2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题及解答

2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题（2005-8-7）

（O 水平）

1．展开式25

(2-3+4)x x 中x 4的系数为 。

2．已知数列{},{}n n a b 满足21=a ，41

=b ，且已知⎩⎨⎧+=--=++n n n n n n b a b b a a 66211，*

n N ∈，则n

n n b a ∞→lim ＝ 。

3．已知：0,1a b > >，若以81664log ,log ,log a b a b a b + + +为边长的三角形为直角三角

＝ 。

4．已知：在ABC ∆中，角A,B,C 所对三边分别为,,a b c 若tan cot 1A B +=则A=_______。

5．已知直线l 经过抛物线C ：x y 42

=的焦点，且斜率k>2。l 与抛物线C 交于A,B 两点，

AB 的中点M 到直线)3(043:->=++m m y x L m 的距离为

5

1，则m 的取值范围为______. 6．设定义域为(0,)+∞的单调递增函数()f x 满足对于任意(0,)x ∈+∞都有3

()f x x

>-，

且3

[()]2f f x x

+=，则(5)f ＝ 。

7．正方体八个顶点中任取4个不在同一平面上的顶点,,,A B C D 组成的二面角A BC D --的可能值有 个。

8．已知集合M = { a ，b ， c }，N = { 2 ，4 ，8 ，…，220 }，又f 是集合M 到N 上的一个映射，且满足[ f （b ）]2 = f （a ）·f （c ），则这样的映射共有 个。 9．设f (z )=2z (cos π

6 +icos 2π3 )，这里z 是复数，用A 表示原点，B 表示f (1+ 3 i )，C 表示点

-i 4，则∠ABC = 。

10．已知sin sin()cos(),4πααβαββπ⎡⎤

+++-=∈⎢

⎥⎣⎦

则β=___________。 11．设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者得到12支，则有 种不同的分法。 12．设实数1,,≥z y x ，记})

1(,)1(,)1(m in{z y x z

y x z y x z y x M ++++++=，则M 的

最大值为 。

13．集合M = { x | x = 2n ，n ∈ N * ，且n ≤2005}，已知22005是个604位数，则M 中最高位是1的元素共有 个。 14．方程

2

!2

n

m

k k ==∑的所有正整数解组(,)n m 为 。

15．已知函数2

()(0)f x ax bx c a =++>，并设22sin ()cos ()M f f θαθβ=+，

22(sin cos )N f αθβθ=+当(),,2

k k Z R π

θαβ≠

∈∈且αβ≠时，M 与N 的大小关系为____________。

16．在棱长为a 的正方体内容纳9个等球，八个角各放一个，则这些等球最大半径是_______。 17．两个盒子中都装有黑、白两种弹子，两盒中弹子总数为25，每次随机从每个盒子中取出一颗弹子，两颗弹子都为黑色的概率为2750，都为白色的概率为m

n

，其中,m n 为互质的正整数，则m n +=_______。

18．若n ∈ N,且2

2

2

6,13,12n n n +++1都为完全平方数，则所有满足条件的n 的和为_______.

19．若,,,x y z w Z ∈，且2005

2

2

2

2

4

7⋅=+++w z y x ，则w z y x +++=______________.

20．已知2

2

)cos 5(cos )4sin 4(sin )(θθ-+++=x x x f 的最小值为)(θg ，则)(θg 的最大值为______________. 21．设80≤≤x ，则1

)

8)(8()(2+-+=

x x x x x f 的值域为________________.

22．已知m,n 为正整数，p 为质数。若n

m P C =-12，则mnp 的最大值为__________.

23．已知

515

1

arctan

2681arctan 381arctan 101arctan 81arctan 454321n n n n n ++++=π

，且)5,,2,1( =∈i Z n i ，则),,,,(54321n n n n n =________________.

24．函数1)(2

+-=x x x f ，)()

(x f n 定义如下：)()()1(x f x f =，))(()()1()(x f f x f n n -=，

记n r 为0)()

(=x f

n 的所有根的算术平均值。则=2005r

25．如果一个正整数n 在三进制表示下的各位数字之和可以被3整除，那么我们称n 为“好的”则前2005个“好的”正整数之和为_______________.

2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题答题纸

（O 水平）（2005-08-07）

2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题

（A 水平）第一天（2005-8-7）

1、已知：锐角△ABC 中，AB=AC, P 为BC 边延长线上一点。X 和Y 分别为AB 、AC 边所在直线上的点，且满足PX ∥AC ，PY ∥AB 。T 为△ABC 外接圆劣弧BC 的中点。证明：XY PT ⊥。

2、已知：0,,>c b a ，且1=++ca bc ab 。 求证：abc

a c c

b b a 1616161333

≤+++++

3、在边长为1的正n （3n ≥）边形12

n PP P 的内部或边界上任意放置

不同的两点12,n n P P ++，试求：12

min i j i j n PP ≤<≤+的最大值。

2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题

（A 水平）第一天 答案

1、证明：（向量法）设∠BAC =θ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，

X