二面角的求法PPT课件

Rt△APB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱
的棱长为2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即为
所求。
PБайду номын сангаас
D1 A1
F D
A E
C1 B1
C B
思考：这种解法同解法一有什么异同？
.
15
解法三：
z
法向量法：建系如图：
设这个四棱柱各棱长均为2. 则D(0，0，0） D1（0，0，2）
B（1， 3 ，0） F（-1， 3 ，1）
它们是共线向量）
.
6
探究准备：
二、想一想：
1、怎样做出二面角的平面角？
（要求：小组内交流，确定答案；然后在全班级进行交流。）
.
7
探究准备： 答：1、做二面角的平面角主 要有3种方法：
二、想一想：
1、怎样做出二面 角的平面角？
（1）、定义法：在棱上取一 点，在两个半平面内作垂直于 棱的2 条射线，这2条所夹 的 角；
二面角的求法
—高三一轮复习专题讲座
海阳市第二中学高三数学组 侯振良
.
1
前言：
二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，
是历年高考考查的重点内容。 二面角的求解有很多种不同的方法，在探究其解
法的过程中，能同时对学生考察空间作图能力、空间 想象能力、逻辑推理能力等，能通过对二面角的考查 来考查学生对立体几何中大多数知识的掌握和运用情 况。
D1 A1
C1 B1
F
D
Cx
∴BF =（-2，0 ，1）
DB 1
=（1，
3，-2）
A
B
显然，DD 就是平面ABCD的法向量，再设平面
的大小范围；
二面角的大小范围：
[00 ，1800];
2、三垂线定理、平面的 法向量。
2、三垂线定理：平面内的一条直线
，如果和这个平面的一条斜线的射影垂
直，那么它就和这条斜线垂直； 平面的法向量：直线L垂直平面α
，取直线L的方向向量，则这个方向向量
叫做平面α的法向量。
（显然，一个平面的法向量有无数个，
求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
D1 A1
FD A
C1 B1
C B
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
3、小组交流展示；4、总结。
.
13
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线。
∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中 点，∴AP=AB,
纵观近几年山东高考和全国高考试卷，二面角成 为每年的必考内容。
这里，我们将以小组互动、探究交流的学习方式 系统地对二面角的各种求法进行研究学习。。。 。。。
.
2
教学目的：
1、掌握二面角的定义，掌握二面角的平面 角的概念；
2、能熟练做出或者证明二面角的平面角， 掌握二面角的几种常用求法，能熟练求解 二面角；
8
探究准备：
2、两个平面的法向量的夹角与 这两个平面所成的二面角的平 面角有怎样的关系？
.
9
探究准备：
2、两个平面的法向量 的夹角与这两个平面 所成的二面角的平面 角有怎样的关系？
答：相等或互补
α
β
互补
m α
β m
.
相等
10
探究一：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平
一、忆一忆：
1、二面角的概念，二面 角的平面角的概念，二面 角的大小范围；
2、三垂线定理、平面的 法向量。
.
5
探究准备： 答：1、二面角是指从一条直线出发的两
个半平面所组成的图形；
一、忆一忆：
平面角是指以二面角的棱上一点为
端点，在两个半平面内分别做垂直于棱
1、二面角的概念，二面角 的两条射线，这两条射线所成的角就叫 的平面角的概念，二面角 做该二面角的平面角。
E
分SC,分别交AC、SC于D、E，且
SA=AB=a,BC= 2 a.
D
A
C
求：平面BDE和平面BDC所成的二
面角的大小。
B
.
11
分析：1、根据已知条件提供的数量关系
通过计算证明有关线线垂直； 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面 角。
解：如图：
∵SA ⊥ 平面ABC,
∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA ⊥ BD;
又∵∠ DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴ 可得正三角形ABD, 故 ∠DBA=600, ∵∠P=∠ABP=300, ∴∠DBP=900, 即PB⊥DB；
又因为是直棱柱，∴DD1 ⊥ PB, ∴PB⊥面DD1B,
故 ∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。即为所 求. 解毕。
D1 A1
F D
A P
C1 B1
C B
.
14
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线；
因为是直棱柱，所以AA1 ⊥ 底面ABCD, 过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF,
由三垂线定理可知，EF⊥PB,
∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300，
3、提高同学们的空间思考能力以及逻辑推 理能力和分析问题解决问题的能力。
.
3
本课分析：
1、关键词：二面角、平面角、三垂 线、法向量；
2、重难点：二面角、平面角的概念 是重点；求证（做）平面角、求平面 的法向量是难点；
3、 课型：复习课 4、授法：小组探究 展示总结； 5、方式：ppt。
.
4
探究准备：
（2）、垂面法：做垂直于棱 的一个平面，这个平面与2个 半平面分别有一条交线，这2 条交线所成的角；
（3）、三垂线法：过一个半 平面内一点（记为A）做另一 个半平面的一条垂线，过这个 垂足（记为B）再做棱的垂线 ，记垂足为C，连接AC，则 ∠ACB即为该二面角的平面角 。
.
α β
αβ γ
αA C Bβ
于是SB= SA 2 AB 2= 2 a
又BC= 2a ，∴ SB=BC;
∵E为SC的中点，∴BE⊥SC
又DE⊥SC 故SC⊥平面BDE
可得BD⊥SC 又BD⊥SA
∴BD⊥平面SAC
∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角
的平面角。
∵ AB⊥BC，∴AC= AB 2 B=C 2 a2 2a2
= 3a
在直角三角形SAC中，tan∠SCA=
SA
=
3
∴ ∠ SCA=300 ，
AC 3
∴∠CDE=900--∠SCA=600
解毕。
.
S E
A
D
C
B
议一议：刚才的证明过
程中，是用什么方法找到 二面角的平面角的？
请各小组讨论交流一下。
12
探究二：
试一试
例二：如图：直四棱柱ABCD-
A1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。