应用数学基础 第四章-向量值函数的导数

定义4.4 设X是任意的 n 阶方阵, cm是一个复数列,
cm X m 称为方阵X的幂级数, cm称为第m项的系数.
m0
约定 X 0=E.
若
cm Am 收敛(绝对收敛)到 f (A), 即 f (A) = cm Am,
m0
m0
则称 cm X m 在ACmn处收敛(绝对收敛).
m0
若 X Cnn, cm X m 都收敛(绝对收敛), 则称它
性质：
(1) 如果 lim Am=A, lim Bm=B, 则 lim AmBm=AB.
m
m
m
(2) 如果 lim Am=A, A 1及Am 1均存在, 则lim Am 1=A 1.
m
m
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§4.2－1 方阵序列 收敛的充要条件及性质
定理4.2
设ACnn,
则{
阵
Am
} m0
收敛于零矩
(A)1.
证明思路： ( ) ((A))m = (Am) Am ;
( ) 利用谱范数与矩阵范数的关系。
定理4.3 设ACnn, 则Am收敛于零矩阵 至少 存在一种方阵范数||•||, 使得||A||1.
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定理4§.4 4设.2－Am1=[方aij阵(m级)]数Cnn收, m敛=的0,1充,2要,…条,件S=及[s性ij]质Cnn.
则方阵级数 Am 收敛于方阵 S=[sij]
（2）导算子一定是唯一的。
思路： 假设有两个导算子： A1及A2 先证： (A1 A2)(h) / h
0)； 再证： (A1 A2)(h) / h
0( h
= 0 ( h)
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命题 如果§4f.：1－1 向量m值,则函导数的算导子数f 性：质 n 在标准正交基{e1,e2,…,en}下的表示矩阵是
（fi(x)/xj） Jacobi矩阵。
zXz22!X2!2
dt
dt
dt
d ( A(t)B(t)) dA(t) B(t) A(t) dB(t)
dt
dt
dt
d (C • A(t)) C dA(t)
dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdt
d
dA(t)
( A(t) • K )
K
dt
dt
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§4.1－2 单元函数矩阵的微分 性质
d A( f (t)) dA(u) • df (t)
dt
du dt
aij (t))mn
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§4.1－2 单元函数矩阵的积分 定义 定义 设A(t) = ( ij(t))m n . 如果 ij(t) 在 [a, b] 上可 积，
( i=1,2,… ,n ; j = 1,2,…,m), 则称A(t) 在[a, b]上可积，
且定义
b
b
a A(t)dt ( a aij (t)dt)mn
在
m0
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§4.2－2 方阵幂级数 收敛性
定理4.6 设复幂级数 cm z m 的收敛半径为R, XCnn m0
的谱半径为(X),则当(X)R时,绝对收敛; 当(X)R时, 发散.
推论1 若 cm z m在全平面收敛, 则该级数在全空间Cnn m0
中绝对收敛.
推论2 设 cm (z 0 )m的收敛半径为R. 若XCnn的所有特 m0
§4.1－1 向量值函数的导数 定义
lim | f (x h) f (x) Ah | 0 f : (a, b)
| h | 0
|h|
A:
定义 设映射 f：
m(
n是开集)，x 。如
果存在线性算子 A： n
m，使得对 h n，有
lim || f (x h) f (x) Ah || 0
|| h || 0
m0
i,j=1,2,…,n,
数项级数
a(m) ij
收敛于sij.
mo
证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。
定理4.5
Am绝对收敛
mo
a(m) ij
绝对收敛.
mo
对所有i,j=1,2,…,n,
证明思路：
Am 绝对收敛 等价于
||
Am
||
收敛。
1
mo
mo
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§4.2－2 方阵幂级数 定义
d A1(t) A1(t) dA(t) A1(t)
dt
dt
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§4.2－1 方阵序列 收敛的充要条件及性质
Am=(aij (m) )
nn
定理4.1 方阵序列 {Am} 收敛于 A (即 lim Am=A ), m 对于所有 i,j=1,2,…, n, 都有 {aij (m)}收敛于aij .
注意： 定理4.1 说明，一个方阵序列收敛，意味着 n2个元素数列收敛。
|| h ||
则称 f 在点 x 处 Frechet 可微(简称可微)，并称线性算子 A 是 f 在 x 处的 Frechet 导算子，记为 f ，即 f (x) = A 。
1
§4.1－1 向量值函数的导数 定义
注意： （1）导算子的定义式等价于
f (x+h) f (x) = Ah + r (h) 其中 lim h 0 r(h) / h = 0 , 称 Ah 为 f 在 x 点的微分。
征值都满足不等式 | j - 0 | < R, j = 1, 2,…, n .则方阵幂级
数 cm(X 0E)m绝对收敛. 若存在X的一个特征 m0
值k, 使得 | k - 0 | > R, 则方阵幂级数发散.
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§4.2－3 方阵函数 几个特殊的和函数
e
Xe
z
mm00
Xz mm mm!!
1E
证明思路：x = (x1,x2,…,xn)T, h = (h1,h2,…,hn)T, 计算差商的极限。
类似地，如果 f （一般写成列向量） 是可微的，则称相应的导数为二阶导数。
此时，二阶导算子相应的矩阵称为 f 在 x 处的 Hesse矩阵，（2fi(x)/ xi xj）（认为偏导可以 交换）。
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§4.1－2 单元函数矩阵的微分 定义
矩阵函数的微分与积分具有与纯量函数的微分、 积分 类似的定义 及 性质。
定义 设A(t) = ( ij(t))m n , 其中 ij(t) 是变量 t ( )的函数。若对于 i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, ij(t) 均可微，则 A(t) 关于变量 t 的导数定义为
dA(t) dt
(d dt
b
a
a1
1(t
)dt
b
a
a1n(t
)dt
b
a
am1(t
)dt
b
a
amn(t
)dt
dt 而称A(t)dt= aij (t)
为A(t)的不定积分。
mn
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§4.1－2 单元函数矩阵的微分 性质
若函数矩阵A(t)，B(t)均可导, a,b ，C,K是数字矩阵, 则
d (aA(t) bB(t)) a dA(t) b dB(t)