一道高考数学试题的多种解法

一道高考试题的多种解法

2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题:

四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,

侧面S B C

⊥底面A B C .已知

45ABC ∠=,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥;

(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成的角的大小.

第一问证法较多,第二问相对作法较少,下面只列

举几种第一问的证法:

证法一:过S 作SO BC ⊥,垂足为O ,连接AO （如图1）.

由侧面S B C ⊥底面A B C D 得SO ⊥底面

A B C D ,AO 、BO 分别是SA 、SB 在底面ABCD 内的射

影. 又SA SB =,∴OA OB = 又45ABC ∠=,∴ABO ∆是等腰直角三角形,

∴OA OB ⊥.

由三垂线定理得SA BC ⊥.

证法二:过A 作AO BC ⊥,垂足为O ,连接SO (如图1).

由侧面SBC ⊥底面ABCD 得AO ⊥侧面SBC ,∴SO 是SA 在侧面SBC 内的射影,且,AO SO AO BO ⊥⊥.

在ABO ∆中45ABO ∠=,∴OA OB =.又SA SB =,SAO SBO ∴∆≅∆. 90SOB SOA ∴∠=∠=即OB SO ⊥.

由三垂线定理得SA BC ⊥.

证法三:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接

AO 、SO (如图2).在ABC ∆中

45ABC ∠=,2AB =,BC =∴ABC

∆

是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥.(下同证法二)

证法四:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接

AO 、SO (如图2).在ABC ∆中45ABO ∠=,2AB =,BC =∴ABC ∆是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥. 又侧面SBC ⊥底面ABCD ,∴AO ⊥侧面SBC ,SO 是SA 在侧面SBC 内的射影.

在SAB ∆中易得cos SBA ∠=

又cos cos cos SBA SBC CBA ∠=∠∠∴cos 3

SBC ∠=.

在SBC ∆中由余弦定理得SC =∴SO BC ⊥.

由三垂线定理得SA BC ⊥.

证法五:过A 作AO BC ⊥,垂足为O ,连接SO (如图1).

由侧面SBC ⊥底面ABCD 得AO ⊥侧面SBC ,∴SO 是SA 在侧面SBC 内的射影,且,AO SO AO BO ⊥⊥.

在Rt ABO ∆中45ABC ∠=,2AB =,∴OA OB ==.

在Rt AOS ∆中SA AO ,1SO ∴=.

在BOS ∆中SB BO ,1SO =,OB SO ∴⊥.

由三垂线定理得SA BC ⊥.

证法六: 侧面SBC ⊥底面ABCD ,∴SB 在底面ABCD 内的射影为BC .

在SAB ∆中易得cos 3

SBA ∠=.

又cos cos cos SBA SBC CBA ∠=∠∠∴cos

SBC ∠=

.

在SBC ∆中由余弦定理得SC =记BC 的中点为O ,连接AO 、SO (如图1),则SO BC ⊥SO ∴⊥底面ABCD ,∴AO 是SA 在底面ABCD 内的射影.

在ABO ∆中45ABO ∠=,2AB =,BO =∴AO BO ⊥.

由三垂线定理得SA BC ⊥.

证法七:作,SF AB SE BC ⊥⊥垂足分别为F 、E ,连接EF AC 、、

AE (如图3).

侧面S B C ⊥底面A B C D ,∴SE ⊥底面

A B C D .

∴EF 、EA 分别是SF 、SA 在底面ABCD 内的

射影,且EF AB ⊥.

由SA SB =得F 是AB 的中点,在ABC ∆中

45ABC ∠=,2AB =,BC =∴AB AC ⊥,

EF ∴∥AC .E ∴是BC 的中点,从而AE BC ⊥.

由三垂线定理得SA BC ⊥.

证法八:作,SF AB SE BC ⊥⊥垂足分别为F 、E ,连接EF AC 、、AE (如图3),侧面

SBC ⊥底面ABCD ,∴SE ⊥底面ABCD .

∴EF 、EA 分别是SF 、SA 在底面ABCD 内的射影,且EF AB ⊥.

在SAB ∆中1BF =,在ABE ∆中45ABC ∠=,1BF AF EF ===,AE BC ∴⊥ 由三垂线定理得SA BC ⊥.

证法九:过B 作BE AD ⊥,垂足为E ,连接SE (如图4),由45ABC ∠=,2AB =得

AE BE ==又

BE BC ⊥,侧面S B C

⊥底面A B C ,∴BE ⊥侧面SBC .BE SB ∴⊥.

在Rt SBE ∆中SE =,在SAE ∆中

SE SA AE ===所以SA AE ⊥.

又AE ∥BC ,∴SA BC ⊥.

证法十: 过S 作SO BC ⊥,垂足为O ,连接AO .

由侧面SBC ⊥底面ABCD 得SO ⊥底面ABCD ,AO 、BO 分别是SA 、SB 在底面ABCD 内的射影.

又SA SB =,∴OA OB = 又45ABC ∠=,∴ABO ∆是等腰直角

三角形, ∴OA OB ⊥.

以O 为坐标原点, OA 为x 轴正方向, OB

为y 轴正方向, OS 为z 轴正方向,建立空间直

角坐标系(如图5),则

(0,(0,0,1)A B C S ,(2,0,1),(0,2SA CB =-=,0SA CB ∴=,∴SA BC ⊥.

证法十一: 在SAB ∆中易得cos SBA ∠=.

又cos cos cos SBA SBC CBA ∠=∠∠∴cos

SBC ∠=

. ()SA BC SB BA BC SB BC BA BC ∴=+=+

cos cos SB BC SBC BA BC ABC =-∠+∠

2032

=+⨯= ∴SA BC ⊥.