换元法与主元法

换元法与主元法

一、、换元法，即对结构复杂的多项式，把其中的某些部分看成一个整体。

例：分解因式(x4+x2-4)( x4+x2+3)+10

练习：

1、(x2+4x+8)+3x(x2+4x+8)+2x2;

2、(x2+x+1)(x2+x+2)-12；

3、ab(a+b)2-(a+b)2+1；

4、(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;

二、主元法：即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，按降幂排列多项式，排除字母间的干扰，简化问题结构。

例：分解因式：x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz

练习：

1、x2+xy-6y2+x+13y-6；

2、x2+xy-2y2-x+7y-6；

3 、x3+(2a+1)x2+(a2+2a-1)x+(a2-1)；

三、折项和添加项法：利用公式进行配方，根据题目的情况进行项的拆分与添加。

例1：因式分解：4x2-4x-y2+4y-3

例2、因式分解：x3+5x+6

练习：

1、x4-7x+1

2、x4+x2+2ax+1-a2

3、x4+2x3+3x2+2x+1

4、x3+6x2+11x+6

四、应该熟悉的结果

1、ab+a+b+1=(a+1)(b+1)

2、ab-a-b+1=(a-1)(b-1)

3、ab+a-b-1=(a-1)(b+1)

4、ab-a+b-1=(a+1)(b-1)

5、a4+4=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

6、4a4+1=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1)

7、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

8、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

因式分解的应用

例1：若a4+b4=a2-2a2b2+b2+6，则a2+b2=_____________；

例2、若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，则x+y=_________；

例3、求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解；

(2x-3)(2+3y)=1