九年级上册数学 旋转几何综合专题练习(解析版)

九年级上册数学旋转几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．

(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；

(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．

(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；

（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；

【详解】

解：（1）证明：如图：

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴△FCB和△BEF都为直角三角形．

∵点P是BF的中点，

∴CP＝1

2BF，EP＝

1

2

BF，

∴PC＝PE．

（2）PC＝PE理由如下：

如图2，延长CP，EF交于点H，

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴EH//CB，

∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，

∵点P是BF的中点，

∴PF＝PB，

∴△CBP≌△HFP(AAS)，

∴PC＝PH，

∵∠AEF＝90°，

∴在Rt△CEH中，EP＝1

2

CH，

∴PC＝PE．

（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：

如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，

∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，

在△DAF和△EAF中，

DAF,

,

,

EAF

FDA FEA

AF AF

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△DAF≌△EAF(AAS)，

∴AD＝AE，

在△DAP≌△EAP中，

,

,

,

AD AE

DAP EAP

AP AP

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△DAP≌△EAP (SAS)，

∴PD＝PF，

∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，

∴FD//BC//PM，

∴DM FP

MC PB

=，

∵点P是

BF的中点，

∴DM＝MC，

又∵PM⊥AC，

∴PC＝PD，

又∵PD＝PE，

∴PC＝PE．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．

2．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161

A E

EC

=-，求

n

m

的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1

5

；（2

3

；（3）存在，63

【解析】

【分析】

（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出

∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出22

2

A D

CE n

CB A B m

==，可得CE=2n

m

，由161

A E

EC

=推出16

A C

EC

=A1

2

6

n

m

，推出BH=A1

2

6

n

m

，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；

（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF

的长度为最小值；先证明△FDG ∽△

FME ，得到

3

3

FG F FM FE D ==

，再结合已知条件和解直角三角形求出PM 和FM 的长度，即可得到PF 的最小值. 【详解】

解：（1）作A 1H ⊥AB 于H ，连接BD ，BD 1，则四边形ADA 1H 是矩形．

∴AD=HA 1=n=1，

在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2， ∴BA 1=2HA 1， ∴∠ABA 1=30°， ∴旋转角为30°， ∵22125+= ∴D 到点D 1所经过路径的长度3055π⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2，

∴222A D CE n

CB A B m

==， ∴2n CE m =，

∵161EA

EC =， ∴16A C

EC = ∴A 12

6n m

，

∴BH=A 12

2

2

6n m n m

-=，

∴4

2

2

26n m n m

-=⋅，

∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，