热统习题集
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F YA T2 T1
6、实验发现，对一橡皮带有如下关系：
F L
T
AT
1
2
L0 L
3
F T
L
AL
1
L0 L
3
F 是张力， L0 是没有张力时的皮带长度， A是常数，试求其物态方程。
(4) 焓变 H 0，因而没有混合热； (5) 内能变化为何？
3、理想溶液中各组元的化学势为
i gi T, p RT ln xi
(1) 假设溶质是非挥发的，试证明，当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时，相平衡条 件为
g1 ' g1 RT ln1 x
其中 g1 ' 是蒸气的摩尔吉布斯函数， g1 是纯溶剂的摩尔吉布斯函数， x 是溶质在
第七章
1、晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如教材图 7.7 中的 所示，当 原子离开正常位置而占据图中的 位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体 的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。
(1) 假设正常位置和填隙位置数都是 N ，试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和填
隙原子而具有的熵为
S
Cp
Ti 2 T2
T2
2Ti
第二章
1、证明
T , x,
S y
p,V x, y
，其中
x,
y
是两个任意的独立变量，并由此导出四个
Maxwell 关系。
2、试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀过程中的温度降落大于 在节流过程中的温度降落。
f F, L,T 0
实验通常在 1 pn 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为
1 L
L T
F
等温杨氏模量定义为
Y
L A
F L
T
其中 A是金属丝的截面积。一般来说， 和Y 是T 的函数，对 F 仅有微弱的依赖
关系。如果温度变化范围不大，可以看做常量。假设金属丝两端固定。试证明， 当温度由T1降至T2 时，其张力的增加为
p
dp
根据以上两式证明，理想气体定容热容量和定压热容量只是温度的函数。
8、求出 Van der Waals 气体的摩尔自由能 f ，并以此作为特性函数导出其摩尔熵 s 和摩尔内能 u 。（注意积分常数的确定条件）
9、推导绝热去磁过程的热效应，即已知
M T
H
0
，讨论
4、实验测得碳燃烧为二氧化碳和一氧化碳燃烧为二氧化碳的燃烧热 Q H ，
其数值分别如下：
CO2-C-O2 =0
CO2
-CO-
1 2
O2
=0
H 3.9518105J H 2.8288105J
试根据赫斯定律计算碳燃烧为一氧化碳的燃烧热。
5、绝热容器中有隔板隔开，一边装有 n1 mol 理想气体，温度为T ，压强为 p1 ；
溶液中的摩尔分数。 (2) 求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸气压随溶液浓度的变化率为
(3) 将上式积分，得
p x T
p 1 x
px p0 1 x
其中 p0 是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压， px 是溶质浓度为 x 时的饱和蒸气压。
上式表明，溶剂中溶剂饱和蒸气压的降低与溶质的摩尔分数成正比。该公式称为 拉乌定律。
7、证明 并由此导出
CV V
T
T
2 p T 2
V
,
Cp p
T
T
2V
T
2
p
CV
CV0
T
V 2 p
V0
T
2
V
dV
Cp Cp0 T
p p0
2V T 2
第四章
1、若将U 看做独立变数T,V,n1,..., nk 的函数，试证明：
(1)
U
i
ni
U ni
V
U V
(2)
ui
U ni
vi
U V
2、二元理想溶液具有下列形式的化学势：
1 g1 T, p RT ln x1 2 g2 T, p RT ln x2
2kB
ln
n!
N! N
n!
(2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 u 。试由自由能 F nu TS 为极小 证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为
n
N
exp
u kBT
(设 n N )
2、对于理想气体，求出：(1) 分子的最可几速率；(2) 分子的最可几动能；(3) 分 子的平均速率；(4) 分子的均方根速率；(5) 分子的平均动能。
《热力学与统计物理》习题集
第一章
热力学部分
1、经测量某一气体的体胀系数 和等温压缩系数T 分别为：
nR pV
,T
1 p
a V
其中， n 、 R 、T 都是常数，证明这一气体的物态方程为 pV nRT 1 p2 2
2、利用范氏气体方程，求这种气体的第二、第三位力系数。
（将范氏气体方程变为
d
2L h
m 2
1/ 2
d
2、 N 个经典粒子限制在体积为V 的空间内运动，V ' 是V 中的一部分体积。 试证明：在体积V ' 中找到 n个粒子的几率为
PN
(n)
N! n!(N
n)!
V' V
n
1
V' V
Nn
这个分布称为二项式分布。
7、设在压强 p 下，物质的熔点为T0 ，相变潜热为 L ，固相的定压热容量为 Cp ，
液相的定压热容量为 Cp '。试求液体的绝对熵的表达式。
8、试根据热力学第三定律讨论教材图 4.7(a)、(b)两图中哪一个图是正确的？图 上画的是顺磁性固体在 H 0和 H Hi 时的 S-T 曲线。
(3)
求能态方程和焓态方程，即
U V
T
,
H p
T
的表达式。
6、设 CM 表示磁性材料在磁矩保持不变时的热容量， CH 表示磁场强度不变时的 热容量。证明在等温磁化率 T 和绝热磁化率 S 之间存在下列关系
S
CM CH
T
设材料的体积变化可以忽略。（磁化率定义为 M ） H
Wmax Q T2 S1 S2
其中 S1 S2 是物体的熵减少量。
13、有两个相同的物体，热容量为常量，初始温度同为Ti 。今令一制冷机在此两
物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T2 为止。假设物体维持在定压下，并
且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为
Wmin
第六章
统计物理部分
1、分别在以下几种情况，证明在 到 d 的能量范围内粒子的量子态数。
(1) 在体积V 内的三维自由粒子
D
d
2V h3
2m3/ 2
1/ 2d
(2) 在面积 S 内的二维自由粒子
D
d
2 S h2
md
(3) 在长度 L 内的一维自由粒子
D
另一边装有 n2 mol 的理想气体，温度亦为T ，压强为 p2 。今将隔板抽去，
(1) 试求气体混合后的压强； (2) 如果两种气体是不同的，计算混合后的熵变； (3) 如果两种气体是相同的，计算混合后的熵变。
6、试根据第三定律证明，在T 0K时，表面张力系数与温度无关，即 d 0。 dT
c
cp
Vm
L Vm
Vm T
p
如果 相是蒸气，可看作理想气体， 相是凝聚相，上式可以简化为
c
cp
L T
并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的。
5、试证明，相变潜热随温度的变化率为
dL dT
cp
cp
L T
4.85105K1 和 T 7.8107 pn1 ， 和 T 可近似看做常量。今使铜块加热
至 10 C ，问：(1) 压强要增加多少 pn 才能使铜块的体积维持不变？(2) 若压强 增加 100 pn ，铜块的体积改变多少？
5、描述金属丝的几何参量是长度 L ，力学参量是张力 F ，物态方程是
pV RT
1
BT
V
C T
V2
的形式，用到二项式展开）
3、简单固体和液体的体胀系数 和等温系数T 都很小。在一定温度范围内，可 以把 和T 都看为常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表为
V T, p V0 T0,01(T T0) T p
4 、 在 0 C 和 1 pn 下 ， 测 得 一 铜 块 的 体 胀 系 数 和 等 温 压 缩 系 数 分 别 为
V 的关系。该关系式中要用到一个函数 F T ，其表达式为
ln
F
T
dT
1T
11、利用上题的结果证明：当 为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为 1 T2 T1
12、物体的初温T1高于热源的温度T2 。有一热机在此物体与热源之间工作，直到
将物体的温度降到T2 为止。若热机从物体吸取的热量为 Q ，试根据熵增加原理证 明，此热机所能输出的最大功为
热量。
8、满足 pV n C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明：理
想气体在多方过程中的热容量为
Cn
n n 1
CV
9、试根据热力学第一定律证明：
其中 是体胀系数。
Q CVdT
Cp CV V
dV
10、假设理想气体的 Cp 和 CV 之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T 和
3、证明：
S p
H
0,
S V
U
0.
4、利用自由能 F 和吉布斯函数 G 的定义式，证明下列方程：
U V
T
p
T
p T
V
H p
T
V
T
V T
p
5、对于具有单项功的静流体系统 (1) 证明 TdS 方程为
液态氨的蒸气压方程为
ln p 27.92 3754 T
ln p 24.38 3063 T
试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热。
4、以 c 表示在维持 相与 相两相平衡的条件下 1mol 相物质升高 1K 所吸收
的热量，称为 相的两相平衡摩尔热容量。试证明
7 、 在 0 C 和 1 pn 下 ， 空 气 的 密 度 为 1.29kg m-3 。 空 气 的 定 压 比 热 容
cp 9 9 6 J k- 1g K-，1 1.41。今有 27 m3 的空气，试计算： (1) 若维持体积不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (2) 若维持压强不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (3) 若容器有裂缝，外界压强为 1 pn ，使空气由 0 C 缓慢地加热至 20 C 所需的
TdS
CV
dT
T
p T
V
dV
TdS
CpdT
T
V T
p
dp
TdS
CV
T p
V
dp
Cp
T V
p
dV
(2) 求内能和焓的几种全微分式： dU T,V ,dU T, p,dU p,V ,dH T, p 。
其中 gi T, p为纯 i 组元的化学势，xi 是溶液中 i 组元的摩尔分数。当物质的量分
别为 n1, n2 的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后
(1) 吉布斯函数的变化 G RT n1 ln x1 n2 ln x2 ；
(2) 体积不变 V 0；
(3) 熵变 S Rn1 ln x1 n2 ln x2 ；
Vm T
p
Vm T
p
Vm
L Vm
如果 相是气相， 相是凝聚相，试证明上式可以简化为
dL dT
cp
cp
6、证明半径为 r 的肥皂泡的内压与外压之差为 4 。 r
7、证明在曲面分界面的情形下，相变潜热为
L T s s h h
T H
S
。
第三章
1、求证：
(1)
T
V ,n
S n
T ,V
(2)
p
T ,n
V n
T, p
2、求证：
U n
T ,V
T
Baidu Nhomakorabea
T
V ,n
3、在三相点附近，固态氨的蒸气压(单位为 Pa)方程为
6、实验发现，对一橡皮带有如下关系：
F L
T
AT
1
2
L0 L
3
F T
L
AL
1
L0 L
3
F 是张力， L0 是没有张力时的皮带长度， A是常数，试求其物态方程。
(4) 焓变 H 0，因而没有混合热； (5) 内能变化为何？
3、理想溶液中各组元的化学势为
i gi T, p RT ln xi
(1) 假设溶质是非挥发的，试证明，当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时，相平衡条 件为
g1 ' g1 RT ln1 x
其中 g1 ' 是蒸气的摩尔吉布斯函数， g1 是纯溶剂的摩尔吉布斯函数， x 是溶质在
第七章
1、晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如教材图 7.7 中的 所示，当 原子离开正常位置而占据图中的 位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体 的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。
(1) 假设正常位置和填隙位置数都是 N ，试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和填
隙原子而具有的熵为
S
Cp
Ti 2 T2
T2
2Ti
第二章
1、证明
T , x,
S y
p,V x, y
，其中
x,
y
是两个任意的独立变量，并由此导出四个
Maxwell 关系。
2、试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀过程中的温度降落大于 在节流过程中的温度降落。
f F, L,T 0
实验通常在 1 pn 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为
1 L
L T
F
等温杨氏模量定义为
Y
L A
F L
T
其中 A是金属丝的截面积。一般来说， 和Y 是T 的函数，对 F 仅有微弱的依赖
关系。如果温度变化范围不大，可以看做常量。假设金属丝两端固定。试证明， 当温度由T1降至T2 时，其张力的增加为
p
dp
根据以上两式证明，理想气体定容热容量和定压热容量只是温度的函数。
8、求出 Van der Waals 气体的摩尔自由能 f ，并以此作为特性函数导出其摩尔熵 s 和摩尔内能 u 。（注意积分常数的确定条件）
9、推导绝热去磁过程的热效应，即已知
M T
H
0
，讨论
4、实验测得碳燃烧为二氧化碳和一氧化碳燃烧为二氧化碳的燃烧热 Q H ，
其数值分别如下：
CO2-C-O2 =0
CO2
-CO-
1 2
O2
=0
H 3.9518105J H 2.8288105J
试根据赫斯定律计算碳燃烧为一氧化碳的燃烧热。
5、绝热容器中有隔板隔开，一边装有 n1 mol 理想气体，温度为T ，压强为 p1 ；
溶液中的摩尔分数。 (2) 求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸气压随溶液浓度的变化率为
(3) 将上式积分，得
p x T
p 1 x
px p0 1 x
其中 p0 是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压， px 是溶质浓度为 x 时的饱和蒸气压。
上式表明，溶剂中溶剂饱和蒸气压的降低与溶质的摩尔分数成正比。该公式称为 拉乌定律。
7、证明 并由此导出
CV V
T
T
2 p T 2
V
,
Cp p
T
T
2V
T
2
p
CV
CV0
T
V 2 p
V0
T
2
V
dV
Cp Cp0 T
p p0
2V T 2
第四章
1、若将U 看做独立变数T,V,n1,..., nk 的函数，试证明：
(1)
U
i
ni
U ni
V
U V
(2)
ui
U ni
vi
U V
2、二元理想溶液具有下列形式的化学势：
1 g1 T, p RT ln x1 2 g2 T, p RT ln x2
2kB
ln
n!
N! N
n!
(2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 u 。试由自由能 F nu TS 为极小 证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为
n
N
exp
u kBT
(设 n N )
2、对于理想气体，求出：(1) 分子的最可几速率；(2) 分子的最可几动能；(3) 分 子的平均速率；(4) 分子的均方根速率；(5) 分子的平均动能。
《热力学与统计物理》习题集
第一章
热力学部分
1、经测量某一气体的体胀系数 和等温压缩系数T 分别为：
nR pV
,T
1 p
a V
其中， n 、 R 、T 都是常数，证明这一气体的物态方程为 pV nRT 1 p2 2
2、利用范氏气体方程，求这种气体的第二、第三位力系数。
（将范氏气体方程变为
d
2L h
m 2
1/ 2
d
2、 N 个经典粒子限制在体积为V 的空间内运动，V ' 是V 中的一部分体积。 试证明：在体积V ' 中找到 n个粒子的几率为
PN
(n)
N! n!(N
n)!
V' V
n
1
V' V
Nn
这个分布称为二项式分布。
7、设在压强 p 下，物质的熔点为T0 ，相变潜热为 L ，固相的定压热容量为 Cp ，
液相的定压热容量为 Cp '。试求液体的绝对熵的表达式。
8、试根据热力学第三定律讨论教材图 4.7(a)、(b)两图中哪一个图是正确的？图 上画的是顺磁性固体在 H 0和 H Hi 时的 S-T 曲线。
(3)
求能态方程和焓态方程，即
U V
T
,
H p
T
的表达式。
6、设 CM 表示磁性材料在磁矩保持不变时的热容量， CH 表示磁场强度不变时的 热容量。证明在等温磁化率 T 和绝热磁化率 S 之间存在下列关系
S
CM CH
T
设材料的体积变化可以忽略。（磁化率定义为 M ） H
Wmax Q T2 S1 S2
其中 S1 S2 是物体的熵减少量。
13、有两个相同的物体，热容量为常量，初始温度同为Ti 。今令一制冷机在此两
物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T2 为止。假设物体维持在定压下，并
且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为
Wmin
第六章
统计物理部分
1、分别在以下几种情况，证明在 到 d 的能量范围内粒子的量子态数。
(1) 在体积V 内的三维自由粒子
D
d
2V h3
2m3/ 2
1/ 2d
(2) 在面积 S 内的二维自由粒子
D
d
2 S h2
md
(3) 在长度 L 内的一维自由粒子
D
另一边装有 n2 mol 的理想气体，温度亦为T ，压强为 p2 。今将隔板抽去，
(1) 试求气体混合后的压强； (2) 如果两种气体是不同的，计算混合后的熵变； (3) 如果两种气体是相同的，计算混合后的熵变。
6、试根据第三定律证明，在T 0K时，表面张力系数与温度无关，即 d 0。 dT
c
cp
Vm
L Vm
Vm T
p
如果 相是蒸气，可看作理想气体， 相是凝聚相，上式可以简化为
c
cp
L T
并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的。
5、试证明，相变潜热随温度的变化率为
dL dT
cp
cp
L T
4.85105K1 和 T 7.8107 pn1 ， 和 T 可近似看做常量。今使铜块加热
至 10 C ，问：(1) 压强要增加多少 pn 才能使铜块的体积维持不变？(2) 若压强 增加 100 pn ，铜块的体积改变多少？
5、描述金属丝的几何参量是长度 L ，力学参量是张力 F ，物态方程是
pV RT
1
BT
V
C T
V2
的形式，用到二项式展开）
3、简单固体和液体的体胀系数 和等温系数T 都很小。在一定温度范围内，可 以把 和T 都看为常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表为
V T, p V0 T0,01(T T0) T p
4 、 在 0 C 和 1 pn 下 ， 测 得 一 铜 块 的 体 胀 系 数 和 等 温 压 缩 系 数 分 别 为
V 的关系。该关系式中要用到一个函数 F T ，其表达式为
ln
F
T
dT
1T
11、利用上题的结果证明：当 为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为 1 T2 T1
12、物体的初温T1高于热源的温度T2 。有一热机在此物体与热源之间工作，直到
将物体的温度降到T2 为止。若热机从物体吸取的热量为 Q ，试根据熵增加原理证 明，此热机所能输出的最大功为
热量。
8、满足 pV n C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明：理
想气体在多方过程中的热容量为
Cn
n n 1
CV
9、试根据热力学第一定律证明：
其中 是体胀系数。
Q CVdT
Cp CV V
dV
10、假设理想气体的 Cp 和 CV 之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T 和
3、证明：
S p
H
0,
S V
U
0.
4、利用自由能 F 和吉布斯函数 G 的定义式，证明下列方程：
U V
T
p
T
p T
V
H p
T
V
T
V T
p
5、对于具有单项功的静流体系统 (1) 证明 TdS 方程为
液态氨的蒸气压方程为
ln p 27.92 3754 T
ln p 24.38 3063 T
试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热。
4、以 c 表示在维持 相与 相两相平衡的条件下 1mol 相物质升高 1K 所吸收
的热量，称为 相的两相平衡摩尔热容量。试证明
7 、 在 0 C 和 1 pn 下 ， 空 气 的 密 度 为 1.29kg m-3 。 空 气 的 定 压 比 热 容
cp 9 9 6 J k- 1g K-，1 1.41。今有 27 m3 的空气，试计算： (1) 若维持体积不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (2) 若维持压强不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (3) 若容器有裂缝，外界压强为 1 pn ，使空气由 0 C 缓慢地加热至 20 C 所需的
TdS
CV
dT
T
p T
V
dV
TdS
CpdT
T
V T
p
dp
TdS
CV
T p
V
dp
Cp
T V
p
dV
(2) 求内能和焓的几种全微分式： dU T,V ,dU T, p,dU p,V ,dH T, p 。
其中 gi T, p为纯 i 组元的化学势，xi 是溶液中 i 组元的摩尔分数。当物质的量分
别为 n1, n2 的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后
(1) 吉布斯函数的变化 G RT n1 ln x1 n2 ln x2 ；
(2) 体积不变 V 0；
(3) 熵变 S Rn1 ln x1 n2 ln x2 ；
Vm T
p
Vm T
p
Vm
L Vm
如果 相是气相， 相是凝聚相，试证明上式可以简化为
dL dT
cp
cp
6、证明半径为 r 的肥皂泡的内压与外压之差为 4 。 r
7、证明在曲面分界面的情形下，相变潜热为
L T s s h h
T H
S
。
第三章
1、求证：
(1)
T
V ,n
S n
T ,V
(2)
p
T ,n
V n
T, p
2、求证：
U n
T ,V
T
Baidu Nhomakorabea
T
V ,n
3、在三相点附近，固态氨的蒸气压(单位为 Pa)方程为