1.电磁感应---涡旋电场

1
电磁感应-----涡旋电场
18. (19年海淀期末)（12分）麦克斯韦的电磁场理论告诉我们：变化的磁场产生感生电场，该感生电
场是涡旋电场；变化的电场也可以产生感生磁场，该感生磁场是涡旋磁场。

（1）如图22所示，在半径为r 的虚线边界内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
随时间的变化关系为B =kt （k >0且为常量）。

将一半径也为r 的细金属圆环（图中未画出）与
虚线边界同心放置。

①求金属圆环内产生的感生电动势ε的大小。

②变化的磁场产生的涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，在与磁场垂直的平面内其电场线是
一系列同心圆，如图23中的实线所示，圆心与磁场区域的中心重合。

在同一圆周上，涡旋电场的电场强度大小处处相等。

使得金属圆环内产生感生电动势的非静电力是涡旋电场对自由电
荷的作用力，这个力称为涡旋电场力，其与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同。

请推导金属圆环位置的涡旋电场的场强大小E 感。

（2）如图24所示，在半径为r 的虚线边界内有一垂直于纸面向里的匀强电场，电场强度大小随
时间的变化关系为E=ρt （ρ>0且为常量）。

①我们把穿过某个面的磁感线条数称为穿过此面的磁通量，同样地，我们可以把穿过某个面的电场线条数称为穿过此面的电通量。

电场强度发生变化时，对应面积内的电通量也会发生变化，该变化的电场必然会产生磁场。

小明同学猜想求解该磁场的磁感应强度B 感的方法可以类比（1）中求解E 感的方法。

若小明同学的猜想成立，请推导B 感在距离电场中心为a （a<r ）处的表达式，并求出在距离电场中心2
r 和2r 处的磁感应强度的比值B 感1：B 感2。

②小红同学对上问通过类比得到的B 感的表达式提出质疑，请你用学过的知识判断B 感的表达式是否正确，并给出合理的理由。

18. （12分）
（1）①根据法拉第电磁感应定律得
2π)r k S t
B
t S B t Φ=∆∆=∆⋅∆=∆∆=
(ε （2分） ②在金属圆环内，非静电力对带电量为-q 的自由电荷所做的功W 非=qE 感·2πr 根据电动势的定义W q
ε=
非
解得感生电场的场强大小2
2πkr
t r ΦE =
∆∆=感 （4分）
（2）①类比（1）中求解E 感的过程，在半径为R 处的磁感应强度为t
R ΦB e
∆∆=
2π感 在R=a 时，2πa E Φe =，解得2
a
B ρ=
感
在R=
2r 时， 21)2π(r E Φe =，解得4
r B ρ感1= 将R=2r 时， 22πr E Φe =，解得4
r
B ρ感2=
所以
1
1
B B 感1感2= （4分） ② 上问中通过类比得到的B 感的表达式不正确；
因为通过量纲分析我们知道：用基本物理量的国际单位表示t
R ΦB e
∆∆=
2π感的导出单位为
24kg m A s ⋅⋅ ；又因为F B IL =，用基本物理量的国际单位表示F B IL =的导出单位为2
kg
A s
⋅。

可见，通过r
E
图24
图22
r
B
r
B
图23
2
类比得到的B 感
的单位是不正确的，所以t
R ΦB e
∆∆=
2π感
的表达式不正确。

（2分）
24． （18年海淀零模）麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，称为感生电场或涡旋电场。

在如图15甲所示的半径为r 的圆形导体环内，存在以圆环为边界竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间的变化关系为B =kt （k >0且为常量）。

该变化的磁场会在空间产生圆形的涡旋电场，如图乙所示，涡旋电场的电场线与导体环具有相同圆心的同心圆，同一电场线上各点场强大小相同，方向沿切线。

导体环中的自由电荷就会在感生电场的作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中产生了感应电动势，涡旋电场力充当非静电力，其大小与涡旋电场的场强E 关系满足F =Eq 。

（1）根据法拉第电磁感应定律，推导导体环中产生的感应电动势ε；
（2）在15乙图中以圆心O 为坐标原点，向右建立一维x 坐标轴，推导在x 轴上各处电场强度的大小E 与x 之间的函数表达式，在图16中定性画出E -x 图像；
（3）图15丙为乙的俯视图，去掉导体环，在磁场圆形边界上有M 、N 两点，MN 之间所夹的小圆弧恰为整个圆周的1/6；将一个带电量为+q 的带电小球沿着圆弧分别顺时针、逆时针从M 移动到N ，求涡旋电场力分别所做的功。

在此基础上，对比涡旋电场和静电场，说明涡旋电场中为什么不存在电势的概念。

24. （20分） （1）ε=
∆∅∆t
=S ∆B
∆t =πr 2k ……………………………………4分
（2）求x 处的涡旋电场场强，可认为放一个半径为x 的导体环（圆心和磁场区域圆心相同）
当x <r 时：ε=∆φ∆t =∆B ∆t S =k ∙πx 2……………………2分 E x =ε
2πx =
k∙πx 22πx =
kx
2
……………………2分 当x ≥r 时：ε=
∆φ∆t =∆B ∆t
S =k ∙πr 2
……………………2分
E x =
ε2πx =
k∙πr 22πx
=
kr 22x
……………………2分
坐标图正确……………………2分
（3）E r =
kr 2
，+q 受力沿着电场线（顺时针）……………………1分
顺时针移动时：W 1=E r q ∙5
62πr =
5qkπr 2
6
……………………2分 逆时针移动时：W 2=−E r q ∙16
2πr =−
qkπr 26
……………………2分
因为：沿不同路径从M 移动到N 点，W 1≠W 2，即涡旋电场力做功与路径有关，所以不存在电势能E P 的概念， φ=E P q
，所以不存在电势的概念。

……………………1分
（2016年北京市海淀区高三理综一模）24．（20分）在如图甲所示的半径为r 的竖直圆柱形区域内，存
在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间的变化关系为B =kt （k >0且为常量）。

x
E
O
图16
乙 图15
B O
E 涡 r 甲
B O r 丙
. . . . . . . . . . B . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . r
o N M 磁场边界 O
E
kr/2
x
r
3
（1）将一由细导线构成的半径为r 、电阻为R 0的导体圆环水平固定在上述磁场中，并使圆环中心与磁场区域的中心重合。

求在T 时间内导体圆环产生的焦耳热。

（2）上述导体圆环之所以会产生电流是因为变化的磁场会在空间激发涡旋电场，该涡旋电场趋使导体内的自由电荷定向移动，形成电流。

如图乙所示，变化的磁场产生的涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，其电场线是在水平面内的一系列沿顺时针方向的同心圆（从上向下看），圆心与磁场区域的中心重合。

在半径为r 的圆周上，涡旋电场的电场强度大小处处相等，并且可以用2E r
ε
π=
涡计算，其中ε为由于磁场变化在半径为r 的导体圆环中产生的感生电动势。

如图丙所示，在磁场区域的水平面内固定一个内壁光滑的绝缘环形真空细管道，其内环半径为r ，管道中心与磁场区域的中心重合。

由于细管道半径远远小于r ，因此细管道内各处电场强度大小可视为相等的。

某时刻，将管道内电荷量为q 的带正电小球由静止释放（小球的直径略小于真空细管道的直径），小球受到切向的涡旋电场力的作用而运动，该力将改变小球速度的大小。

该涡旋电场力与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同。

假设小球在运动过程中其电荷量保持不变，忽略小球受到的重力、小球运动时激发的磁场以及相对论效应。

○1若小球由静止经过一段时间加速，获得动能E m ，求小球在这段时间内在真空细管道内运动的圈数； ②若在真空细管道内部空间加有方向竖直向上的恒定匀强磁场，小球开始运动后经过时间t 0，小球与环形真空细管道之间恰好没有作用力，求在真空细管道内部所加磁场的磁感应强度的大小。

24. （20分）
（1）导体圆环内的磁通量发生变化，将产生感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势
…………………………………………………（2分） 导体圆环内感生电流……………………………………………………（1分） 在T 时间内导体圆环产生的焦耳热Q=I 2R 0T ………………………………………………（2分）
解得：………………………………………………………………………（1分）（2）①根据
题意可知，磁场变化将在真空管道处产生涡旋电场，该电场的电场强度
………………………………………………………………………………（2分） 小球在该电场中受到电场力的作用，电场力的大小……………………（1分） 电场力的方向与真空管道相切，即与速度方向始终相同，小球将会被加速，动能变大。

设小球由静止到
其动能为E m 的过程中，小球运动的路程为s ，
根据动能定理有Fs=E m ……………………………………………………………………（2分）
小球运动的圈数…………………………………………………………………（1分）
解得：…………………………………………………………………………（2分）
②小球的切向加速度大小为 ……………………………………………（2分） 由于小球沿速度方向受到大小恒定的电场力，所以经过时间t 0，
小球的速度大小v 满足v =at 0…………………………………………………………（1分）
小球沿管道做圆周运动，因为小球与管道之间没有相互作用力，所以，小球受到的洛伦兹力提供小球的向心力，设所加磁场的磁感应强度为B 0，
则有qvB 0=mv 2/r ………………………………………………………………………（2分）
解得：B 0=kt 0/2…………………………………………………………………………（1分）
好，动生电动势和感生电动势，也就是切割和涡旋 23．（2017西城二模）（18分）
2()BS B
S r k t t t
φεπ∆∆∆=
===∆∆∆2
00
k r I R R ε
π==
224
T k r Q R π=22
kr
E r επ=
=2
kqr
F Eq ==
r
s N π2=
m
2
E N kq r π=
2F kqr a m m
=
=
4
电源是通过非静电力做功把其它形式的能转化为电势能的装置，在不同的电源中，非静电力做功的本领也不相同，物理学中用电动势来表明电源的这种特性。

（1）如图1所示，固定于水平面的U 形金属框架处于竖直向下
的匀强磁场中，磁感应强度为B ，金属框两平行导轨间距为l 。

金属
棒
MN 在外力的作用下，沿框架以速度v 向右做匀速直线运动，运动过程中金属棒始终垂直于两平行导轨并接触良好。

已知电子的
电荷量为e 。

a. 请根据法拉第电磁感应定律，推导金属棒MN 切割磁感
线产生的感应电动势E 1；
b ．在金属棒产生电动势的过程中，请说明是什么力充当非静电力，并求出这个非静电 力F 1的大小。

（2）由于磁场变化而产生的感应电动势，也是通过非静电力做功而实现的。

在磁场变化时产生的电场与
静电场不同，它的电场线是闭合的，我们把这样的电场叫做感生电场，也称涡旋电场。

在涡旋电场中电场力做功与路径有关，正因为如此，它是一种非静电力。

如图2所示，空间存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 0，磁场区域半径为R 。

一半径为r 的圆形导线环放置在纸面内，其圆心O 与圆形磁场区域的中心重合。

已知电子的电荷量为e 。

a. 如果磁感应强度B t 随时间t 的变化关系为B t =B 0+kt 。

求圆形导
线环中的感应电动势E 2的大小；
b ．上述感应电动势中的非静电力来自于涡旋电场对电子的作用。

求上述导线环中电子所受非静电力F 2的大小。

23．（18分）
（1）a. （5分）在△t 内金属棒由原来的位置MN 移到M 1 N 1，如图所示。

这个过程中金属框和棒所围面积的变化量是 ∆s = lv ∆t
则穿过闭合电路的磁通量的变化量是
φ∆=B ∆s =Blv ∆t
根据法拉第电磁感应定律1E t
φ
∆=∆
由此得到感应电动势E 1 =Blv
b. （4分）金属棒MN 向右切割磁感线时，棒中的电 子受到沿棒向下的洛仑兹力，是这个力充当了非静 电力。

非静电力的大小F 1 = Bev
（2）a. （4分）由B t =B 0+kt 得
=B k t
∆∆ 根据法拉第电磁感应定律2E t
φ'
∆=
'∆ 解得222r B
E r k t
ππ∆=
=∆
b. （5分）在很短的时间内电子的位移为△s ，非静电力对电子做的功为F 2∆s 电子沿着导线环运动一周，非静电力做的功22=2W F s F r π∑∆=⋅非 根据电动势定义2W E e
=非
联立解得2=
2
kre
F
23．（2017朝阳二模）（18分）
在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。

产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。

（1）利用图甲所示的电路可以产生动生电动势。

设匀强磁场的磁感应强度为B ，导体棒ab 的长度为L ，
在外力作用下以速度v 水平向右匀速运动。

请从法拉第电磁感应定律出发推导动生电动势E 的表达式；
甲 乙 丙
（2）磁场变化时会在空间激发感生电场，该电场与静电场不同，其电场线是一系列同心圆，如图乙中
的虚线所示。

如果此刻空间存在导体，就会在导体中产生感应电流。

如图丙所示，一半径为r 、单
位长度电阻为R 0的金属导体环垂直放置在匀强磁场中，当磁场均匀增强时，导体环中产生的感应电流为I 。

请你判断导体环中感应电流的方向（俯视）并求出磁感应强度随时间的变化率
； B
t
∆∆图2
O
r R
B
M
N 图1
v
B M
N v
M 1 N 1
B
M
N v F 1
B
O r
B
5
（3）请指出在（1）（2）两种情况下，“电源”内部的非静电力分别是哪一种作用力；并分析说明在感
生电场中能否像静电场一样建立“电势”的概念。

23．（18分）
解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E t
φ
∆=
∆ ① 设导体向右运动了t ∆时间，则这段时间内磁通量的变化量=BLv t φ∆∆ ② 联立①②式可得： E =BLv ③ （5分） （2）根据楞次定律可以判断导体环中感应电流的方向为顺时针方向。

根据法拉第电磁感应定律，电路产生的感生电动势 ④ 导体环的总电阻02R rR π'= ⑤ 根据闭合电路欧姆定律，电路中的电流=E I R
'
' ⑥ 联立④⑤⑥式可得：
02R I
B t r
∆=
∆ ⑦ （8分） （3）在（1）中非静电力是洛伦兹力沿导体棒方向的分力；在（2）中非静电力是感生电
场力。

在感生电场中不能建立“电势”的概念。

因为在感生电场中电荷沿电场线运动一周，感生电场力做功不为零，即感生电场力做功与路径有关，因此无法建立“电势能”的概念，也就无法建立“电势”的概念。

（5分）
24．（2018年朝阳二模）（20分）
如图1所示，半径为r 的金属细圆环水平放置，环内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B
随时间t 的变化关系为B kt =（k >0，且为已知的常量）。

（1）已知金属环的电阻为R 。

根据法拉第电磁感应定律，求金属环的感应电动势E 感和感应电流I ； （2）麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，称为感
生电场或涡旋电场。

图1所示的磁场会在空间产生如图2所示的圆形涡旋电场，涡旋电场的电场线与金属环是同心圆。

金属环中的自由电荷在涡旋电场的作用下做定向运动，形成了感应电流。

涡旋电场力F 充当非静电力，其大小与涡旋电场场强E 的关系满足F qE =。

如果移送电荷q 时非静电力所做的功为W ，那么感应电动势W
E q
=
感。

a ．请推导证明：金属环上某点的场强大小为1
2
E kr =；
b ．经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子（即金属原子失去电子
后的剩余部分）的碰撞。

在考虑大量自由电子的统计结果时，电子与金属离子的碰撞结果可视为导体对电子有连续的阻力，其大小可表示为f b =v （b >0，且为已知的常量）。

已知自由电子的电荷量为e ，金属环中自由电子的总数为N 。

展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型，并在此基础上，求出金属环中的感应电流I 。

（3）宏观与微观是相互联系的。

若该金属单位体积内自由电子数为n ，请你在（1）和（2）的基础
上推导该金属的电阻率ρ与n 、b 的关系式。

图1 图2
24．（20分）
解：（1）根据法拉第电磁感应定律有
22ππB r E k r t t
Φ∆∆⋅===∆∆感
根据欧姆定律有
2
πE k r I R R ==
感
………………………………………………………（6分） （2）a ．设金属环中自由电子的电荷量为e 。

一个自由电子在电场力的作用下沿圆环运动一周，电场
力做的功
2πW eE r =⋅
所以 2π2πW eE r
E rE e e
⋅===感 又因为
2πE k r =感
所以1
2
E kr =………………………………………………………………（4分）
b ．假设电子以速度v 沿金属环做匀速圆周运动，导体对电子的阻力f b =v 。

沿切线方向，根
2B
E r t
π∆'=
∆
6
据牛顿第二定律有
0b eE -=v
又因为 12E kr =
所以2ker
b
=
v 电子做匀速圆周运动的周期
2π4πr b
T ke
=
=
v 所以
2
4πNe kNe I T b
==
………………………………………………………（6分） （3）由（1）和（2）中的结论可知
22
π4πk r kNe R b
=
设金属导线的横截面积为S ，则有
2πr
R S
ρ
= 所以
2
2πrbS
Ne ρ=
又因为 2πN S r n =⋅⋅ 所以
2
b
ne ρ=
………………………………………………………………（4分）
24、（2017丰台一模）(20分）麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在其周围空间激发一种电场，这种电 场与静电场不同，称为感生电场或涡旋电场，如图甲所示。

(1) 若图甲中磁场B 随时间t 按B ＝B 0+kt （B 0、k 均为正常数）规律变化，形成涡旋电场的电场线
是一系列 同心圆，单个圆上形成的电场场强大小处处相等。

将一个半径为r 的闭合环形导体置于相同半径的电 场线位置处，导体中的自由电荷就会在感生电场的 作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中 产生了感应电动势。

求： a. 环形导体中感应电动势E 感大小； b. 环形导体位置处电场强度E 大小。

(2) 电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。

它的基本原理如图乙所示，图 的上部分
为侧视图，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，电 子在真空室中做圆
周运动。

图的下部分为真空室的俯视图，电子从电子枪右端逸出， 当电磁铁线圈电流的大小与方向变化满足相应的要求时，电子在真空室中沿虚线圆 轨迹运动，不断地被加速。

若某次加速过程中，电子圆周运动轨迹的半径为R ，圆形轨迹上的磁场为B 1， 圆形轨迹
区域内磁场的平均值记为2B (由于圆形轨迹区域内各处磁场分布可能不均匀，
2B 即为穿过圆形轨道区域内的磁通量与圆的面积比值）。

电磁铁中通有如图丙 所示的正弦交变电流，设图乙
装置中标出的电流方向为正方向。

a. 在交变电流变化一个周期的时间内，分析说明电子被加速的时间范围；
b. 若使电子被控制在圆形轨道上不断被加速，1B 与2B 之间应满足211
2
B B =的关系, 请写出你的证明过程。

24．（1）a 、t
r B t B S t E ∆∆=∆∆=∆∆=2
πϕ感 （2分）
7
k t
B
=∆∆ （2分） 所以：2
r k E π=感 （1分）
b 、由 r F W π2电电=
感电eE W = （3分）
e
F
E 电=
所以2
222kr
r r k r E E ===
πππ感 （2分） （2）a ．B 1和2B 是由同一个电流产生的，因此磁场方向总相同； 由图2可知：B 1处的磁场向上才可能提供做圆周运动的向心力（时间0～
2
T
）； 由图2可知：感生电场的电场线方向顺时针电子才可能加速，所以2B 可以是向上增强（时间0～4
1T ）或向下减弱（时间
4
3
T ～T ）； 综上三点可知：磁场向上增强才能满足在圆周上的加速，因此根据图3可知只能在第一个四分之一周期加速。

（5分）
b ．做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：设某时刻电子运动的速度为v
则 R
v m ev B 2
1= mv eR B =1 ①
由（1）问中的b 结论可得，此时轨道处的感生电场场强大小t
B R E ∆∆=22
①
对①式：eE ma t
v
m t B eR
===∆∆∆∆1 所以：t
B R e t B eR
∆∆∆∆2
121=
t
B t B ∆∆=
∆∆22
1 因为t =0时：B 1=0、B
2 =0，所以有212
1
B B = （5分） （其它解法正确均得分）。