固体物理(第4课)倒易空间课件
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固体物理第4课倒易空间ppt课件
2 a2 a3
V
2 a3 a1
V
2 a1 a2
a3
)
V 原胞体积
12：：bb11的方2d向1 沿a2、d1是a3构a2、成a的3构晶成面的的晶法面线族方的向面间距
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系：
ai
bj
2 ij
2，i
0，i
j j
b1 b2 b3
1.9 倒格子(倒易点阵reciprocal)*
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。
若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
(b1，b2，b3)如何确定？
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
简约布里渊区：简立方体
V
2
a
3
V倒易原胞
返回
布里渊区示意图2-1
倒易
C
B
A
体心立方的倒易点 阵是面心立方
离原点最近的有 １２个倒格点
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
b b b 倒格矢 Kn n1 1 n2 2 n3 3
2
a
[(n2
n3 )i
2 2 2
a2 a3 V a3 a1 V a1 a2
V
正(2)点两阵个：点阵正格格矢矢之Rl间的l1a关1 系l2：a2
l3a3
l1、l2、l3 Z
倒易点阵：倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1、h2、h3 Z
则有：
Rl Gh＝2 Z
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
倒易空间
倒易空间、波矢与衍射条件2009-10-09 13:07倒易空间、波矢与衍射条件1. 傅立叶展开与倒易空间我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。
因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。
所以，我们首先要处理的就是周期性函数。
而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。
值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。
后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。
对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：u(r) = u(r + T)这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。
那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：u(r) = S G u G exp(i G·r)其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。
而倒易基矢量由如下倒易关系给出：b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：a i·b j= 2πδij这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。
固体物理第二章第四节 倒格子
1 ig r ig Rn 1 ig r ig Rn A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e
A( g ) 0 or
g
A( g )
定义对布拉维格子中所有格矢满足或或m为整数的全部端点的集合构成该布拉维格子称为正格子的倒格子reciprocallattice与倒格子的定义对应由格矢的端点所描述的布拉维格子称为正格子directlattice由端点的集合所描述的布拉维格子称为倒格子reciprocallattice称为倒格矢利用倒格矢满足的傅里叶展开为
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0
e
1
不合要求，应舍去
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
则下式自然成立： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3 由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
倒易空间和波矢空间
倒易空间和波矢空间倒易空间和波矢空间在固体物理学研究中扮演着重要的角色。
本文将分别介绍这两种空间的概念、性质及其在固体物理学中的应用。
一、倒易空间倒易空间是晶体学中的重要概念，也叫倒格子空间，是由晶体空间分别沿着三个互相垂直的方向所取得的倒格子面组成的三维空间。
倒易空间与实空间是对偶的，其定义如下：假设有一个空间中的周期晶体，晶格矢量为a1、a2和a3，我们将一个点P通过向该点连接三个不同的坐标轴上的原点，形成一个平行六面体。
在每个棱角上，我们垂直地连接倒晶格点，连接的线称为倒格子矢量，用向量b1、b2和b3表示。
这样就形成了一个由倒格子面组成的空间，这个空间就是倒易空间（或倒格子空间）。
倒易空间与其它物理学中的向量空间不同，因为其中的向量没有固定的起点或终点。
在倒易空间中，每个点表示一个倒格子面，而一个倒格子面的位置就由其倒格子矢量来决定。
倒易空间中的晶体结构即为倒格子结构。
倒易空间具有以下性质：1. 倒易空间的晶格矢量为倒格子的倒数。
2. 在倒易空间中，原点为所有倒格子的交点，称之为倒空间原点。
3. 倒易空间是无限大的，且存在与实空间一样的点群和空间群对称性。
4. 不同晶体的倒易空间不同，同样的晶体在不同条件下有不同的倒易空间表现形式。
倒易空间在固体物理学中有广泛应用。
例如，通过研究倒易空间中的电子能带结构，可以了解晶体材料的导体性、半导体性等性质；倒易空间中的布拉格平面可以对X射线衍射、中子衍射等进行定量描述，在这些领域具有重要的应用价值。
二、波矢空间波矢空间是描述在动量空间内的物理现象的空间。
波矢空间和倒易空间十分相似，只是在它们的定义和性质上存在微小差异。
假设有一个动量空间，其中的波矢k可以用三个互相垂直的分量(kx, ky, kz)表示。
图中所示为二维情况下的波矢空间。
波矢空间的物理意义为动量的取值范围。
在波矢空间中，物理量的取值可能会形成一些稀疏的分布，这些分布就被称为分支，对应实空间中的布里渊区。
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
固体物理01_04_02
• Each vector defined as above is orthogonal to two vectors of the crystal lattice.
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• Thus the b1,b2,b3 have the property:
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• B1沿（a2,a3）平面的法线方向 • 而 为平行四边形（a2,a3）的面积， 故设(a2,a3)平面所在的晶面族的面间距为 d1
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 则有：
• 表明倒易点阵基矢的长度正好与晶面间 距的倒数成正比
倒易点阵的物理意义：
(1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组 晶面相对应的； (2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方 向； (3) 倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面 间距的倒数的2π倍。单位为长度的倒数
倒易点阵的物理意义：
• 可以说正点阵里的一族晶面与倒易点阵 中的一个点相对应。 • So every crystal structure has two lattices associated with it, the direct lattice and the reciprocal lattice. • Thus when we rotate a crystal in a holder, we rotate both the direct lattice and the reciprocal lattice.
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 正点阵中的晶面方程为： (hb1+kb2+lb3)•x=2n n为整数， x=1a1+2a2+3a3 为晶面中的任意一点。 不同的n，表示不同的晶面。
倒格子空间
C O
Gh
a2 a3 CB OB OC h2 h3
B
a2
a1 a 3 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h1 h3 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 3
2π a 2 2π jk jk 3 a 2 a 2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
2π b2 ik a
2π b3 i j a
2π b3 i j a
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2h3 2 h2 h2 h1 2 3 证明：
1、倒矢量
b1， b 2， b3
量纲：[长度]－1
倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积
3
a 3 a1 a 2 a1 a 3 a1 a1 a 2 Ω a 1
3
Ω*
2π a 2 a 3 Ω a1 Ω
3 2 π
Ω
4）倒格矢 G h h h 与晶面之间的关系： 1 2 3 （i）G h h h 垂直于晶面系(h1h2h3) ，即
06 固体物理 1.4.1 倒格子
由于，CA， CB 都在晶面 ABC上 所以，Gh1h2h3 与晶面系(h1h2h3 )正交。
a1 a2 2 (a1 a2 ) b3 2 a1 (a2 a3 )
a1 (a2 a3 )
显然，倒格子基矢的量纲是 [长度]-1，与波矢的量纲一致。
3、倒格子定义之三
采用波函数定义倒格子 设有以 a1,a2,a3为基矢的布拉菲格子
2
可以证明，
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
g ( x, y) exp[i2 ( f x f
x
x y
y
y)]dxdy
G( f , f
) exp[i 2 ( f x x f y y)]dfx df y
fx , f y
06 固体物理 1.4.1 倒格子
1 3
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
固体物理(黄昆)(课堂PPT)
可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的分布情况是相同 的。这组等距的晶面的称为一族晶面。
面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶 体。 ）
46
通常用密勒指数来标记不同的晶面。
确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 1 、a 2 、a 3 的轴线。
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向26
hcp也是复式晶格。 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格 相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
27
二、基矢和原胞
a2 0 a1
28
1. 格矢: R l 2. 基矢：
任一格矢
R l l1 a 1 l2 a 2 l，3 a 3
37
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
体积
V
a1
a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
38
bcc原胞示意图
39
fcc
晶胞：
a ai
基矢 b a j
c
ak
体积 V a3
原子个数 4
40
原胞：
基矢 体积
a1
a (i 2
j)
倒格子并非物理上的格子只是一种数学处理方法它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作55一倒格子的定义假设晶格的原胞基矢为体积为建立一个实的空间其基矢56从数学上讲倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶 体。 ）
46
通常用密勒指数来标记不同的晶面。
确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 1 、a 2 、a 3 的轴线。
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向26
hcp也是复式晶格。 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格 相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
27
二、基矢和原胞
a2 0 a1
28
1. 格矢: R l 2. 基矢：
任一格矢
R l l1 a 1 l2 a 2 l，3 a 3
37
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
体积
V
a1
a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
38
bcc原胞示意图
39
fcc
晶胞：
a ai
基矢 b a j
c
ak
体积 V a3
原子个数 4
40
原胞：
基矢 体积
a1
a (i 2
j)
倒格子并非物理上的格子只是一种数学处理方法它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作55一倒格子的定义假设晶格的原胞基矢为体积为建立一个实的空间其基矢56从数学上讲倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
固体物理：1-4 倒 格
反射线构成以 转轴为轴的一 系列圆锥
实际反射线是 通过晶体O的
由直线间距计 算晶格常量
P C
CO为入射方向, 晶体原点在O 点处
O
35
P
C
O
O
CO为入射方向,晶体在O点处
根据衍射斑点间的距离可以求晶体的晶格常量。
36
3.粉末法
(1)X射线单色(固定)； (2)样品为取向各异的单晶粉末。
由于样品对入射线方向是“轴对称”的，任意晶面的取向 几乎是连续的，对应的反射线以入射方向为轴形成一个圆 锥面。不同晶面族的衍射线构成不同圆锥。衍射线与圆筒 形相交，形成图示衍射条纹。
Ω* (2π)3 / a3 (2π)3 / Ω
ak
aj
O
ai
b3
b2
O
b1
第一布里渊区
12
例5：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
解：面心立方正格基矢：
a a1
a j
2
k
a2 a
3
a
2
i
a
2
i
k
j
Ω a1 (a2 a3)
1 a3 4
ak
a 1
aj
倒格基矢:
19
§ 1.8.1 晶体衍射的基本方法
1.X射线衍射
X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质
上而产生的一种电磁波。主要与原子中电子云发生作用。
当晶体中含有质量相差较大的原子时，用X射线衍射测定晶
体结构。
h max eU
h c eU min
min
hc eU
1.2
U
103
(nm)
h 6.62 1034 J s c 3 108 m s e 1.6 1019 C
第1章倒易点阵及电子衍射基础ppt课件
单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
1.1.2 晶体学点群 对称要素 晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进
行分类的。 群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素
的集合。
晶体的独立宏观对称要素共有8种，即
1，2，3，4，6，i，m，4
对称中心的国际符号 形象法表示
等效位置，+、—号表示正反面， ，左右手的变化
对称的极图表示
2) 电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体 产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。 因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍 射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。
倒易空间Ewald图解.ppt
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7
Ewald图解
设S0与S分别为入射线与反 射线方向单位矢量，S-S0称 为衍射矢量，则反射定律可 表达为：S0与S分居反射面 （HKL）法线（N）两侧且 S0、S与N共面，S0及S与 （HKL）面夹角相等（均为 θ）。据此可推知S-S0∥N （此可称为反射定律的数学 表达式），如图所示。
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第一 从已知条件中能读出多少内容： 1. 从|a|=3Å，|b|=2Å，gamma=60°，c//a×b可以看 出：这个点阵是一个简单单斜点阵 这个点阵是一个简单单斜点阵；a、b俩基矢间的夹角 这个点阵是一个简单单斜点阵 为60°；c轴垂直于a、b俩基矢所在平面；|c|没给出 没给出。 ； 没给出 2. 所求倒易矢为 g*110与g*210 。 第二，理清思路： 根据倒易矢与相应正点阵晶面之间的关系可知，所求倒易 矢的方向分别为正点阵中（110）和（210）晶面的法向， 倒易矢模长分别为晶面间距d110和d210的倒数。
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倒易点阵的性质
倒易点阵是衍射波在空间的方位与强度的 分布。倒易空间的每一阵点都和正空间的相 应的晶面族对应。 1. 定义：设a、b、c为正空间单胞的三基矢， a、b、c a* 、b * 、c *为倒空间单胞的三基矢，则： a* • a = b* • b = c* • c = 1 (1) a* • b = b* • c = c* • a = a* • c = b* • a = c* • b=0 (2) （1）决定了倒易矢的长度；（2）给出了方向。
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讨论衍射矢量方程的几何图解形式
衍射矢量方程的几何图解如图所 示，入射线单位矢量S0与反射晶面 （HKL）倒易矢量R*HKL及该晶面反 射线单位矢量S构成矢量三角形（ 称衍射矢量三角形）。该三角形为 等腰三角形（S0=S）；S0终点是倒 易（点阵）原点（O*），而S终点 是R*HKL的终点，即晶面对应的倒易 点，S与S0之夹角为2θ，称为衍射 角，2θ表达了入射线与反射线的方
固体物理学-倒空间
倒格与正格基矢的关系
՜ ՜
ℎ ⋅ = 2π
ℎ‘ =ℎ1 1 + ℎ2 2 + ℎ3 3
(1 റ1 + 2 റ 2 + 3 റ 3 ) ⋅ (ℎ1 ′1 + ℎ2 ′2 + ℎ3 ′3 ) = 2
两种点阵的基矢之间的关系：
Solid State Physics
2
Solid State Physics
倒格矢与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
՜
՜
՜
Γ + = Γ
上式两边分别按傅里叶级数展开：
՜ ՜
ℎ ⋅ = 2π
倒格矢是傅里叶空间的矢量，它取决于正格子点阵的周期性
倒格空间=傅里叶空间
Solid State Physics
衍射加强条件的另外一种形式：
相位差
∆∅ =
λ
2 =
2
波矢 0 = 0
λ
∙− ∙0
λ
2= 2
2
=
റ
λ
՜ ՜
՜
⋅ − 0 = 2πμ
量纲互逆
∙ ℎ’ = 2
՜ ՜
՜
− 0 = ℎ′
倒格矢
ℎ ℎ
倒格空间=波矢k空间（动量 = = ）
՜
՜
՜
则， 1 ， 2 ， 3 分别与(100), (010), (001)晶面族正交
(1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组晶面相对应的；
(2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向；
՜
՜
՜
՜
ℎ = ℎ1 1 + ℎ2 2 + ℎ3 3 的长度为
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V* b1 (b2 b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
(4) 倒格矢和正点阵晶面族之间的关系：
正点阵中一族晶面，晶面指数为：（h1h2h3）
倒易点阵中倒格矢：
Gh
h1b1 h2b2
h3b3
则有：
GGhh
Γ (r)为周期函数
将Γ (r)作傅里叶级数展开，有：
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
r
n
n1 n2 n3
n
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11总Biblioteka ：晶体点阵 实际晶体结构显微图像 微观粒子 线度量纲：L 位置空间 坐标空间
倒易点阵 虚构
衍射图像 一族晶面 线度量纲：L－1 倒易空间 傅里叶空间
aa13aa33
2
a
2
a
i j
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
-b1
b2
b1 －b2
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14
离原点次近的倒
格点有４个：
b1＋b2 ，b1-b2 ，
b2，-b2．
-b1＋b2
b1＋b2
－b1-b2
b1-b2
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15
离原点再远的倒格点有４个：
２b1，-２b1，２b2，-２b2．
Z
h1、h2、h3 Z
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
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7
•为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
•
eiGT 1
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8
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
•(b1，b2，b3)如何确定？
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4
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
•（1）.倒矢与正格矢的关系：
点阵：原胞基 矢a1、a2、a3
b1 2 b2 2 •b3 2
a2 a3
a3V a1 ， V
a1
V
a2
V
a1 (a2
a3 )
原胞体积
b1、 b2、 b3： 原胞基矢 倒易点阵
２b２
－２b1
２b1
－２b 学习交流PPT
２
16
二维正方晶格的布里渊区
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17
二维长方晶格的布里渊区
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18
二维六方晶格的十个布里渊区
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19
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20
(3) 三维晶格
• a. 简立方晶格 倒易空间示意图
aaa321
ai
aj
ak
b1
b2
K空间
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12
1.9.3 常见晶格的布里渊区
•(1) 一维晶格
a1
ai
b1
2
a
i
(2) 二维晶格
a1、a2
构 造a3， 令a3＝k
b1
b2
2 2
a1 a1
aa2学3aa习22交aa流31PaaPT33
13
aa12
ai aj
b1
b2
2 2
a1 a1
aa23aa22
// (h1h2h3
＝ 2
d h1h2h3
)
法线方向
证明如下：
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵
(6)倒易点阵与正点阵学有习交流相PPT同的宏观对称性
9
倒格矢和正点阵晶面族示意图
CA＝OA OC a1 a3
CB＝OB
OC
h1 a2
ah33
h2 h3
CA
Gh
0
Gh
CA
CB Gh 0 Gh CB
b3
2
a
2
a
2
a
i j k
b1
倒易点阵仍为简立方晶格
b3 b2
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b1
21
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
a1
a 2
(
a2 a3
a
2 a
2
i j k) (i j k) (i j k)
b1
b2
b3
2π
a 2π
a 2π
a
(j k) (i k) (i j)
(1) 两个点阵基矢之间的关系：
ai
bj
2 ij
2，i
0，i
j j
b1 b2 b3
2 2 2
a2 a3
a3V a1
a1
V
a2
V
(2) 两个点阵格矢之间的关系：
正点阵：
正格矢
Rl
l1a1
l2a2
l3a3
l1、l2、l3 Z
倒则易有点： 阵：倒格矢Rl G Gh h＝2h1b1
h2b2 h3b3
b 4π a
•体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞
常数为 4 。
a
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22
c. 面心立方晶格
a1 a2 a3
a
2 a
2 a
2
(j (i (i
k) k) j)
1.9 倒格子(倒易点阵reciprocal)*
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1
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
•1 正格矢与倒矢
S S0 P
原子可向空间任何方向散射 X光线，只有一些固定方向 可形成衍射。
B AO
•点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基 矢a1，a2，a3构成的矢量，
•S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍 射后光程差为：
A0 OB -Rl S0 RlS Rl (S-S0)
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2
•当X光为单色光，衍射加强的条件为：
•
Rl•(S-S0)=u •λ
•令
k
2
S
k0
2
S0
，代入上式，
•衍射加强条件变为： Rl• （k -k0） = 2π u
•根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间
中的位置矢量，令：
Gh k -k0
2
(S
S0 )
•有
Rl• Gh = 2π u ( 学习交流PPT Rl和Gh 不一定平行)
3
•可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。 •若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， •则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
d h1h2 h3＝ah11
Gh Gh
a1
(h1b1
h2b2
h3b3 )
h1 Gh
2
Gh
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10
•3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ
若(r)有rr＝ rx1a1Rl，x2Ral2
x3a3 l1a1
x1、x2、x3 l2a2 l3a3
R l1、l2、l3
Z
则有Γ (r) Γ (r) (示意图)
a1、 a2、 a3： 原胞基矢 正点阵
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V
b1 b2 a1 b 3(a2
2 a2 a3
2 a3V a1
2
a1
V
a2
a3
)
V 原胞体积
12：：bb11的方2d向1 沿a2、d1是a3构a2、成a的3构晶成面的的晶法面线族方的向面间距
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（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系