2020-2021精选备战中考数学易错题专题复习圆的综合附答案

（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把 x=a，y=﹣a 代入 y= 3 x+6，得：﹣a= 3 a+6，得：a=﹣
4
4
24 ，∴ 点 M 的坐标为（﹣ 24 ，24 ）．
7
77
（3）如图 3，连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO，
∵ ⊙M 与 x 轴，y 轴，线段 AB 都相切，∴ ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设
2．如图，已知△ ABC 内接于⊙O，BC 交直径 AD 于点 E，过点 C 作 AD 的垂线交 AB 的延长
线于点 G，垂足为 F．连接 OC．
（1）若∠ G=48°，求∠ ACB 的度数；
（2）若 AB=AE，求证：∠ BAD=∠ COF；
（3）在（2）的条件下，连接 OB，设△ AOB 的面积为 S1，△ ACF 的面积为 S2．若
【详解】
1 解：结论：DE 是 O 的切线．
理由：连接 OD．
CDB ADE ， ADC EDB ，
CD / / AB ， CDA DAB ，
OA OD ， OAD ODA ， ADO EDB ，
AB 是直径， ADB 90 ， ADB ODE 90 ， DE OD ， DE 是 O 的切线．
【解析】 【分析】 首先利用三边及⊙O 的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出 AB+AD=13，然后利 用切线的性质求出 BD 的长即可解答. 【详解】 设⊙O 分别切△ ABD 的边 AD、AB、BD 于点 G、E、F； 平行四边形 ABCD 的面积为 S；
则 S=2S△ ABD=2× 1 (AB·OE+BD·OF+AD·OG)= 3 （AB+AD+BD）； 2
（2）如图 2，连接 ME，MF，
∵
A（﹣8，0），B（0，6），∴
设直线
AB
的解析式是
y=kx+b，∴
8k b
b6
0
，解
得：k= 3 ，b=6，即直线 AB 的函数关系式是 y= 3 x+6．
4
4
∵ ⊙M 与 x 轴、y 轴都相切，∴ 点 M 到 x 轴、y 轴的距离都相等，即 ME=MF，设 M
∴ CD PB ，
∵ AD 是⊙O 的直径，AD⊥PC，
∴ CD PD ，
∴ CD PB PD ，
∴ ∠ BAD=2∠ DAC， ∵ ∠ COF=2∠ DAC， ∴ ∠ BAD=∠ COF； （3）过 O 作 OG⊥AB 于 G，设 CF=x，
∵ tan∠ CAF= 1 = CF ， 2 AF
2 CD / / AB ，
ADC DAB ， CDB DBE ， AC BD ， AC BD ，
DCB DAB， EDB DAB ， EDB DCB， CDB ∽ DBE ， CD DB ，
BD BE BD2 CD BE ， AC2 CD BE ．
【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
tan∠
CAF=
1 2
，求
S1 S2
ຫໍສະໝຸດ Baidu的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3） 3 4
【解析】 【分析】 （1）连接 CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得：∠ ABE=∠ AEB，再证明∠ BCG=∠ DAC，可得
CD PB PD ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结
222
2
2）．
点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的 解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有 三种位置关系：已知⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离是 d，当 d=r 时，直线 l 和⊙O 相切．
7．如图，在 RtΔABC 中，∠ ABC=90°，AB=CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，点 E 是 AB 边上一点（点 E 不与点 A、B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点 G，DF⊥DG，且交 BC 于 点 F. （1）求证：AE=BF； （2）连接 EF，求证：∠ FEB=∠ GDA； （3）连接 GF,若 AE=2，EB=4，求 ΔGFD 的面积.
（2）连接 OE．∵ AB＝AC，∴ ∠ B＝∠ C＝30°，∴ ∠ BAE＝60°， ∵ ∠ BOE＝2∠ BAE，∴ ∠ BOE＝120°， ∴ ＝ ·4π＝ π． 点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形 的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．
5．如图，AB 为 O 的直径，弦 CD / / AB ，E 是 AB 延长线上一点， CDB ADE ．
1 DE 是 O 的切线吗？请说明理由； 2 求证： AC2 CD BE ．
【答案】（1）结论：DE 是 O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）连接 OD ，只要证明 OD DE 即可； （2）只要证明： AC BD ， CDB∽ DBE 即可解决问题.
6．如图，在直角坐标系中，已知点 A(－8，0)，B(0，6)，点 M 在线段 AB 上。 （1）如图 1，如果点 M 是线段 AB 的中点，且⊙M 的半径等于 4，试判断直线 OB 与⊙M 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，⊙M 与 x 轴，y 轴都相切，切点分别为 E，F，试求出点 M 的坐标；
∴ AF=2x， ∵ OC=OA，由（2）得：∠ COF=∠ OAG， ∵ ∠ OFC=∠ AGO=90°， ∴ △ COF≌ △ OAG，
∴ OG=CF=x，AG=OF，
设 OF=a，则 OA=OC=2x﹣a，
Rt△ COF 中，CO2=CF2+OF2，
∴ （2x﹣a）2=x2+a2，
a= 3 x， 4
（3）如图 3，⊙M 与 x 轴，y 轴，线段 AB 都相切，切点分别为 E，F，G，试求出点 M 的
坐标（直接写出答案）
【答案】（1）OB 与⊙M 相切；（2）M（－ 24 ， 24 ）；（3）M（－2，2） 77
【解析】 分析：（1）设线段 OB 的中点为 D，连结 MD，根据三角形的中位线求出 MD，根据直线和 圆的位置关系得出即可；
ME=MF=MG=r，则 S△ ABC= 1 AO•ME+ 1 BO•MF+ 1 AB•MG= 1 AO•BO．
2
2
2
2
∵ A（﹣8，0），B（0，6），∴ AO=8、BO=6，AB= AO2 BO2 =10，
∴ 1 r•8+ 1 r•6+ 1 r•10= 1 ×6×8，解得：r=2，即 ME=MF=2，∴ 点 M 的坐标为（﹣2，
∵ ∠ ADC=∠ B，∠ B=60°， ∴ ∠ ADC=60°， ∵ CD 是直径， ∴ ∠ DAC=90°， ∴ ∠ ACO=180°-90°-60°=30°， ∵ AP=AC，OA=OC， ∴ ∠ OAC=∠ ACD=30°，∠ P=∠ ACD=30°， ∴ ∠ OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即 OA⊥AP， ∵ OA 为半径， ∴ AP 是⊙O 切线． （2）连接 AD，BD，
（2）求出过点 A、B 的一次函数关系式是 y= 3 x+6，设 M（a，﹣a），把 x=a，y=﹣a 代 4
入 y= 3 x+6 得出关于 a 的方程，求出即可． 4
（3）连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO，设 ME=MF=MG=r，根据
S△ ABC= 1 AO•ME+ 1 BO•MF+ 1 AB•MG= 1 AO•BO 求得 r=2，据此可得答案．
∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 26， ∴ AB+AD=13，
∴ S= 3 (13+BD)；连接 OA；
由题意得：∠ OAE=30°， ∴ AG=AE=3；同理可证 DF=DG，BF=BE； ∴ DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7， 即 BD=7，
∴ S= 3 （13+7）=20 3 ． 即平行四边形 ABCD 的面积为 20 3 ．
∵ CD 是直径， ∴ ∠ DBC=90°， ∵ CD=4，B 为弧 CD 中点，
∴ BD=BC=
，
∴ ∠ BDC=∠ BCD=45°，
∴ ∠ DAB=∠ DCB=45°，
即∠ BDE=∠ DAB，
∵ ∠ DBE=∠ DBA，
∴ △ DBE∽ △ ABD，
∴
，
∴ BE•AB=BD•BD=
．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
2020-2021 精选备战中考数学易错题专题复习圆的综合附答案 一、圆的综合
1．如图，点 A、B、C 分别是⊙O 上的点， CD 是⊙O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点， AP=AC．
（1）若∠ B=60°，求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若点 B 是弧 CD 的中点，AB 交 CD 于点 E，CD=4，求 BE·AB 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ ADC 的度数，求出∠ P、∠ ACO、∠ OAC 度数，求出∠ OAP=90°，根据切线判定 推出即可； （2）求出 BD 长，求出△ DBE 和△ ABD 相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接 AD，OA，
4．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作⊙O，⊙O 交 BC 于点 D，交 CA 的延长线 于点 E．过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F．
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若 AB＝4，∠ C＝30°，求劣弧 BE 的长． 【答案】（1）证明见解析（2） 4
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【解析】 分析：（1）连接 AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ ADB=90°，然后根据等 腰三角形的性质求出 BD=CD，再根据中位线的性质求出 OD⊥DF，进而根据切线的判定证 明即可； （2）连接 OE，根据三角形的外角求出∠ BAE 的度数，然后根据圆周角定理求出∠ BOE 的 度数，根据弧长公式求解即可. 详解：（1）连接 AD、OD．∵ AB 是直径，∴ ∠ ADB＝90°． ∵ AB＝AC，∴ BD＝CD， 又∵ OA＝OB，∴ OD 是△ ABC 的中位线，∴ OD∥ AC， ∵ DF⊥AC，∴ OD⊥DF 即∠ ODF＝90°．∴ DF 为⊙O 的切线；
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详解：（1）直线 OB 与⊙M 相切．理由如下：
设线段 OB 的中点为 D，如图 1，连结 MD，
∵ 点 M 是线段 AB 的中点，所以 MD∥ AO，MD=4，
∴ ∠ AOB=∠ MDB=90°，∴ MD⊥OB，点 D 在⊙M 上．
又∵ 点 D 在直线 OB 上，∴ 直线 OB 与⊙M 相切；
∴ OF=AG= 3 x， 4
∵ OA=OB，OG⊥AB，
∴ AB=2AG= 3 x， 2
∴
S1 S2
1 AB·OG 2 1 CF·AF
3 x·x 2 x·2x
3． 4
2
【点睛】 圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判 定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ ACB+∠ BCD=90°；
论； （3）过 O 作 OG⊥AB 于 G，证明△ COF≌ △ OAG，则 OG=CF=x，AG=OF，设 OF=a，则
OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则 a= 3 x，代入面积公式可得结 4
论． 【详解】 （1）连接 CD， ∵ AD 是⊙O 的直径， ∴ ∠ ACD=90°， ∴ ∠ ACB+∠ BCD=90°， ∵ AD⊥CG， ∴ ∠ AFG=∠ G+∠ BAD=90°， ∵ ∠ BAD=∠ BCD， ∴ ∠ ACB=∠ G=48°； （2）∵ AB=AE， ∴ ∠ ABE=∠ AEB， ∵ ∠ ABC=∠ G+∠ BCG，∠ AEB=∠ ACB+∠ DAC， 由（1）得：∠ G=∠ ACB， ∴ ∠ BCG=∠ DAC，
（2）根据外角的性质和圆的性质得： CD PB PD ；（3）利用三角函数设未知数，根
据勾股定理列方程解决问题．
3．已知▱ABCD 的周长为 26，∠ ABC=120°，BD 为一条对角线，⊙O 内切于△ ABD，E，F，G
为切点，已知⊙O 的半径为 3 ．求▱ABCD 的面积． 【答案】20 3