生物统计学：第七章 直线回归与相关分析

y)2 y)2
SPxy 2 SSxSS y
SPxy SS x
SPxy SS y
byx
bxy
决定系数的大小表示了回归方程估测可靠程度的
高低，或者说表示了Байду номын сангаас归直线拟合度的高低。
显然有0≤r2≤1。
若求r2的平方根，并赋予相应的符号， 这样求出的平方根既可表示y与x的直线相关 的程度，也可表示直线相关的性质。统计学 上把这样计算所得的统计量称为x与y的相关 系数（coefficient of correlation），记 为r。
由于利用查表法对相关系数进行检验十分简便，因此 在实际进行直线回归分析时，可用相关系数显著性检 验代替直线回归关系显著性检验，即可先计算出相关 系数r并对其进行显著性检验，若检验结果r不显著， 则用不着建立直线回归方程；若r显著，再计算回归 系数b、回归截距a，建立直线回归方程，此时所建立 的直线回归方程代表的直线关系是真实的，可利用它 来进行预测和控制。
散点图直观地、定性地表示了两个变量之间 的关系。为了探讨它们之间的规律性，还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来。
回归分析主要包括：找出回归方程；检验回 归方程是否显著；通过回归方程来预测或控制 另一变量。
在x、y直角坐标平面上可以作出无数条直线， 我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的 直线用来表示x与y的直线关系，这条直线称为 回归直线。
第七章 直线回归与相关分析
在试验研究中常常要研究两个变量间的关系。 如：人的身高与体重、作物种植密度与产量、食品价格与需
求量的关系等。 两个关系 依存关系：依变量Y随自变量X变化而变化。
—— 回归分析 互依关系：依变量Y与自变量X间的彼此关系.
—— 相关分析
一 直线回归
（一）、直线回归方程的建立 对于两个相关变量x和y，如果通过试验或调查 获得它们的n对观测值： （x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn） 为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将每一 对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图。
二 直线相关
进行直线相关分析的基本任务在于根据
x、y的实际观测值，计算表示两个相关变量 x、y间线性相关程度和性质的统计量——相
关系数r并进行显著性检验。
（一）、决定系数和相关系数
x 对 y 的决定系数（coefficient of
determination），记为 r2，
r 2
( yˆ (y
特别要指出的是：利用直线回归方程进行预 测或控制时，一般只适用于原来研究的范围，不 能随意把范围扩大，因为在研究的范围内两变量 是直线关系，这并不能保证在这研究范围之外仍 然是直线关系。若需要扩大预测和控制范围，则 要有充分的理论依据或进一步的实验依据。利用 直线回归方程进行预测或控制，一般只能内插， 不要轻易外延。
（二）、相关系数的计算
【例】计算10只绵羊的胸围（cm）和体重(kg) 的相关 系数。
表7.1 10只绵羊胸围和体重资料
计算出胸围与体重的相关系数为0.8475。
上述根据实际观测值计算得来的相关系数r是样本 相关系数， 它是双变量正态总体中的总体相关系数ρ 的估计值。样本相关系数r是否来自ρ≠0的总体，还 须对样本相关系数r 进行显著性检验。 此时无效假设、 备择假设为HO:ρ=0，HA:ρ≠0。与直线回归关系显 著性检验一样，可采用t检验法与F检验法对相关系数 r的显著性进行检验。
对于【例】，因为 df =n-2=10-2=8，
查附表8得：r0.05(8) =0.632， r0.01(8)
=0.765，而r=0.8475＞ r0.01(8) ，P＜0.01， 表明绵羊胸围与体重的相关系数极显著。
（四）、相关系数与回归系数的关系
直线相关分析与回归分析的研究对象都是呈直线关 系的相关变量。直线回归分析将二个相关变量区分为 自变量和依变量，侧重于寻求它们之间的联系形式— —直线回归方程；直线相关分析不区分自变量和依变 量，侧重于揭示它们之间的联系程度和性质——计算 出相关系数。两种分析所进行的显著性检验都是解决 y与x间是否存在直线关系。因而二者的检验是等价 的。即相关系数显著，回归系数亦显著；相关系数不 显著，回归系数也必然不显著。
例如: 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐
含量（mmol/24h）。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄 （X）的回归方程。
从散点图可以看出： ①两个变量间有关或无关；若有关，两个变量 间关系类型，是直线型还是曲线型； ②两个变量间直线关系的性质（是正相关还是 负相关）和程度（是相关密切还是不密切）；
（五）、应用直线回归与相关的注意事项 直线回归分析与相关分析在生物科学研究领
域中已得到了广泛的应用，但在实际工作中却 很容易被误用或作出错误的解释。为了正确地 应用直线回归分析和相关分析这一工具，必须 注意以下几点：
1、变量间是否存在相关 直线回归分析和相关分析毕竟是处理变量间关系 的数学方法，在将这些方法应用于生物科学研究时要 考虑到生物本身的客观实际情况，譬如变量间是否存 在直线相关以及在什么条件下会发生直线相关，求出 的直线回归方程是否有意义，某性状作为自变量或依 变量的确定等等，都必须由生物科学相应的专业知识 来决定，并且还要用到生物科学实践中去检验。如果 不以一定的生物科学依据为前提，把风马牛不相及的 资料随意凑到一块作直线回归分析或相关分析，那将 是根本性的错误。
（三）、相关系数的显著性检验
统计学家已根据相关系数r显著性t检验法计算出了 临界r值并列出了表格。 所以可以直接采用查表法对相 关系数r进行显著性检验。
先根据自由度 n-2 查临界 r 值 ( 附表8 )， 得 r0.05(n2) ，r0.01(n2)。若|r|＜ r0.05(n2)，P＞0.05，则相 关系数r不显著，在r的右上方标记“ns”；若 r0.05(n2) ≤|r|＜ r0.01(n2) ，0.01＜P≤0.05，则相关系数 r 显 著，在r的右上方标记“*”；若|r|≥ r0.01(n2) ，P ≤ 0.01， 则相关系数 r 极显著，在 r 的右上方标记 “**”。