数字通信ch5c

m
1
2

2
使之达到最大，
p( v | f ) Pr[I ( m ) ] f m ( A ( m ) A ( m )f A ( m ) v) exp(
T T
1 2 2
6-77
v A ( m )f ) 0
2
所以，
T f Pr( I ( m ) ) A ( m ) A ( m ) g ( v, A ( m ) , f ) m
n 1 k 0 N L
＝ 其中，
I1 I A 2 IN
v A f
2
0 I1 I N 1
0 0 I N L
1) 当 I 为已知，即 A 为已知时，
f ML ( AT A) 1 A V ；
6-76
2) 当 f 为已知时，可进行 Viterbi 算法； 3) 当 I 和 f 都为未知时，可先进行 f 的估计：
p ( v | f ) p ( v, I ( m ) | f )
m
＝ p( v | I ( m) , f ) Pr[I ( m ) ],
m
m 1, 2,..., M N v A ( m )f Pr[I ( m ) ]
2 N ＝ (2 ) exp


其中， G k 估计量 G k 的一种最简单形式为 G k ek Vk * ，则
Ck 1 Ck ek Vk * , k 0,1, 2,...


这就得到广泛使用的 LMS 算法。 注 1° 实际中使用 LMS 算法时，也需分成两个阶段； 注 2° LMS 算法根据梯度的不同估计，存在多种变形；
2
N
f N (t)
f 0 (t ) = b0 (t ) y (t ) f m (t ) f m 1 (t ) ammbm 1 (t 1)
6-73
bm (t ) = bm 1 (t 1) amm f m 1 (t )
Fra Baidu bibliotek
其中， amm 由 Levinson-Durbin 算法确定：
vn f k I n k k
k 0 L
对 N 个接收数据点，条件概率密度函数为
p( v | f , I ) (2 2 ) N exp[ 1 2 2
| vn f k I nk |2 ]
n 1 k 0
N
L
6-75
距离量度为
DM (I, f ) | vn f k I n k |2
a11
(1) , e0 (0) ， (l ) E[ y (t l ) y (t )] (0)
amm
(m) AmT m 1T
em 1
am, k am 1,k amm am 1,m k
2 em em 1 (1 amm )
2 (t )] 特性： em E[ f m2 (t )] E[bm
6-64
用 Levinson-Durbin 算法所需计算量较大。因此，常使用 直接利用符号的递推算法，即 LMS 算法，它基于二次函 数的最速下降法（梯度算法） 。 最速下降法（确定性） ：
Ck 1 Ck G k , k 0,1, 2,...
Gk
1 dJ ΓCk ξ E[ek Vk * ] 2 dCk
1
Pr( I
m
(m)
) g ( v, A ( m ) , f ) A ( m ) v
T
可得到 f ML 。
I ML min DM (I, f ML ) min v A f ML
I I
2
也可采用联合估计：
f ML (I ( m ) ) [ A ( m ) A ( m ) ]1 A ( m ) v
ˆ I k
j K
cv
K
j k j
所以
E[ek I k j * ] j 0 q j , j K ,..., K
＝0， j K ,..., K 递归算法（迫零算法） ：
6-62
c j ( k 1) c j ( k ) ek I k j * ,
6-61
ˆ )I * ] E[ek I k j * ] E[( I k I k k j
＝ E[ I k I k j* ] E[ Iˆk I k j* ],
j K ,..., K
假定 E[ I k I j* ] k j ， {I k } 和 {k } 不相关，
使目标函数最小，得到线性方程组：
R N (t )C N (t ) D N (t )
其中
R N (t ) wt n YN * (n)YN T (n)
n 0 t
D N (t ) wt n I N (n)YN * (n)
n 0
t
6-71
算法：
(t ) ＝ Y T (t )C (t 1) I N N
6-63
均衡器利用解调符号调整均衡器系数，以跟踪信道参 数的变化。
k I k j* , c j ( k 1) c j ( k ) e j K ,..., K
k I k Ik e

(2) LMS 算法 基于 MSE 准则时得到方程
ΓC ξ
若 Γ 为已知时，此方程可使用 Levinson-Durbin 算法求得 最佳解 Copt 。实际中，一方面通常 Γ 为未知，另一方面，
＝ C N (t 1) PN (t )YN * (t )eN (t ) (2) 格形算法
6-72
格形结构：
bm 1 (t ) z 1 amm f m 1 ( t )
b0 (t ) b1 (t )
bm (t ) amm f m ( t)
bN ( t )
1
f 0 (t ) f1( t)
＝ {I n }*{ f n }*{cn } {n }*{cn } ＝ {I n }*({ n } {en }) {n }*{cn } ＝ {I n } {I n }*{en } {n }*{cn }
ISI
一般地，最佳解 {d n } 为
n) dn ＝ g ( I
6-79
5-3 自适应均衡算法
5-3-1 自适应线性均衡器
(1) 迫零算法 当起始峰值失真 D0 1 时，q0 1 ，qn 0,
1 | n | K 条件下，峰
值失真达到最小，这时存在一种简单的计算方法，称为 迫零算法。 迫零解可使得误差序列 ek I k Iˆk 和期望信息序列之间的 互相关为零（ 0 | j | K ）获得。
＝ [vt K ,..., vt , I t 1 ,..., It K
1
2
]T
(1) 递归最小二乘（RLS，Kalman）算法 性能量度（目标函数） ：
6-70
LS EN wt n | eN (n, t ) |2 n 0
t
eN (n, t ) I n CT N (t ) YN ( n)
I min DM (I ( m ) , f ML (I ( m ) )) (m)
I
T T
(2) 随机梯度算法
6-78
首先对均衡器作一个初始估计，记为 {cn } ，
{cn } { f n } { n } {en }
其中 {en } 为误差序列。
n } ＝ {v }*{c } {I n n
其中， ek I k Iˆk ，而 Vk [vk K ,..., vk 1 , vk , I k 1 , I k 2 ,..., I k K ]T 。
1 2
6-67
同样，使用梯度矢量 E[ek Vk * ] 的简单估计量 ek Vk * ，得到 DFE 系数优化的 LMS 算法，其递推关系式为：
j 0 N 1
＝ CN T (t 1)YN (t )
6-69
DFE：
(t ) c (t 1) y (t j ) I j
j 0 N 1
＝ CN T (t 1)YN (t ) ， N K1 K 2 1 其中，
YN (t ) [ y (t ), y (t 1),..., y (t N 1)]T
6-66
注 3° LMS 算法的收敛性分析和 MSE 分析见 11.1.3 和 11.1.4； 注 4° FSE 的 LMS 算法（泄漏算法）见 11.1.6。
5-3-2 自适应 DFE
自适应 DFE 通常使用 LMS 算法进行均衡器系数的优化， 此时
Ck 1 Ck E[ek Vk * ], k 0,1, 2,...
1 2

6-68
5-3-3 自适应均衡器的 RLS 算法
为描述方便，下面使用统一的记号： LE：
(t ) I
j K
c (t 1)v
j
K
t j
改变索引，使得 j＝0 到 N-1，N＝2K+1，记
y (t ) vt k
(t ) c (t 1) y (t j ) 则： I j
其中， ek I k Iˆk ， Vk [vk K ,..., vk K ]T 当达到最优解时， G k 0 ， E[ek Vk * ] 0 。
6-65
LMS 算法： 实际使用中，因梯度矢量 G k 为未知，需要进行估计，即 使用 G k 的估计量 G k ，则
Ck 1 Ck G k , k 0,1, 2,...
(t ) eN (t ) I (t ) I
PN (t 1)YN T (t ) K N (t ) w YN T (t )PN (t 1)YN * (t )
PN (t ) 1 [PN (t 1) K N (t )YN T (t )PN (t 1)] w
C N (t ) C N (t 1) K N (t )eN (t )

k
n e j k |] min E[| I k I

(3) 基于二阶或高阶统计的盲均衡
6-80
四阶累计量定义为
c vk , vk m , vk n , vk l cr m, n, l E vk vk m vk n vk l E vk vk m E vk n vk l E vk vk n E vk m vk l E vk vk l E vk m vk n
j K ,..., K
其中， c j ( k ) 表示 k 时刻第 j 个系数， ek I k Iˆk ， 为尺度因 子。 迫零算法在实际使用中，分成两个阶段（工作模式） ： 学习阶段（训练阶段） ： 发送端发送固定训练训练，接收端利用这个已知的序 列，使用递归算法调整均衡器系数，以使得均衡器工 作在最佳状态。 工作阶段（自学习阶段） ：
Ck 1 Ck ek Vk * , k 0,1, 2,...
实际工作时，也分成两个阶段：学习阶段和自学习阶段， 自学习阶段的递推关系为：
k 1 C k e k V k * , k 0,1, 2,... C k I k I k ，而 V k [v ,..., v , v , I k 1 , I k 2 ,..., I k K ]T 。 其中， e k K k 1 k
E[bm (t )bn (t )] em mn
6-74
E[ f m (t m) f n (t n)] em mn
a e , m n ， m, n 0 E[ f m (t )bn (t )] nn m 0 , mn
5-3-4 自恢复（盲）均衡*
(1) 基于最大似然的盲均衡
或
n, I n 1 , , I n m ) ，m dn ＝ g ( I
为记忆阶数。
n ＝ I I n n
则
n] d n E[ I n | I
Godard 算法：
k I
j K
cv
K
j k j
n e j k Ik I
k ,c