近世代数课件(全)--2-8 不变子群和商群
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《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
近世代数学习教材PPT课件
§8.2 代数系统常见的一些性质
（3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） c＝a （b c） 2）交换律：a b＝b a 3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c） 4）单位元：a 1＝a 5）逆元：a a－1＝1 6）零元：a 0＝0
7）生成元
逆元
域
特殊子环 （两个二元运算：,
单位元，无零因子 整环 理想 商环
)
特殊环
两个运算的结合律、交换律、吸收律
格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 两个运算有单位元 有界格 两个运算有逆元 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
（7）半群——代数系统满足交换律
§9.2 一些群的理论与半群性质：
半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 （19）关于群的基本理论 群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解； 群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c； 任一群必与变换群同构； 与一个群同构或满同态的代数系统必为群； 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；
第三篇 近世代数
代数系统是建立在集合论基础上以代 数运算为研究对象的学科。本篇共三章， 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质， 第六章群论，主要介绍具有 代表性的代数系统－群，最后第七章其它 代数系统，介绍除群外常见的一些代数系 统，如环、域、格与布尔代数等，这三章 相互配合构成了代数系统的完整的整体。
§8.3 同构与同态
（4）同构：（X， ）与（Y，）存在一一对应函
数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x 2）＝g（x1）
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数简介ppt
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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近世代数学习课件
注：X上的一元和二元代数运算均满足 运算的封闭性。
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
近世代数教学PPT(精品)
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 是给定的集合 .由 A1 , A2 ,, A n
A1 , A2 ,, 的一切元素 An
所成的集合叫做
A1 , A2 ,, 的并； An
由 A1 , A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
A1 , A2 ,, An 的交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗 根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年 后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已 引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理 想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论， 证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域 的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出 素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也 就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽 象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代 数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素 的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数 的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人 之一。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。 1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根据该学科领域几位创始 人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编 著了《近世代数学》(Moderne Algebra）一书,这 是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代 数的教科书。
近世代数理论的三个来源
近世代数精品课程25页PPT
近世代数精品课程
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
2-8不变子群和商群
N 的商群.
2019/9/30
11:55
商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
2019/9/30
11:55
解：
因为 H(13) {(13), (123)}
(13)H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
2019/9/30
11:55
二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 aG , aN Na
,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群）
，记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群.
例2 任意群 G 的中心 C(G) {c G | a G, ca ac}
，结合律；
④ (eN )(aN ) aN,有左单位元 eN N ；
⑤ (1N )(aN ) eN ,有逆元.
2019/9/30
11:55
四、商群
N G G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成群.
定义 2
设 N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成的群为 G 关于
2019/9/30
11:55
商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
2019/9/30
11:55
解：
因为 H(13) {(13), (123)}
(13)H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
2019/9/30
11:55
二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 aG , aN Na
,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群）
，记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群.
例2 任意群 G 的中心 C(G) {c G | a G, ca ac}
，结合律；
④ (eN )(aN ) aN,有左单位元 eN N ；
⑤ (1N )(aN ) eN ,有逆元.
2019/9/30
11:55
四、商群
N G G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成群.
定义 2
设 N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成的群为 G 关于
近世代数课件2
25
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
26
设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
37
M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
17
有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
29
在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
26
设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
37
M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
17
有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
29
在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
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等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
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除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数ppt
8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数课件
研究内容
包括群、环、域等基本概念，以及这 些概念在抽象代数、几何学、拓扑学 等领域的应用。
近世代数的发展历程
19世纪初
随着代数学的发展，人们开始研究代数的结 构，近世代数逐渐形成。
20世纪初
环论和域论的建立进一步丰富了近世代数的 内容。
19世纪中叶
群论的创立为近世代数的发展奠定了基础。
20世纪中叶至今
近世代数课件
目录
• 引言 • 群论基础 • 环论基础 • 域论基础 • 应用举例
01
引言
代数与近世代数
代数
研究数、量、结构、变换以及结构等 概念的数学分支。
近世代数
研究代数的结构、性质和分类的分支 ，是现代数学的重要分支之一。
近世代数的研究对象与内容
研究对象
代数的结构、性质和分类，以及代数 与其他数学分支的联系。
多项式的基本概念
01
多项式是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式
。
多项式的因式分解
02 将一个多项式分解为若干个因式的乘积，这些因式称
为多项式的因子。
多项式因式分解的应用
03
在数学、物理、工程等领域中，多项式因式分解被广
泛应用于解决各种问题，如计算、建模、优化等。
分式域的构造与应用
分式域的基本概念
域的扩张与分解
扩张
如果一个域K包含另一个域F作为其子集，并且K在F上连续，则称K是F的扩张，或称F是 K的子域。
分解
如果一个域K可以分解为若干个子域的乘积，即K=F1×F2×…×Fn，则称K是可分解的 。如果域K没有除了单位元以外的公因子，则称K是素数域。
05
应用举例
线性方程组的解法
线性方程组的基本概念
包括群、环、域等基本概念，以及这 些概念在抽象代数、几何学、拓扑学 等领域的应用。
近世代数的发展历程
19世纪初
随着代数学的发展，人们开始研究代数的结 构，近世代数逐渐形成。
20世纪初
环论和域论的建立进一步丰富了近世代数的 内容。
19世纪中叶
群论的创立为近世代数的发展奠定了基础。
20世纪中叶至今
近世代数课件
目录
• 引言 • 群论基础 • 环论基础 • 域论基础 • 应用举例
01
引言
代数与近世代数
代数
研究数、量、结构、变换以及结构等 概念的数学分支。
近世代数
研究代数的结构、性质和分类的分支 ，是现代数学的重要分支之一。
近世代数的研究对象与内容
研究对象
代数的结构、性质和分类，以及代数 与其他数学分支的联系。
多项式的基本概念
01
多项式是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式
。
多项式的因式分解
02 将一个多项式分解为若干个因式的乘积，这些因式称
为多项式的因子。
多项式因式分解的应用
03
在数学、物理、工程等领域中，多项式因式分解被广
泛应用于解决各种问题，如计算、建模、优化等。
分式域的构造与应用
分式域的基本概念
域的扩张与分解
扩张
如果一个域K包含另一个域F作为其子集，并且K在F上连续，则称K是F的扩张，或称F是 K的子域。
分解
如果一个域K可以分解为若干个子域的乘积，即K=F1×F2×…×Fn，则称K是可分解的 。如果域K没有除了单位元以外的公因子，则称K是素数域。
05
应用举例
线性方程组的解法
线性方程组的基本概念
近世代数课件子群
§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
【正式版】近世代数 子群PPT
近世代数课件 子群
讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群G ．假如由G 里取出一个非空子集H 来，那么利 用G 的乘法可以把 H 的两个元相乘．对于这个乘法 来说，H 很可能也作成一个群．
定义 一个群 G 的一个非空子集H 叫做G 的一个子 群，假如 H 对于G 的乘法来说作成一个群, 用符号 H G表示．
定理3’ 一个群G 的一个不空有限子集H 作成G 的一个子群的充分而且必要条件是：
， , 那．么H由刚证明的，G
；
假定
．由（ⅲ），
，于是
Ⅱ．结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对；
定理１ 一个群 G 的一个不空子集 H 作成G 例4 3 中，H={(1),(12)}
(2) 对任何一个包含 的子群 , 一定包含 ．
子群的充分而且必要条件是： 定理3’ 一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：
，
，
注1: 元
，的使Ⅴ乘得法必．须是由的（乘法ⅱ），对于 H
的任意元 a
来说， H
有
元 a ，使得 由定理(13)和’(2)一，个群是包的含一个的不最空小有的1限子子群集． 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：
a a e 反过来看
引理:设
，假如 是一个子群 , 那么
，（ⅰ）显然成立．我们证明，1这时（ⅱ）也一定成立．
一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积, 由定理１，
(2) 对任何一个包含 S 的子群 H ' , H ' 一定包含 H ．' 这一点容易看出：H 既是一个子群，它又包含所
有 S 的元 a ，b ，c ，…，Ⅰ，Ⅱ，两个条件，因而根
据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积； 这就是说，H ' H ．
讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群G ．假如由G 里取出一个非空子集H 来，那么利 用G 的乘法可以把 H 的两个元相乘．对于这个乘法 来说，H 很可能也作成一个群．
定义 一个群 G 的一个非空子集H 叫做G 的一个子 群，假如 H 对于G 的乘法来说作成一个群, 用符号 H G表示．
定理3’ 一个群G 的一个不空有限子集H 作成G 的一个子群的充分而且必要条件是：
， , 那．么H由刚证明的，G
；
假定
．由（ⅲ），
，于是
Ⅱ．结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对；
定理１ 一个群 G 的一个不空子集 H 作成G 例4 3 中，H={(1),(12)}
(2) 对任何一个包含 的子群 , 一定包含 ．
子群的充分而且必要条件是： 定理3’ 一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：
，
，
注1: 元
，的使Ⅴ乘得法必．须是由的（乘法ⅱ），对于 H
的任意元 a
来说， H
有
元 a ，使得 由定理(13)和’(2)一，个群是包的含一个的不最空小有的1限子子群集． 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：
a a e 反过来看
引理:设
，假如 是一个子群 , 那么
，（ⅰ）显然成立．我们证明，1这时（ⅱ）也一定成立．
一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积, 由定理１，
(2) 对任何一个包含 S 的子群 H ' , H ' 一定包含 H ．' 这一点容易看出：H 既是一个子群，它又包含所
有 S 的元 a ，b ，c ，…，Ⅰ，Ⅱ，两个条件，因而根
据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积； 这就是说，H ' H ．
《近世代数》PPT课件
例2 设 A 1 { 东} ， A 2 { 西 南 } ， B { 高} ，低
则 1 :A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 不是映射.
因为映射要满足每一个元 (a1,a2) 都要有一个像．
而 2 : A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 ； ( 东 , 南 ） 低 是一个映射． 7
A 1A 2 A n{a1 (,a2, an)ai A i}.
即由一切从 A1,A2, ,An 里顺序取出元素组成的元素 组 (a1,a2, an)，ai Ai 组成的集合．
例 A={1,2,3}， B={4,5}, 则
AB={(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}，
A称为 的定义域，B称为 的值域.
注: (1) 映射定义中 “b”的唯一性：映射不能“一对多”，
但可以“多对一”．
(2) 记法： ：A B ;ab (a )，aA ．
(3) 一般情形，将A换成集合 A 1A 2.. .A n 的积，则
对 ( a 1 ,a 2 ,.a n .) .A ,1 A 2 . .A .n有 : A 1 A 2 . . . A n B ; ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) b ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) . 6
2. 元素（或元）: 组成一个集合的事物.
如果a是集合A中的元素，记作a A ； 如果a不是集合A的元 素，记作 a A 或a A .
2
3．空集：没有元素的集合，记作 .
4．子集：设A,B是集合，则
B A (B是A的子集)是指 b B b A . 真子集：B是A的真子集是指 B A 且 aA，但aB .
近世代数课件不变子群商群2021专用PPT
我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足． Ⅰ．显然． Ⅱ． ( x N y N ) z N [ ( x y ) N ] z N ( x y z ) N
x N ( y N z N ) x N [ ( y z ) N ] ( x y z ) N
Ⅳ． e N 是单位元,因为
eN xN(ex)NxN
AB{abaA,bB}， A1{a1 aA}
容易证明: (AB)CA(BC)，A (BC ) (A B ) (A C )
(AB)1B1A1, (A1)1 A
由于结合律成立, S 1 ，S 2 ，…，S m 的乘积用符号
S1S2 Sm
来表示．
定理１一个群G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
一个不变子群 的一个左(或右)陪集叫做 的一个陪集.
因为 也是 的元，在（＊）中以 代 ,
条件
意味着
G的阶 例２ 刚好包含群 的所有有以下性质的元 ， ，不管 是 的哪一个元
G N的阶 给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节的例２里已经看到．
aNNa
注1. 一个不变子群 N 的一个左(或右)陪集叫做 N 的一个陪集. 注2. aNNa意味着: anna吗? 反过来呢? 注3. aNNa在元素间意味着什么? 注4. 不变子群又称为正规子群
10.2 例子
例１ 一个任意群 G 的子群 G 和 e 总是不变子群，因
为对于任意 G 的元 a 来说，
aNa1 N （＊）
因为 a 1 也是 G 的元，在（＊）中以 a 1 代 a ,
…………证完
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用
定理２的条件一般比较方便．
近世代数课件同态与不变子群(最全版)PTT文档
综上所述, G N G 证完
定理１告诉我们，一个群G 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看，G 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 G 与群 G 同态的时候，G 的性质 并不同 G 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我
们一定找得到 G 的一个不变子群N ，使得G 的性质和
商群 G N 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义．
11.4 子群的同态像和逆(原)像
由于回是 忆的逆一象，个因而 子，集关,进一于步 映射的像与逆像
任意两个元 和 来说，
(??)
（ⅰ）假定 ， 是 的两个任意元，并且在 之下，
定义 假定 f 是集合A 到集合 A 的一个映射． （ⅰ） 的一个子群 的逆象 是 的一个子群；
子群．
证明 我们用 f 来表示给定的同态满射．
（ⅰ）假定 a ，b 是 H 的两个任意元，并且在 f 之下，
a a ，b b ，
我们需要证明 ab1 H.注意
（ⅱ） 的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群．
下的象，
)
A f 1. S 是 ，
，
3) 是满射.
的一个子集, f(S){f(s)sS}称为 S 在
的任意元，而且在 之下，
之下的象，它刚好包含所有 S 的元在 之下的象． （ⅱ） 是 的一个不变子群，由（ⅰ），我们知
刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元.
这里 N ker f 是同态满射的核.
证明: 证明的关键点是构造一个同构映射
f :G NG
(启发: 1.必然联想到 f 2. f 离同构有多远? 3.写 出 f :G NG)
f(aN)f(a)a (a G)
定理１告诉我们，一个群G 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看，G 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 G 与群 G 同态的时候，G 的性质 并不同 G 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我
们一定找得到 G 的一个不变子群N ，使得G 的性质和
商群 G N 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义．
11.4 子群的同态像和逆(原)像
由于回是 忆的逆一象，个因而 子，集关,进一于步 映射的像与逆像
任意两个元 和 来说，
(??)
（ⅰ）假定 ， 是 的两个任意元，并且在 之下，
定义 假定 f 是集合A 到集合 A 的一个映射． （ⅰ） 的一个子群 的逆象 是 的一个子群；
子群．
证明 我们用 f 来表示给定的同态满射．
（ⅰ）假定 a ，b 是 H 的两个任意元，并且在 f 之下，
a a ，b b ，
我们需要证明 ab1 H.注意
（ⅱ） 的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群．
下的象，
)
A f 1. S 是 ，
，
3) 是满射.
的一个子集, f(S){f(s)sS}称为 S 在
的任意元，而且在 之下，
之下的象，它刚好包含所有 S 的元在 之下的象． （ⅱ） 是 的一个不变子群，由（ⅰ），我们知
刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元.
这里 N ker f 是同态满射的核.
证明: 证明的关键点是构造一个同构映射
f :G NG
(启发: 1.必然联想到 f 2. f 离同构有多远? 3.写 出 f :G NG)
f(aN)f(a)a (a G)
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r
r
所以
G / N { bN | b G } ( aN )
为循环群.）
2012-9-19
练习： 1. 设G 为整数加群, （1）证明 N 2. G S 3 , （1）证明 N
N 5 g
g G
G ；（2）求 G / N .
N {(1), (1 2 3 ), (1 3 2 )}
，所以 N 是 G 的不变子群.
2012-9-19
三、不变子群的性质 性质1 设 N G ，则 N 是 G 的不变子群
a G ,有 a N N a a G ,有 a N a 1 N a G ， n N ,有 a n a 1 N
性质2 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群. 性质3 不变子群与子群的乘积是子群； 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
h x x h1 h2
Hx
2012-9-19
1
1
x H H x xH
x
1
H xH H x xH H x
一、引理 H 思考题1： G ， S L { aH | a G } 关于子集乘法做成群吗？ 引理 H G ，则 a , b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH H x 答： H G 且 x G , xH H x ，则 S L { a H | a G } 关于陪集乘法
B4
K4
K4
S4
B 4 不是 S 的不变子群. 4
2012-9-19
性质4
H , H G ，但 N 未必是 G 的不变子群，即无传递性.
N
性质5 N H G ，且 N
G ，则 N
H.
2012-9-19
Байду номын сангаас
四、商群
N
G
G / N {aN | a G }
关于 aN bN ( ab ) N 做成群. 证明： ①N G / N ，故非空；
aH bH ( ab ) H
做成群（ e H , ( a H )
2012-9-19
1
a
1
H ）
二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 a G , a N N a ,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群） ，记作 N
G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群. 例2 任意群 G 的中心
② 有乘法运算 ( a N )( b N ) ( a b ) N ； ③ ( aN bN ) cN aN ( bN cN ) ( abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( a N ) a N ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ ( a N )( a N ) e N ,有逆元.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
2012-9-19
一、引理 H 思考题1： G ， S L { aH | a G } 关于子集乘法做成群吗？ 引理 H G ，则 a , b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH H x 证明 " "
2012-9-19
思考题2 我们知道“子群”的概念具有传递性: N H ，H G N G ，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？ N H, H G N G ？
例5 S 4
K 4 {(1), (12 )( 34 ), (13 )( 24 ), (14 )( 23 )}
B 4 {(1), (1 2 )( 3 4 )}
N {(1), (12 3 ), (1 3 2 )}
解： 因为 H (13 ) {(13 ), (123 )}
(1 3 ) H {(1 3 ), (1 3 2 )} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1) N {(1), (123 ), (132 )} N (1 )
(12 ) N {(12 ), ( 23 ), (13 )} N (1 2 )
G ；（2）求 G / N .
2012-9-19
aH bH a ( H b ) H a ( bH ) H ab ( H H ) abH " " x G , y G , yx yexe yH xH yxH yH xH xH H xH , h x H x , h1 , h2 H , st . xh1 h xh2
G / N 的阶＝ [ G : N ] ＝
G N .
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数. 4) N
G , 则 e eN N 为商群 G / N
的单位元, a 1 N 为 a N 的逆元.
2012-9-19
6)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
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四、商群
N
G
G / N {aN | a G }
关于
aN bN ( ab ) N 做成群.
定义 2 设N
G ，则称 G / N { a N | a G }
关于 aN bN ( ab ) N 做成的群为 G 关于 N 的商群.
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商群有下列常用的性质: 1)商群 G / N 的阶＝ [ G : N ]. 2)如果 G 是有限群, 则商群
C ( G ) { c G | a G , ca a c }
都是不变子群. 例3 交换群的子群 都是不变子群.
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例4 G S 3 {(1}, (1 2 ), (1 3 ), ( 2 3 ), (1 2 3 ), (1 3 2 )}
H {(1), (1 2 )}
( aN )( bN ) ( ab ) N ( ba ) N ( bN )( aN )
7)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群. （设 G ( a ) 为循环群, N G , 由于循环群为交换群，且循环群的子群为 循环群，故 N G .
b G , b a
r
bN a N (aN )
r
所以
G / N { bN | b G } ( aN )
为循环群.）
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练习： 1. 设G 为整数加群, （1）证明 N 2. G S 3 , （1）证明 N
N 5 g
g G
G ；（2）求 G / N .
N {(1), (1 2 3 ), (1 3 2 )}
，所以 N 是 G 的不变子群.
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三、不变子群的性质 性质1 设 N G ，则 N 是 G 的不变子群
a G ,有 a N N a a G ,有 a N a 1 N a G ， n N ,有 a n a 1 N
性质2 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群. 性质3 不变子群与子群的乘积是子群； 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
h x x h1 h2
Hx
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1
1
x H H x xH
x
1
H xH H x xH H x
一、引理 H 思考题1： G ， S L { aH | a G } 关于子集乘法做成群吗？ 引理 H G ，则 a , b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH H x 答： H G 且 x G , xH H x ，则 S L { a H | a G } 关于陪集乘法
B4
K4
K4
S4
B 4 不是 S 的不变子群. 4
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性质4
H , H G ，但 N 未必是 G 的不变子群，即无传递性.
N
性质5 N H G ，且 N
G ，则 N
H.
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Байду номын сангаас
四、商群
N
G
G / N {aN | a G }
关于 aN bN ( ab ) N 做成群. 证明： ①N G / N ，故非空；
aH bH ( ab ) H
做成群（ e H , ( a H )
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1
a
1
H ）
二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 a G , a N N a ,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群） ，记作 N
G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群. 例2 任意群 G 的中心
② 有乘法运算 ( a N )( b N ) ( a b ) N ； ③ ( aN bN ) cN aN ( bN cN ) ( abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( a N ) a N ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ ( a N )( a N ) e N ,有逆元.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
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一、引理 H 思考题1： G ， S L { aH | a G } 关于子集乘法做成群吗？ 引理 H G ，则 a , b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH H x 证明 " "
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思考题2 我们知道“子群”的概念具有传递性: N H ，H G N G ，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？ N H, H G N G ？
例5 S 4
K 4 {(1), (12 )( 34 ), (13 )( 24 ), (14 )( 23 )}
B 4 {(1), (1 2 )( 3 4 )}
N {(1), (12 3 ), (1 3 2 )}
解： 因为 H (13 ) {(13 ), (123 )}
(1 3 ) H {(1 3 ), (1 3 2 )} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1) N {(1), (123 ), (132 )} N (1 )
(12 ) N {(12 ), ( 23 ), (13 )} N (1 2 )
G ；（2）求 G / N .
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aH bH a ( H b ) H a ( bH ) H ab ( H H ) abH " " x G , y G , yx yexe yH xH yxH yH xH xH H xH , h x H x , h1 , h2 H , st . xh1 h xh2
G / N 的阶＝ [ G : N ] ＝
G N .
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数. 4) N
G , 则 e eN N 为商群 G / N
的单位元, a 1 N 为 a N 的逆元.
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6)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
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四、商群
N
G
G / N {aN | a G }
关于
aN bN ( ab ) N 做成群.
定义 2 设N
G ，则称 G / N { a N | a G }
关于 aN bN ( ab ) N 做成的群为 G 关于 N 的商群.
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商群有下列常用的性质: 1)商群 G / N 的阶＝ [ G : N ]. 2)如果 G 是有限群, 则商群
C ( G ) { c G | a G , ca a c }
都是不变子群. 例3 交换群的子群 都是不变子群.
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例4 G S 3 {(1}, (1 2 ), (1 3 ), ( 2 3 ), (1 2 3 ), (1 3 2 )}
H {(1), (1 2 )}
( aN )( bN ) ( ab ) N ( ba ) N ( bN )( aN )
7)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群. （设 G ( a ) 为循环群, N G , 由于循环群为交换群，且循环群的子群为 循环群，故 N G .
b G , b a
r
bN a N (aN )