知识讲解_《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固(理)_提高

《导数及其应用》全章复习与巩固

编稿：张林娟审稿：孙永钊

【学习目标】

1. 导数概念

通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义.

2. 导数运算

（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；

（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；

（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数.

3. 体会研究函数的意义

（1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；

（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；

（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.

4.导数在实际问题中的应用

（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；

（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；

（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念：

函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘

表示，定义为：

要点诠释： （1）

()()()()100010=

f x f x f x x f x y x x x x

-+∆-∆=∆-∆，它表示当自变量x 从0x 变1x ，函数值从()0f x 变到()1f x 时，函数值关于x 的平均变化率.当x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数

=()y f x 在0x 点的导数.

（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．

（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度． 导数的几何意义：

要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.

导数的物理意义：

在物理学中，如果物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；

如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．

要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． ()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即

()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）

要点二：导数的计算 基本初等函数的导数

基本初等函数 导数 特别地

常数函数()

y c c =为常数 '0y =

'0π=，'=0e

幂函数()n

y x

n =为有理数

1n y n x -=⋅

211'x x ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，()1'2x x =

指数函数x

y a = 'ln x y a a =⋅

()'x

x

e e

=

对数函数log a y x = 1

'ln y x a =

⋅ ()1ln 'x x

=

正弦函数sin y x = 'cos y x =

()2

sin 1

tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭

()2cos 1

cot '='=sin sin x x x x

⎛⎫

⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x =

'sin y x =-

要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数

要点诠释：

（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±

±=±±±．

（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；22

11'()1'()'()

'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢

⎥⎣⎦

． 复合函数的导数

设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性

设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，

（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：

（1）在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.

（2）只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.

利用导数研究可导函数的极值

求函数()y f x =在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；

④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释：

①注意极值．．与极值点．．．的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0

f x '=，

且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

③可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数

)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3

，在x =0处，'(0)0f =，但x =0不是函数的极值

点.

利用函数研究可导函数的最值

若函数()y f x =在闭区间[,]a b 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数()f x 在(,)a b 内的导数()f x '； ②求方程()0f x '=在(,)a b 内的根；

③求在(,)a b 内所有使()0f x '=的的点的函数值和()f x 在闭区间端点处的函数值()f a ，()f b ；

比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最小值.