是坐标原点，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心移到坐标原点，这样就可以简化问题。
假设椭圆的中心坐标是(h,k)，我们可以将椭圆的方程变形为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
确定椭圆的长短轴的长度a和b，椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，我们可以通过椭圆的焦点和顶点的坐标来确定a和b的值。
椭圆的焦点坐标可以通过勾股定理和椭圆的定义来求解，然后根据a²=b²+c²来确定a和b的值。
最后，我们将确定的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b代入标准方程(x-h)²/a ² + (y-k)²/b² = 1中，就可以得到椭圆的标准方程了。
总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b，然后代入标准方程中进行计算。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆标准方程推导过程
椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
接下来，我们将推导椭圆的标准方程。
首先，设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），其中c为焦距。
设椭圆上任意一点为P（x,y），则根据椭圆的定义，有：\[PF_1 + PF_2 = 2a\]根据点到定点的距离公式，可以得到：\[\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a\]整理得到：\[(x-c)^2 + y^2 = (2a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2\]展开并整理得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2\]化简得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} + x^2 + 2cx + c^2 + y^2\]消去相同的项并整理得到：\[4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 2cx\]两边平方得到：\[16a^2(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) = (4a^2 2cx)^2\]展开并整理得到：\[16a^2x^2 + 32a^2cx + 16a^2c^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2cx + 4c^2x^2\]化简得到：\[16a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2 4c^2x^2\]移项并整理得到：\[20a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2\]将等式两边同时除以16a^4得到：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(a^2 c^2)} = 1\]由于椭圆的半轴长满足a > c，所以可以令b = √(a^2 c^2)，代入得到椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]至此，我们成功推导出了椭圆的标准方程。
求椭圆标准方程的两种方法
易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意 附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进 而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上； （2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上； （3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)
y2
1或
y2
x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，它由到两个给定点的距离之和等于常数的点构成。
这两个点通常被称为焦点，相应的常数被称为焦距。
椭圆是一个非常重要的几何图形，出现在许多数学和科学领域中，如天文学、工程学和物理学等。
一个椭圆可以通过其标准方程来描述。
椭圆的标准方程是一个关于x 和y的二次方程，它在平面上表示一个椭圆。
标准方程的形式为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1其中（h，k）是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。
半长轴是椭圆上离中心最远的点到中心的距离，半短轴是椭圆上离中心最近的点到中心的距离。
椭圆的形状由半长轴和半短轴的比例确定。
当a>b时，椭圆的形状更接近于一个圆，当a=b时，椭圆变成一个圆，当a<b时，椭圆更加扁平。
椭圆的离心率是一个重要的参数，对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间。
离心率越小，椭圆越接近于一个圆。
离心率等于1的情况下，椭圆退化成两条互相平行的直线。
椭圆的焦点是椭圆上特殊的点，它们具有特殊的性质。
对于任意椭圆上的点P，它到两个焦点的距离之和等于椭圆的焦距。
椭圆的焦距为2a，其中a是半长轴长度。
此外，椭圆的两条主轴是两个焦点之间的直线。
主轴上的点距离中心点的距离等于半长轴的长度。
除了标准方程，椭圆还可以通过其他形式的方程来进行描述。
一般方程形式为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F是任意实数，且A和C不能同时为零。
这是一个二次曲线的一般方程，当方程表示一个椭圆时，A和C满足A和C的符号相同。
椭圆在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
在天文学中，行星和卫星的轨道通常被建模为椭圆。
在工程学中，椭圆被用于设计喷泉和游泳池的形状，以及船体和飞机的外形设计。
在物理学中，椭圆被用于描述电磁波的传播和光学系统中的电子轨道。
椭圆的标准方程y
目的和目标
目的
本文旨在探讨椭圆的标准方程，通过 对其形式和特点的深入分析，帮助读 者更好地理解椭圆的几何意义和性质。
目标
通过对椭圆标准方程的推导和解析， 使读者能够掌握椭圆的定义、性质和 计算方法，为后续的学习和研究打下 基础。
02
椭圆的标准方程
定义椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是用来描述 椭圆形状和大小的一种数学
椭圆的标准方程y
• 引言 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
椭圆是平面解析几何中常见的一 种图形，它由一个点到平面上两 个固定点的距离之和等于常数所 形成的轨迹。
02
椭圆的标准方程是描述椭圆形状 和大小的重要工具，对于理解椭 圆的性质和进行相关计算具有重 要意义。
c
椭圆的焦距的一半，表示 焦点到椭圆中心的距离。
03
椭圆的性质
椭圆的焦点
定义
椭圆的焦点是两个点，它们位于椭圆 的长轴上，与椭圆中心距离相等，且 与椭圆上的任意一点形成的线段垂直 平分。
计算
性质
焦点到椭圆上任意一点的距离和为常 数，等于椭圆的长轴半径。
椭圆的焦点可以通过长轴半径平方减 去短轴半径平方，再开方得到，即c = √(a^2 - b^2)。
表达式。
1
它通常由两个方程组成，分 别描述了椭圆在x轴和y轴上
的位置和大小。
椭圆的标准方程形式为： x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1， 其中a和b是椭圆的半轴长， 且a>b。
椭圆的标准方程是解析几何 中研究椭圆性质的基础工具 。
椭圆的标准方程形式
椭圆的标准方程形式是由两个直角坐 标系中的方程构成的，分别描述了椭 圆在x轴和y轴上的位置和大小。
3.1.1椭圆的定义及标准方程
椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的特性和性质。
在数学和几何学中，椭圆是一种闭合的曲线，其定义为平面上所有到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆也可以通过其标准方程来描述，标准方程是椭圆的一般表达形式，用于表示椭圆的位置、形状和大小。
椭圆的标准方程的一般形式是：\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
根据椭圆的定义，椭圆上所有点到两个焦点的距离之和等于常数，我们可以将椭圆的标准方程与焦点的坐标关联起来。
对于椭圆来说，焦点在x轴上位于(h + c, k)和(h - c, k)，在y轴上位于(h, k + d)和(h, k - d)，其中c为焦距之一，d为焦距之二。
根据这些信息，我们可以进一步推导出椭圆的标准方程，并利用标准方程来描述椭圆的形状和位置。
椭圆的标准方程也可以通过焦点和顶点的坐标来确定。
对于椭圆来说，椭圆的顶点为(h ± a, k)，焦点为(h ± c, k)，如上所述，当我们知道椭圆的顶点和焦点的坐标时，我们可以利用这些信息来建立椭圆的标准方程。
通过利用椭圆的顶点和焦点坐标，我们可以确定椭圆的形状、大小和位置，并以标准方程的形式将这些信息清晰地表达出来。
椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，它可以通过椭圆的中心坐标、半长轴、焦点坐标或顶点坐标等信息来确定。
利用标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。
椭圆是一种重要的几何图形，其标准方程的理解和运用对于数学和几何学的学习都具有重要意义。
椭圆是数学中非常重要的一个几何图形，它具有许多独特的特性和性质，因此在数学和几何学中有着广泛的应用。
椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，通过该方程我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。
它是圆锥曲线之一，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程。
一、椭圆椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭圆形状。
在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为长轴的椭圆上。
椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其为“斜圆”。
二、标准方程椭圆的标准方程表示为：（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。
这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。
如果a>b，那么椭圆的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。
三、椭圆的性质1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。
3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。
4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。
4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。
当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。
五、应用椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。
比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。
结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应用。
了解椭圆的标准方程和性质，对于数学和其他各个领域的学习和应用都有很大帮助。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是几何中常见的一种图形，它既可以是水平的，也可以是垂直的。
一般来说，它是一种扁圆形，但在特殊情况下也可以成为类似圆形的形状，这也是它与圆形最大的不同之处。
椭圆的定义可以描述为：椭圆是一系列的点，满足以下公式的集合：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$是椭圆长轴和短轴的长度，且$a>b$。
根据上式可求知，椭圆的长轴的方程为：$y=pm asqrt{1-frac{x^2}{a^2}}$，短轴的方程为：$x=pm bsqrt{1-frac{y^2}{b^2}}$，将两式相加即可得到标准椭圆方程：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$椭圆具有许多独特的性质，它的长轴和短轴的比值就是它的离心率，若只有长轴，则称椭圆为圆形；若两轴长度相等，则称椭圆为双曲线；若它的一个轴为无限长，则称椭圆为抛物线。
另外，椭圆也是一种平行四边形，它的四边形的边都是相等的，因此，椭圆也可以被称为对称的平行四边形。
从几何上讲，椭圆的特性可以细分为三部分：它的两个焦点、它的长短轴、它的定义方程。
第一，椭圆的两个焦点是椭圆的特征点，它们都位于椭圆的长轴上，它们的距离称为焦距，椭圆的焦距定义为：$2c=a^2-b^2$。
第二，椭圆的长轴和短轴是衡量椭圆形状的重要因素，它们对椭圆的外形有着重要的意义，如果仅仅只有长轴，那么椭圆将会变成圆形，而只有短轴的椭圆将会变成双曲线形状。
第三，椭圆的定义方程也是椭圆的重要特性之一，它直观地定义了椭圆的形状，而上述的“标准椭圆方程”就是椭圆的定义方程。
椭圆既可以被定义为几何学中的一种形状，也可以被用于物理学中的许多其他地方。
比如，它可以用来模拟太阳系中行星运动的轨道，由这种轨道可以推导出物理现象，例如逆行星因子、椭圆形轨道等。
此外，椭圆还可以作为控制机械系统、气动力学系统和电子系统的轨迹，从而让机器更加高效地运转。
椭圆标准方程知识点总结
椭圆标准方程知识点总结一、椭圆的定义椭圆可以通过几种不同的方式进行定义。
在数学上，椭圆通常被定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个固定点被称为焦点，而常数2a则被称为椭圆的主轴长度。
另一种定义椭圆的方法是：椭圆是一个闭曲线，其在每个点处的切线的斜率之和等于零。
这意味着椭圆的切线对称性是椭圆的一个特征。
在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程通常被表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别代表椭圆的主轴长度和副轴长度。
当a=b时，椭圆变为一个圆。
二、椭圆标准方程的性质1. 中心点：标准椭圆的中心点位于原点(0,0)。
2. 主轴和副轴：椭圆的主轴是x轴和y轴上的两个直线段，而副轴则是通过中心点的垂直于主轴的直线段。
3. 焦点和离心率：椭圆的焦点是与椭圆的轴上的两个点，它们与椭圆的性质有着密切的联系。
椭圆的离心率e定义为焦点到中心点的距离与椭圆的主轴长度之比。
4. 对称性：椭圆具有对称性，通过它的中心点可以看到一些明显的对称性质。
5. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+e*cosθ)，其中r是极径，θ是极角，e是离心率。
三、椭圆的参数方程除了笛卡尔坐标系下的标准方程外，椭圆还可以通过参数方程来表示。
椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和短半轴。
通过参数方程，我们可以更直观地理解椭圆的形状和性质。
这种表示方法对于椭圆的运动学和动力学问题有着重要的意义。
四、椭圆的性质和相关定理1. 椭圆的面积：椭圆的面积可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。
2. 椭圆的周长：椭圆的周长也可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。
3. 椭圆的焦点性质：椭圆的焦点是进行椭圆弧长和椭圆面积计算时重要的参考点。
4. 椭圆的直径定理：椭圆的长轴和短轴的长度之和等于两个焦点之间的距离。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆几何学是一门古老的学科，它与圆、直线、三角形、多边形等几何图形一起构成了几何学的基础知识体系。
椭圆由于其特殊的形状和良好的几何性质，在物理学、工程学、地理学等领域都有着广泛的应用。
本文主要介绍椭圆的定义、性质及其标准方程。
一、椭圆的定义椭圆是指到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a（a>0）的所有点P的集合。
这两个点称为椭圆的焦点，连接两点的距离称为椭圆的焦距，a称为椭圆的长半轴。
用符号E表示椭圆，P表示椭圆上任意一点，则椭圆E的定义可以表示为：E={P|PF1+PF2=2a}椭圆的另一个重要参数是其短半轴b，满足a>b>0。
椭圆的离心率e定义为：e = √(a^2 - b^2) / a根据这个定义，离心率e的取值范围是0<=e<1。
当e=0时，椭圆变成了一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状越趋近于长形；当e=1时，椭圆变成了一个双曲线。
二、椭圆的性质1. 椭圆的形状特点：椭圆是一个闭合的曲线，其形状是两个不相交的凸曲边在对称轴上拱起，且曲线上任意两点的距离之和等于定值2a。
2. 椭圆的对称性：椭圆具有中心对称和轴对称两种对称性。
椭圆的中心称为椭圆心，位于两个焦点的中垂线的交点处，椭圆关于椭圆心对称。
而以长轴和短轴为对称轴的对称性是另一种对称方式。
3. 椭圆的面积：椭圆的面积为S=πab。
4. 椭圆的周长：椭圆的周长不能用初等函数表示，一般采用级数的形式展开。
5. 椭圆的焦点性质：设椭圆E的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，则有PF1+PF2=2a。
这个性质是椭圆性质的基础之一，也是解椭圆问题的重要工具。
6. 椭圆的切线性质：过椭圆上任意一点P作椭圆的两个焦点的弦，将椭圆分成两段。
连接这两段的交点与点P的连线垂直。
三、椭圆的标准方程椭圆是以坐标系为基础进行研究的，因此可以用数学方程形式表示。
通常我们采用平面直角坐标系，以椭圆心为坐标原点，以长轴和短轴为坐标轴，建立直角坐标系。
椭圆的定义和标准方程
1. 已知椭圆经过点P(3,0), 且a 3b, 求椭圆的标准方程。
变式训练
(2)当椭圆的焦点在y轴上时 y x 设方程为 2 2 1(a b 0) a b 9 1 y2 x2 2 则 b 得a 9, b 3, 1 81 9 a 3b x2 y2 x2 综合(1)( 2)得椭圆的标准方程为 y 2 1或 1 9 81 9
2
2
2
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 . x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
o
M
x
F1
b a o c F2 x
F1
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
b2=a2— c2 其中F1(0,-c)，F2(0,c) 共同点：椭圆的标准方程表示焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
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解:设所得曲线上任一点 坐标为P(x,y),圆上的 对应点的坐标P’(x’,y’),
由题意可得：
y
P
P′
x o
因为 所以
即 这就是变换后所得曲线的方程，它表示一个椭圆。
1.两类方程（焦点分别在x轴,y轴上的标准方程）
2. 标准方程的简单应用 一种方法（待定系数系法） 两放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾 结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的。怎样 才能准确地制造它们？
复习回顾
椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于
F1F2）的点的轨迹叫椭圆
P
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
说明
1、平面上这一个条件不可少
∵F1F2＝2c(c>0),
x
则：F1(-c,0)、F2(c,0)
PF1+PF2=2a
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
∴ ∴ ∴ ∴
设
∴
则，椭圆的方程为：x2 y2 1 (a b 0) a2 b2
方程的推导
以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建y立坐标系。
F1
F2
2、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为2a； 两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即:F1F2＝2c.
3、2a> F1F2 若2a=F1F2轨迹是什么呢？ 若2a<F1F2轨迹是什么呢？
椭圆标准方程的推导： 求圆的标准方程的步骤是什么？
建立直角坐标系
设点坐标
代入坐标
化简方程
列等式
如何建立适当的直角坐标系？
作业
1、教材P26页习题2.2(1)第2,3,4 题
2、推导：（用分子有理化） 焦点在y轴上的椭圆的标准方程
解：以两焦点
所在直线为X轴，
线段 的垂直平分线为y轴,建立平
面直角坐标系xOy。
则这个椭圆的标准方程为: 根据题意:2a=3,2c=2.4,
y M
F1 0
F2
x
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为：
例1、将圆
上的点的横坐标保持
不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的
曲线的方程，并说明它是什么曲线。
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。)
y
P
· · F1 o
F2
x
建立直角坐标系 设点坐标 列等式 代入坐标
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
化简方程
y
P
·F1 o
·F2
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵F1F2＝2c(c>0),
F2
则：F1(0，-c)、F2(0，c)
∴ PF1+PF2=2a
o
x
∴
F1
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
（1）
y 2 x2 1 (a b 0) a2 b2
（2）
y
F1 O F2 x y
2
，则a=___， b=___，c=____，焦点坐标为
5 (3,0)、(-3,0)
，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点
1
(0,-1)、(0,1)
1、已知椭圆的方程为： 则a＝_1_0__，b＝__6__，c＝_8__， 焦点 坐标为：__(_0,-8)、(0,8) ，焦距等 于_1_6__。该椭圆上一点P到焦点F1的距 离为8，则点P到另一个焦点F2的距离 等于__1_2___。
问题1
椭圆的标准方程的特点：
F2
1、方程的右边是常数1
2、方程的左边是和的形式，每一项的分子是
x2、y2，分母是一个正数。
O
x
F1
问题2
根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？
若 x2 项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若 y2 项 的分母大，则其焦点就在 y 轴上，
椭圆的定义
图形
标准方程
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
椭圆的定义
图形
标准方程
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
焦点坐标 F1(-c,0)，F2(c,0) a,b,c的关系
y 2 x2 1(a b 0) a2 b2
F1(0,-c)，F2(0,c)
焦点位置的 判断
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应 的坐标轴上.
思考题
m>0,n>0, 且m≠n 怎样判断焦点在哪个轴上? 当m > n > 0时,焦点在x轴上 当n > m > 0时,焦点在y轴上
2、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 , 焦点在x轴上 求它的标准方程。
焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时：
3、若动点P到两定点F1(－4,0)， F2(4,0)的距离之和为8，则动点
P的轨迹为（ B ）
A. 椭圆 C. 直线F1F2
B. 线段F1F2 D. 不存在
例2：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是 一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦 点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
焦点坐标 F1(-c,0)，F2(c,0) a,b,c的关系
y 2 x2 1(a b 0) a2 b2
F1(0,-c)，F2(0,c)
焦点位置的 判断
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应 的坐标轴上.
1、填空：
(1)已知椭圆的方程为 ____________
4
3
(2)已知椭圆的方程为 坐标为___________