运筹学单纯形法ppt课件

x1+ x2+ x3≤4
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
标准化 及变形
xi ≥0,j=1,2,3
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
3x2+x3
+x7=9
xi ≥0,j=1,…,7
增加人工变量后，线性规划问题中就存在一个B为单位矩阵， 后面可以根据我们前面所讲的单纯形法来进行求解。
x1 2x 2 x3
8
4 x1
x4 16

4 x2
x5 12
x j 0, j 1,,5
3
• Step2：检查非基变量所对应的检验数σj，若所有的σj≤0，则当 前的基可行解就是最优解，当前的目标函数值就是最优值，停 止计算。
• 否则，转入下一步。 • SP算tke≤。p03(即：P若k中存每在一一个个分σk>量0a，ikσ≤k0所)，对则应该的L变P无量有xk限的最系优数解列，向停量止计 • 否则，转入下一步。 • Step4：进行可行基的迭代。 • 重复以上步骤
0
C x1
x2 x3 x4 x5 Z 可行解 图中点
0 8 16 12 0 √
O
4 0 16 -4 12 ╳
A
0
无解
3 2 16 0 9 √
Q4
0 0 -16 12 16 ╳
C
0 4 0 12 8 √
Q1
0
0 无解
2 0 0 4 14 √
Q2
3 0 8 0 13 √
Q3
3 -2 0 0 17 ╳
B
max z 2x1 3x2
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
3x2+x3
+x7=9
0 -M -M
x5 x6 x7 θ
0 0 04 -1 1 0 1
0 0 13
-M 0 0 x2入，x6出
1 -1 0 1 -1 1 0 -
3 -3 1 1
3M -1/2
0 1/2
-4M 0 1/2 -1/2 0 1/3 -1/2 1/6
x1入，x7出 9 3/2
3/2 -M-3/2 -M+1/2 x3入，x1出
6
解：
cj
10 5 0 0
CB 0 0
XB x3 x4
对 应 0
bi 9 8
[
x1 3 5]
x2 4 2
x3 1 0
x4 θ 03 1 8/5
σj 0 10
σj
X对应xA31281//55
5 10
σj
Xx对 应B21 3/12
[10] 5
0
0 x1入,x4出
0 [14/5] 1 -3/5 3/2
1 2/5 0 [1]
4
1
1
1
1
1 -2 [ 1 ] -1 0
9 0310
-3-2M [4M] 1 0
33 0 2 1 1 -2 1 -1 0
6 [ 6] 0 4 0
[6M-3] 0 4M+1 0 00 0 0 1
3 0 1 1/3 0 1 1 0 [2/3] 0
0 0 [ 3] 0 00 0 0 1 5/2 -1/2 1 0 0
0 0
1/5 4
x2
-2 x2入,x3出
0 1 5/14 -3/14
C: (0,9/4)
1 0 -1/7 2/7
0
0 -5/14 -25/14
所以：X*=(x1,x2)T=(1,3/2)T Z*=35/2
B:(1,3/2)
0: (0,0)
x1 A: (87/5,0)
回顾：单纯形法求解步骤：
8
第5节 单纯形法的进一步讨论
第4节 单纯形法计算步骤
1
Step 1 化为标准型，找出初始可行基，并列出初始单纯形表
2
• 上述初始单纯形表中，最后一行称为检验数σj
x2
A 4
Q4
Q3
B
3
2
Q2
1
O
1
2
3 4 Q1
基 基向量 x1 B1 P3P4P5 0 B2 P2P4P5 0 B3 P2P3P5 0 B4 P2P3P4 0 B5 P1P4P5 8 B6 P1P3P5 4 B7 P1P3P4 B8 P1P2P5 4 B9 P1P2P4 2 B1 P1P2P3 4
4
• 例7 用单纯形法求解例6。
•
max z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 +x3
=8
s.t. 4x1
+x4 =16
4x2
+x5 =12
xj≥0，j=1,2,…,5
5
练习：
• 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问 题，并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形 上哪一个顶点。
Max Z = 10x1+ 5x2 3x1+ 4x2≤9 5x1+ 2x2 ≤8 x1 ，x2≥0
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练习：列出初始单纯形表，并求解第2
小题的最优解 1. P55，2.2（1） 2. 2.
12
单纯形表
cj CB XB 0 x4 -M x6 -M x7
σj 0 x4 0 x2 -M x7
σj
0 x4 0 x2 -3 x1
σj
0 x4 0 x2 1 x3
σj
-3 0 1 0
bi x1 x2 x3 x4
9
第5节 单纯形法的进一步讨论
一、人工变量法（大M法）
约束条件：
“≤” →加一个松弛变量 “≥” →减一个剩余变量后，再加一个人工变
量
“＝” →加一个人工变量
目标函数： 人工变量的系数为“－M”，即罚因子
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若线性规划问题有最优解则人工变量必为0。
MaxZ=-3x1+x3
MaxZ=-3x1+x3-Mx6-Mx7
-1/2 1/2 -1/2 -1/4 1/4 1/4
Biblioteka Baidu
3/2 3/2 0 1 0 3/4 -3/4 1/4
-9/2 0
0 0 -3/4 -M+3/4 -M-1/4
所以：X*=(x1,x2,x3)T=(0,5/2, 3/2)T Z*=3/2
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二、两阶段法
• 第一阶段暂不考虑原问题是否存在基可行解，给原问题加 入人工变量，并构建一个仅含人工变量的目标函数（求极 小化），人工变量的价值系数一般为1，约束条件和原问 题的一样。
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4