《概率论与数理统计》期末复习题 PPT课件

7. 在假设检验中若原假设H0实际为真时却拒绝H0 ，称这类错误为 弃真（第一类)错误
8.设随机变量 X ~ bn, p EX 2.4 DX 1.44 则 n _ 6 __
p ___0.4 _ px 0 0.66
9.若X～2(10)，则E(X)=10，D(X)=20
10.
P(2(11)>s)=0.05,则
B1 B2 分别表示收到A,B
PB1 PA1PB1 A1 PA2PB1 A2
2 3
0.98
1 3
0.01
0.6567
2
PA1 B1
P A1 PB1
PB1
A1
0.98 3 0.6567
196 197
0.9949
事件独立性的应用举例
1、加法公式的简化： 若事件A1，A2，…，An相互独立, 则
因X是连续型随机变量，所以分布函数是连续的，故
lim F (x) A B 0 B 1
x0
F
(
x)
1
e
x
,
x0
0, x 0
(2)P(1X 1) F(1) F(1) 1 e
(3)f
(x)
F/
(x)
ex
,
x
0
0, x 0
9;设某种轮胎在损坏以前能行驶的路程X（以万公里计）
是一个随机变量，已知其概率密度为f
0 x 0
1
2
3 4
0 x 1 1 x 2
7 8
2 x3
1 x 3
7. 离散型随机变量X的分布函数为
0, x1
F (x)
2
a,1 / 3 a,1
x1 且P（X x2
2） 1/ 2
a b, x 2
求a,b及X的分布律,E(X),D(X)。
解 因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 ，a+b=1
y
(2)问X与Y是否相互独立？
解 f X (x) f (x, y)dy
xe( x y ) dy 00
x0
其它
xex 0
x0 其它
fY (y)
f
(x,
y)dx
P(A1 A2 An ) 1 P(A1)P(A2) P(An )
2、乘法公式的简化： 若事件A1，A2，…，An相互独立, 则
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An )
2. 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概
率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标
f
x, y dxdy
1
dx
0
x 0
Ay
1
y
dy
1
0
A 2
x2
A 3
x3 dx
A 12
1
A 12
（2）fX x
f
x,
y
dy
x
12 y(1 y)dy
0
0
0
x 其他
1
6x2 4 0,其他
x3,0
x
1
f (y)
f
(x,
y)dx
1
12y(1
y
y)dx
0
0
y
1
12y(1
y)2
其他 0
解 (1) f (x, y)dxdy 1
dx Ke2x3y dy 1
00
y
K e2x dx e3y dy
k
1
0
0
6
K=6
xy
(2) F(x, y) f (u,v)dudv
x+2y=1
x y
6e 2u 3v dudv
0 0
0
x 0, y 0 其它
(3)
O
x 1x
1
2
0 y1 其他
（3）f x, y fX x fY y 所以 X与Y不独立
A(1 y xy), 0 x 1,0 y 1
11.二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为 f (x, y) 0,
其他
（1）确定常数A （2）试问X与Y是否相互独立？
解：
（1） 1
f x, ydxdy
1
1
dy A 1 y xy dx
0
0
A 4 7
A
1 0
x
xy
1 2
yx 2
1 0
dy
A y
3 4
y2
1 0
7 4
A
（2）fX x
f x, ydy
1 41 y xydy
07
4 7
y
1 2
y2
1 2
xy 2
1 0
2 3
7
x
当0<x<1
fY y
f x, ydx
1
s
2 0.05
(11)
19.675
11 .
F0.95 (12,9)
1 F10.95 (9,12)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
12. t0.95 (5) t0.05 (5)，t0.05 (50) u0.05
13.已知A,B为两事件，
P(A) 1,P(B) 1,P(B A) 1
(
x)
1 10
e
x 10
,
x
0,
0, x 0
今从中随机抽取5只轮胎，试求至少有两只行驶路程不足30万公里的概率。
解一只轮胎能行驶的路程不足30万公里的概率为
P（X〈30）
30
f (x)dx
30
1
x
e 10 dx
1 e3
0.9502
0 10
5只轮胎中至少有两只行驶路程不足30万公里的概率为
x3
2 1
1 4
x3
2 1
7 6
7 1 1 66
6. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号
灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次
停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求
X的分布律、分布函数以及概率
P(2 X 3)
P(X 3),P(3 X 5),
C130C920
2. 100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为____C_150_0_（只写算式）。
0, x 1
3.
已知随机变量X的分布函数为
F
x
0.4,1 0.5,2
x x
2 3
，则P(X=1)=_0.4
，P(X=2.5)=
0_
1, x 3
4. 设
X ~ N1,3
X 则X的函数Y=
30
4.设X是连续型随机变量，已知X的密度函数为
f
(x)
A ex
,
试求 (1)常数A (2)X的分布函数F(x)
0,
解：
f (x)dx
0
0dx
Aex dx A 1
A
0
x 0， 0
x0
x
F (x) f (x)dx
当x
0，
F ( x)
x
0dx
0
当x 0
F(x)
P(C) 1 P(C ) 0.98
3 .甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率 分别为1/5，1/3，1/4。
（1）求密码能破译的概率； （2）求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。
解 设A，B，C分别表示甲、乙、丙译出的事件， D表示密码被破译的事件， E表示恰有一人译出的事件，则
验，对于假设检验，要求会区分并进行单侧或双侧检验。
《 概率论与数理统计 》复习
一、填空题
1.设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C都不发生”
可 表示为_A__B_C _____; 事件“A、B、C不都发生”可表示为_A __B __C________
事件“A、B、C都不发生”可表示为__A _B__C_________。
于是a=1/6,b=5/6
X的分布律为
X
-1
1
2
p
1/6
1/3
1/2
8. 设连续型随机变量X的分布函数为
求（1）常数A，B的值； （2）P（-1<X<1）；
F
(x)
A
Bex
,
x0(0)
0, x 0
（3）求X的密度函数。
解(1)1 F () lim ( A Bex ) A A 1 x
二、解答题
1.将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时， A被误收作B的概率为 0.02，而 B被误收作 A的概率为 0.01.信息 A与信息 B传送的频率程度为2:1。 (1)若接受站收到一信息，是 A的概率是多少？ （2）若接受站收到的信息是 A，问原发信息是 A的概率是多少？
解：设 A1，A2 分别表示发出A,B.
被击中的概率。 解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件， C表示目标被
击中的事件，则
P(A)=0.9，P(B)=0.8 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98
另解
P(C ) P( AB ) P( A)P(B ) (1 0.9)(1 0.8) 0.02
(1)P(D) P( A B C) P( A) * P(B) * P(C) (1 1)(1 1)(1 1) 2 5 3 45
P(D) P(A B C) 1 P(D) 3 5
(2)恰有一人译出的概率为 P(E) P(ABC ABC ABC)
P(A)P(B )P(C ) P(A)P(B)P(C ) P(A)P(B )P(C) 13
1 3
~ N(0,1)
。
5.设二维随机变量（X,Y)的联合分布律为
P X
xi,Y yj
1 12
i 1,2,3;
j 1,2,3,4 则 PX x1 __1/3__
6.已知 EX 1.5 EX 2 6 ，则E2X __3____D_(X ) __3.75_____ D2X _15 __
题目类型：选择题，填空题，计算题。 提醒注意以下几点： 1、概率论部分中的古典概率计算只要求常见类型如抽球问题和分球入盒问题 2、要求熟知事件关系及其运算，各种概率计算公式等； 3、常用分布的概率计算以及性质，数学期望与方差； 4、一维、二维随机变量的分布函数密度函数之间的关系以及运算, 随机变量的独立性与相关性的关系以及判别； 5、随机变量数学期望与方差以及协方差与相关系数的性质与计算； 6、掌握正态分布随机变量的有关计算以及利用中心极限定理的计算； 7、数理统计的基本概念，常用的抽样分布以及各分布表分位点的性质； 8、掌握参数估计中的矩估计与极大似然估计、估计量的无偏性和有效性； 9、区间估计与假设检验，只考单个正态总体的两个参数的区间估计和假设检
0
4 7
1
y
xy
dx
4 7
x
xy
1 2
x2 y
1 0
4 7
1
3 2
y
当0<y<1.
fX xfY y f x, y
所以X与Y不独立
12. 已知
Ke2x3y x 0, y 0
(X ,Y ) ~ f (x, y)
0
其它
(1)求常数K；(2)求联合分布函数F(x,y)；(3) 求概率P(X+2Y1)。
2
3
2
则P(AB)1/ 4,P(A B) 7 /12,
P(A B) 3/ 4
14.已知A，B为两事件，PA 0.4 PB A 0.6则PAB 0.16
15. 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立， 则E{(2X+3Y)(4Z-1) }= 27/2
16.若X与Y相互独立，则必有X与Y 不相关
f
(
x)dx
1 xdx
2
2
3
2 (2 x)dx
1
1
x2
x2
1
(2x
3
x2 ) 2
3
21
24 1
2
（4）EX
1 x2dx
0
2
1
x
2
x
dx
1 3
x3
1 0
x2
2 1
1 3
x3
2 1
1
DX EX 2 EX 2
EX2
1 x3dx
0
2 x2
1
2
x
dx
1 4
x4
1 0
2 3
P
1
5 0
0.95020
பைடு நூலகம்
1
0.95025
5 1
0.95021
1
0.95024
0.99997
10.二维随机变量（X,Y)的联合密度函数为f
x,
y
Ay1
0
,
y
, 0 x 1,0 y x 其他
(1)试确定常数A；(2)求关于X和Y的边缘密度函数；(3)判断X和Y是否相互独立。
解：(1)
x
f (x)dx
0
0dx
x 0
ex dx 1 ex
1 ex x 0 F(x)
0 x0
ax
5.已知随机变量X的密度函数为 f (x) 2 x
0
0 x1 1 x2 其他
求 (1)常数a (2)分布函数 （3）P(1 X 3) （4）求E(X),D(X)
解：
（1）
f
(x)dx
P( X 2Y 1) dx 6e2xe3ydy
0
0
(1 e2x )(1 e3y ) x 0, y 0
0
其它
1
2 e2xe3y
1 (1x)
2 0
dx
0.5135
0
13. 设二维随机变量(X,Y)具
xe ( x y )
有概率密度函数
f (x, y) 0
(1)求X,Y的边缘概率密度；
22
2
解 设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则
P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：
X的分布函数：
0
1
F ( x)
P( X
x)
2
1 2
1 4
1 2
1 4
1 8
1 2
1 4
1 8
1 8
X P
x0 0 x 1 1 x2 2 x3 x3
0123 1/2 1/4 1/8 1/8
1
1 0
axdx
2 1
(2
x)dx
a 2
1 2
2
1
得a
2
=1
0
（2）F ( x)
1
x
tdt
0 x
x0 0 x1
0
F ( x)
2x
1 2
x2 x2
1
x0 0 x 1 1 x 2
tdt (2 t)dt 1 x 2
2
0
（3）P(1 X 2
1
1
3) 2
x2
3
1
2 1