线性代数 齐次线性方程组解的结构

10
wenku.baidu.com
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 则 (1) 1 , 2 , , n r 是方程组的一组线性无关的解， 性 方 (2) 方程组的所有解可由 1 , 2 , , n r 线性表示， 程 组 即 X k11 k 2 2 k n r n r , 因此 1 , 2 , , n r 是方程组的一组基础解系。 注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出 基础解系，只需按前面的求解过程完成即可。 11
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
7
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 进一步改写为 性 方 x1 b1,r 1 xr 1 b1n xn 程 组 x2 b2,r 1 xr 1 b2 n xn xr br ,r 1 xr 1 brn xn 其中 x r 1 , x r 2 , , x n 是自由未知量，共有 ( n r ) 个。 由此得到方程组 A X = 0 的所有解为： 8
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 1. 解的性质 章 2. 解空间 线 性 定义 齐次线性方程组 A X 0 的所有解构成一个向量空间， 方 P118 称之为齐次线性方程组的解空间， 记为 N ( A) . 程 组 解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。 启示 说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次 线性方程组的解。
x k11 k22 ktt ,
其中 k1 , k 2 , , k n r 是任意常数。
P119
5
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r ( A) r n , 性 方 不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为 程 组 1 0 b1,r 1 b1n 初等行变换 0 1 br , r 1 br n A 0 0 0 0 0 0 0 0 6
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 本节所考虑的齐次线性方程组为 章 线 性 方 程 组 简记为 A X 0 . 主要讨论 A X 0 有非零解的情况。
1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 1. 解的性质 P118 定理4.3 章 (1) 若 1 , 2 为 A X 0 的解，则 1 2 也是 A X 0 的解。 线 (2) 若 为 A X 0 的解，则 k 也是 A X 0 的解。 性 方 证明 (1) 由 A1 0, A 2 0 有 程 组 A(1 2 ) A1 A 2 0 , 故 1 2 也是 A X 0 的解。 (2) 由 A 0 有 A(k ) kA 0 , 即 k 也是 A X 0 的解。 表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。 2
3
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 定义 设 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的一组解， 线 性 P118 满足： 方 定义 4.3 (1) 1 , 2 , , t 线性无关； 程 组 (2) A X 0 的任何一个解都可以由 1 , 2 , , t 线性表出。 称 1 , 2 , , t 为方程组 A X 0 的(一个)基础解系。
4
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基， 线 因此基础解系是不惟一的。 性 方 (2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的， 程 组 其个数即为解空间的维数。 (3) 如果 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的 一组基础解系，那么 A X 0 的通解可表示为
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 x1 b1, r 1k1 b 1 n k n r 方 x 2 b2,r 1k1 b2 n k n r 程 组 x r br ,r 1k1 br n k n r

x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
9
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1