凸函数的三种典型定义及其间的等价关系

Ｖ０１．１５Ｎｏ．３ＪｏｕｍａｌｏｆＨ衄ｄａＪｌＶ确ａｔｉｏｎａｌａＩｌｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣ０１ｌｅｇｅＳｅｐｔ．２００２

凸函数的三种典型定义及其问的等价关系

花树忠

（邯郸市职工大学基础教学部邯郸０５６００１）

摘要：凸函数是一类常见的重要函数，有着十分广泛的应用。但是，不同数学教材中常常会给出不同的定义。本文给出三种比较多见的凸函数定义并就三者间的等价性进行证明。

关键词：凸函数；等价；定义

凸函数是一类重要的函数，笔者在多年的学习及教学过程中发现，不同数学教材中对凸函数的定义有多种形式，典型的有本文给出的三种，但教材中在理论上对它们间的等价关系的证明很少见到，下面笔者就常见的三种凸函数定义及其间的等价关系给予介绍和证明。

一、凸函数的三种典型定义及其几何意义

定义ｌ若函数八茹）对于区间（口，６）内的任意ｚｌ，菇２以及Ａ∈（ｏ，１），恒有

，［Ａ算ｌ＋（１一Ａ）菇２］≤Ｖ（石１）＋（１一Ａ）八髫２）

则称八茹）为区间（口，６）上的凸函数。

其几何意义为：凸函数曲线ｙ＝“菇）上任意两点（ｚ。，厂（省１））、（菇２，，（菇２））问的割线总在曲线之上。

定义２若函数，（菇）在区间（ｏ，６）内连续，对于区间（ａ，６）内的任意菇ｌ，并２，恒有

，（半）≤如，（髫。）＋以并２）］

则称厂（髫）为区间（口，６）上的凸函数。

其几何意义为：凸函数曲线，，＝“石）上任意两点（茗。，八菇。））、（戈：，“石２））问割线的中点总在曲线上相应点（具有相同横坐标）之上。

定义３若函数．厂（菇）在区间（口，６）内可微，且对于区间（口，６）内的任意茹及粕，恒有

／．（戈）≥，（菇ｏ）＋厂（菇ｏ）（菇一茗ｏ）

则称，（茗）为区间（口，６）上的凸函数。

其几何意义为：凸函数曲线，，＝．厂（菇）上任一点处的切线，总在曲线之下。

二、凸函数的两个重要推论

推论１设八并）是定义ｌ下的凸函数，则对于区间（口，６）内的任意三点髫ｌ＜戈２＜ｚ３，有—ｉ＝百一≤—ｉ＝百一≤一ｉｉ一

／．（菇２）一，（髫１）以菇３）一八茗。），（茹３）一，（髫２）

证设Ａ＝（ｘ３一髫２）／（茗３一聋１），贝０Ｏ＜Ａ＜ｌ，且ｌ—Ａ＝（髫２一并１）／（戈３一髫１），菇２＝．：【并ｌ＋（１一．；１）髫，，由定义ｌ得

／．（髫２）＝／－［Ａ菇ｌ＋（１一Ａ）菇２］≤Ａ厂（菇１）＋（１一Ａ）厂（戈３）

从而八茄２）一厂（算１）≤（１一．；Ｉ）［厂（菇３）一八茹１）］及

于是掣≤铧且掣≥掣

／．（茗３）一／－（茹２）≥Ａ［，（茗３）一／．（菇１）］

髫２一茹ｌ髫３一髫ｌ髫３一菇２算３一茄１

，（髫２）一，（菇１）八并３）一八茗ｔ），（菇３）一，（菇２）

日。

刚—ｉ＝百一≤—ｉ＝ｉ≤一茹３一菇２

推论２设，（茹）是定义３下的凸函数，则厂（菇）在区间（口，６）内单调不减，即对（ｎ，６）内任意的戈，·５２·

凸函数的三种典型定义及其间的等价关系

作者：花树忠

作者单位：邯郸市职工大学基础教学部,邯郸,056001

刊名：

邯郸职业技术学院学报

英文刊名：JOURNAL OF HANDAN POLOPTEHNIC COLLEGE

年，卷(期)：2002,15(3)

被引用次数：3次

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