工数上习题课6

dx
tan x t 2
2 cos x
2dt
1 t2
2
1 1
t t
2 2
2
dt 3 t2
2 3
dt 3
1
t 2 3
2
arctan
t
C
2
tan x arctan 2 C
3
3
3
3
3.计算不定积分 I cos2 x sin4 xdx
解：
2
I cos2 x sin4 xdx
cos2 x sin2 x sin2 xdx
I
sin
dx x cos
x
(1
sin xdx cos2 x) cos
x
(1
d cos x cos2 x) cos
x
cos xt
dt
(1 t)(1 t)t
1 t
1 2
1
1
t
1 2
1
1
t
dt
ln t 1 ln(1 t 2) C 2
ln cos x ln sin x C
ln tan x C
1 8
sin 2
2 x(1
cos
2x)dx
1 8
sin 2
2xdx
1 8
sin 2
2x
cos
2xdx
1 16
(1
cos
4
x)dx
1 16
sin
2
2
x
cos
2
xd
2
x
1 16
x
1 64
sin
4x
1 16
sin
2
2
xd
sin
2x
1 x 1 sin 4x 1 sin3 2x C
16 64
48
4. lim 1 ( 1 1 1 2 1 n) （ ）
习题课 6（王雪臣）
基本内容：有理三角函数的积分法、定积分的定义及性质、变限积分函数、牛顿-莱布尼兹 公式，综合解法举例（一）
基本题型：1.计算不定积分；2.利用定积分的定义求极限；3.利用定积分的几何意义计算定 积分的值；4.定积分的计算；5.关于变限积分函数的问题：求导，求极限，证明 积分不等式等。
d x sin(x t)2 dt x t u d 0 (sin u2 )du d x sin u2du sin x2
dx 0
dx x
dx 0
8.设 f (x) 连续, 则 d x (x t) f (t)dt （
dx 0
）
（A） xf (x) （B） xf (x)
x
（C） f (t)dt 0
xdx
2
3
x2
2
2
3
(22
1)
，选（D）
3
3
1
1
5.
1 x2 dx （
1
）
（B）
2
（B） 2
（C）
4
（D）1
解：用定积分的几何意义，积分表示上半单位元的面积 选（A）.
2，
d
6.
sin x et dt （
dx cos x
）
（A）esin x cos x ecos x sin x （B）esin x cos x ecos x sin x （C）esin x cos x （D）ecos x sin x
解：利用公式 d (x) f (t)dt f ((x))(x) f ( (x)) (x) 知，选（A）
dx ( x)
3
7. d x sin(x t)2 dt (
dx 0
).
（A） sin x2 （B） sin x2
（C） cos x2
（D） cos x2
解：应填 sin x2 选（A）
解法（四）：被积函数满足 R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) ，用 tan x t 换元
I
sin
dx x cos
x
1 cos2
x
dx
tan x
d tan x tan x
ln tan x C
2.计算不定积分 I = dx
2 cos x .
解： I =
解法（二）：被积函数满足 R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) ，即被积函数关于 cos x 为奇
函数，用 sin x t 换元
I
sin
dx x cos
x
sin
源自文库
cos xdx x(1 sin
2
x)
sin
d sin x x(1 sin
2
x)
sin xt
dt
t(1 t)(1 t)
（D）
x
f (t)dt
0
解：应选（C）
原式
d dx
x
x 0
f (t)dt
x 0
tf
(t)dt
x f (t)dt xf (x) xf (x)
0
x
f (t)dt
0
x
(arctan
t
)2
dt
9.求极限 lim 0
．
x
x2 1
解：先用等价无穷大代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
n n
n
n
n
（A） 0
（B） 2
（C）
4
（D）
2
3
(22
1)
3
n
解 ： 利 用 定 积 分 的 定 义 ， 原 式 = lim n i1
1 i n
1 n
，取
xi
1 n
,
i
i n
，则原式
=
1
1
xdx
2
(1
3
x) 2
1
2
(2
3 2
1)
，选（D）
0
3
3
0
或者取 xi
1 n
,
i
1 i n
，则原式=
2 1
解：
lim
x (arctan t)2 dt
0
lim
x (arctan t)2 dt
0
lim
arctan
x2
2
.
x
x2 1
x
x
x
4
10.设函数 f ( x), g( x) 在区间 a.b上连续，且 f ( x) 单调增加， 0 g( x) 1，证明：
（1） 0 x g(t)dt x a, x a,b； a
（2）
b
a g( t )dt
a
f
( x)dx
b
f ( x)g( x)dx ．
a
a
解：（1）证明：因为 0 g( x) 1，所以
x 0dx
x g(t)dt
x
1dt
x a,b．
a
a
a
即 0 x g(t)dt x a, a
x a,b．
（2）令 F( x)
x f (u)g(u)du
1.计算不定积分 I
dx .
sin x cos x
解法（一）：用 2 倍角公式
I
sin
dx x cos
x
2
dx sin 2x
2
sin 2 sin 2
xdx 2x
1
d
cos cos
2x 2 2x
1 2
1
1 cos
2
x
1
1 cos
2
x
d
cos
2x
1 ln 1 cos 2 x C 2 1 cos 2 x
x
a g( t )dt
a
f (u)du ，
a
a
则可知 F (a) 0 ，且 F'( x)
f ( x)g( x) g( x) f a
x a
g
(t
)dt
，
因为 0 x g(t)dt x a, 且 f ( x) 单调增加， a
1 t
1 2
1 1
t
1 2
1
1
t
dt
ln t 1 ln(1 t 2) C 2
ln sin x ln cos x C
ln tan x C
解法（三）：被积函数满足 R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) ，即被积函数关于 sin x 为奇
1
函数，用 cos x t 换元